中點

設 \(\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}\)，\(\overrightarrow{AC} = \mathbf{c}\)。
- 因 \(D\) 為 \(\overline{AB}\) 中點，故 \(\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{b}\)。
- 由 \(\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AC}\)，得 \(\overrightarrow{AE} = 3\mathbf{c}\)。

已知 \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \mathbf{c} \cdot \frac{1}{2}\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) = 15\)，故 \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 30\)。

因此，\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \mathbf{b} \cdot 3\mathbf{c} = 3(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) = 3 \times 30 = 90\)。 報錯
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\(\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PB}\) 表示 \(P\) 為 \(AB\) 的中垂線與 \(L\) 的交點
AB中點 \(M=(\frac{-3+3}{2},\frac{4+2}{2})=(0,3)\)
AB向量 \(\overrightarrow{AB}=(6,-2)\)，中垂線法向量為(6,-2)
中垂線方程：\(6(x-0)-2(y-3)=0\) ⇒ \(6x-2y+6=0\) ⇒ \(3x-y+3=0\)
與 \(L: 4x-3y-1=0\) 聯立：
由 \(3x-y+3=0\) 得 \(y=3x+3\)，代入L：\(4x-3(3x+3)-1=0\) ⇒ \(4x-9x-9-1=0\) ⇒ \(-5x-10=0\) ⇒ \(x=-2\)
\(y=3(-2)+3=-3\)
故 \(P(-2,-3)\)
答案：\((-2,-3)\) 報錯
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204
設兩鄰邊向量：
\( \vec{u} \parallel 5x-y=0 \Rightarrow \vec{u} = b(1,5) \)
\( \vec{v} \perp 3x-2y=0 \Rightarrow \vec{v} = a(3,-2) \)
對角線向量和：\( \vec{u} + \vec{v} = 2\overrightarrow{PQ} = (20,-2) \)
解 \( (3a+b, -2a+5b) = (20,-2) \) 得 \( a=6, b=2 \)
面積 =\( |\begin{vmatrix}2&10 \\ 18&-12 \end{vmatrix}| = |2 \cdot (-12) - 10 \cdot 18| = |-24 - 180| = 204 \) 報錯
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非選擇題評分原則

設\(z = a + bi\)，\(\overline{z}=a - bi\)，由\(z-\overline{z}=-3i\)可得\((a + bi)-(a - bi)=-3i\)，即\(2bi=-3i\)，解得\(b = -\frac{3}{2}\)，所以\(z=a-\frac{3}{2}i\)。
\(\vert\sqrt{7}+8i - z\vert=\vert\sqrt{7}+8i-(a-\frac{3}{2}i)\vert=\vert(\sqrt{7}-a)+(\frac{19}{2}i)\vert=\sqrt{(\sqrt{7}-a)^{2}+(\frac{19}{2})^{2}}\)，它表示複平面上點\(Z(a,-\frac{3}{2})\)到點\(A(\sqrt{7},8)\)的距離。
點\(A(\sqrt{7},8)\)到直線\(y = -\frac{3}{2}\)的距離就是\(\vert\sqrt{7}+8i - z\vert\)的最小值，即\(8-(-\frac{3}{2})=\frac{16 + 3}{2}=\frac{19}{2}\)。
答案為\(\frac{19}{2}\)。 報錯
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已知\(P(a,b)\)，\(Q(c,d)\)在\(y=\log _{2}x\)上，所以\(b=\log _{2}a\)，\(d=\log _{2}c\)。
因為\(\overline{PQ}\)的中點在\(x\)軸上，中點坐標為\((\frac{a + c}{2},\frac{b + d}{2})\)，所以\(b + d = 0\)，即\(\log _{2}a+\log _{2}c = 0\)。
根據對數運算法則\(\log _{2}a+\log _{2}c=\log _{2}(ac)=0\)，可得\(ac = 1\)，(3)正確。
\(b + d = 0\)，即\(b=-d\)，所以\(bd=-b^{2}\lt0\)，又因為\(b\neq0\)（若\(b = 0\)，則\(a = 1\)，此時只有一個交點），所以\(bd=-1\)，(2)正確。
設直線\(L\)的斜率為\(k\)，\(k=\frac{d - b}{c - a}=\frac{-2b}{c - a}\)，由於\(ac = 1\)，不妨設\(a=\frac{1}{t}\)，\(c = t\)（\(t\gt0\)且\(t\neq1\)），\(b=\log _{2}\frac{1}{t}=-\log _{2}t\)，\(d=\log _{2}t\)，\(k=\frac{2\log _{2}t}{t-\frac{1}{t}}\)，當\(t\gt1\)時，\(k\gt0\)；當\(0\lt t\lt1\)时，\(k\lt0\)，(1)錯誤。
设直线\(L\)的方程为\(y=mx + n\)，将\(P(a,b)\)，\(Q(c,d)\)代入可得\(\begin{cases}b = ma + n\\d = mc + n\end{cases}\)，两式相减得\(b - d=m(a - c)，m=\frac{b - d}{a - c}\)，再将\(b=-d\)代入得\(m=\frac{-2d}{a - c}\)。把\(d=\log _{2}c\)，\(a=\frac{1}{c}\)代入得\(m=\frac{-2\log _{2}c}{\frac{1}{c}-c}\)。
令\(x = 0\)，\(y=n\)，\(n=b - ma=\log _{2}a-\frac{-2\log _{2}c}{\frac{1}{c}-c}\times a\)，当\(a\)，\(c\)取值不同时，\(n\)不一定大于\(1\)，(4)错误。
令\(y = 0\)，\(0=mx + n\)，\(x=-\frac{n}{m}\)，同样当\(a\)，\(c\)取值不同时，\(x\)不一定大于\(1\)，(5)错误。
答案为(2)(3)。 報錯
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設圓心坐標為\((0,y_0)\)（\(y_0>0\)），切點坐標為\((x_1,y_1)\)。
由圓心與\(x\)軸的距離和切點與\(x\)軸的距離之比值為5，可得\(y_0 = 5y_1\)。
直線\(y = mx\)的一般式為\(mx - y = 0\)，根據點\((x_0,y_0)\)到直線\(Ax + By + C = 0\)的距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，圓心\((0,y_0)\)到直線\(mx - y = 0\)的距離等於圓的半徑\(r\)，即\(r=\frac{\vert - y_0\vert}{\sqrt{m^{2}+1}}\)。
又因為切點\((x_1,y_1)\)在直線\(y = mx\)上，所以\(y_1 = mx_1\)，且圓心\((0,y_0)\)與切點\((x_1,y_1)\)的距離也為半徑\(r\)，即\(r=\sqrt{(x_1 - 0)^{2}+(y_1 - y_0)^{2}}\)。
由\(y_0 = 5y_1\)，可得\(r=\sqrt{x_1^{2}+(y_1 - 5y_1)^{2}}=\sqrt{x_1^{2}+16y_1^{2}}\)。
再由\(y_1 = mx_1\)，\(r=\frac{\vert - y_0\vert}{\sqrt{m^{2}+1}}=\frac{5y_1}{\sqrt{m^{2}+1}}\)，且\(r=\sqrt{x_1^{2}+16y_1^{2}}\)，\(x_1=\frac{y_1}{m}\)，代入可得：
\(\frac{5y_1}{\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{(\frac{y_1}{m})^{2}+16y_1^{2}}\)，兩邊同時平方得\(\frac{25y_1^{2}}{m^{2}+1}=\frac{y_1^{2}}{m^{2}}+16y_1^{2}\)，因為\(y_1\neq0\)（否則圓不存在），等式兩邊同時除以\(y_1^{2}\)得\(\frac{25}{m^{2}+1}=\frac{1}{m^{2}} + 16\)。
通分得到\(25m^{2}=m^{2}+1 + 16m^{2}(m^{2}+1)\)，即\(16m^{4}-8m^{2}+1 = 0\)，令\(t = m^{2}(t>0)\)，則\(16t^{2}-8t + 1 = 0\)，\((4t - 1)^{2}=0\)，解得\(t=\frac{1}{4}\)，所以\(m^{2}=\frac{1}{4}\)，又\(m>0\)，則\(m=\frac{1}{2}\)。（原答案可能有誤，按照正確解題步驟得出\(m=\frac{1}{2}\) ，若按原答案思路需補充更多條件） 報錯
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首先求圓心到直線\(x + y = 0\)的距離\(d_1\)。
由弦長公式\(l = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)（其中\(l\)是弦長，\(r\)是圓半徑，\(d\)是圓心到直線的距離），已知弦長\(l = 8\)，半徑\(r = 12\)，可得\(d_1=\sqrt{12^{2}-4^{2}}=\sqrt{144 - 16}=8\sqrt{2}\)。
設圓心坐標為\((x_0,y_0)\)，則\(d_1=\frac{\vert x_0 + y_0\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=8\sqrt{2}\)，即\(\vert x_0 + y_0\vert = 16\)。
再求圓心到直線\(x + y = 24\)的距離\(d_2\)，\(d_2=\frac{\vert x_0 + y_0 - 24\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\)。
由\(\vert x_0 + y_0\vert = 16\)，分兩種情況：
若\(x_0 + y_0 = 16\)，則\(d_2=\frac{\vert16 - 24\vert}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\)；若\(x_0 + y_0 = -16\)，則\(d_2=\frac{\vert - 16 - 24\vert}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}\)（此時圓與直線\(x + y = 24\)相離，舍去）。
所以\(d_2 = 4\sqrt{2}\)。
根據弦長公式求\(\vert PQ\vert\)，\(\vert PQ\vert = 2\sqrt{r^{2}-d_2^{2}} = 2\sqrt{12^{2}-(4\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{144 - 32}=2\sqrt{112}=8\sqrt{7}\) 。（原答案\((14)\sqrt{15}\)可能有誤） 報錯
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