不等式
112分科測驗數學甲考科試題-04
設 \(a, b\) 為實數。已知四個數 \(-3, -1, 4, 7\) 皆滿足 \(x\) 的不等式 \(|x-a|\leq b\)，試選出正確的選項。
(1) \(\sqrt{10}\) 也滿足 \(x\) 的不等式 \(|x-a|\leq b\)
(2) \(3, 1, -4, -7\) 滿足 \(x\) 的不等式 \(|x+a|\leq b\)
(3) \(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2}\) 滿足 \(x\) 的不等式 \(|x-a|\leq \frac{b}{2}\)
(4) \(b\) 可能等於4
(5) \(a, b\) 可能相等
答案
已知\(-3, -1, 4, 7\)滿足\(|x - a| \leq b\)，則區間\([a - b, a + b]\)需包含這四個數。
分析如下：確定\(a, b\)範圍：
數值中最小值\(-3\)，最大值7，故\(a - b \leq -3\)，\(a + b \geq 7\)，且區間長度\(2b \geq 10 \implies b \geq 5\)。取\(a = 2\)，\(b = 5\)時，區間\([-3, 7]\)恰好包含\(-3, -1, 4, 7\)。
選項分析：
（1）：\(\sqrt{10} \approx 3.16\)，滿足\(|-3| \leq 5\)且在\([-3, 7]\)內，正確。
（2）：\(|x + a| \leq b\)即\(|x + 2| \leq 5\)，解為\(-7 \leq x \leq 3\)。\(3, 1, -4, -7\)均在此區間內，正確。
（3）：\(|x - a| \leq \frac{b}{2}\)即\(|x - 2| \leq 2.5\)，區間\([-0.5, 4.5]\)。但\(-\frac{3}{2} = -1.5\)不在此區間，錯誤。
（4）：\(b \geq 5\)，不可能等於4，錯誤。
（5）：若\(a = b\)，區間\([0, 2a]\)無法包含\(-3\)，錯誤。
正確選項：（1）（2） 報錯
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