〈二次函數〉彙整頁面

114-學測數學模考_北模_09

已知兩實數多項式函數 \(f(x) = -x^2 – 4x + 2\) 與 \(g(x)\)，若 \(y = f(x)\) 圖形的頂點坐標與 \(y = g(x)\) 的對稱中心相同，且 \(y = g(x)\) 圖形通過原點，試選出正確的選項。
\((1) y = f(x)\) 圖形的頂點坐標為 \((-2,6)\)
\((2) 不等式\ f(x)\lt 0\) 的解為 \(-2 – \sqrt{6}\lt x\lt -2 + \sqrt{6}\)
\((3) b+c+d=11\)
\((4) y = g(x)\) 在 \(x = -2\) 附近的局部特徵（一次近似）近似於直線 \(y = 5x\)
\((5) 方程式\ g(x) = 0\) 有3個整數解

答案

\(f(x) = -(x + 2)^2 + 6\)，頂點 \((-2,6)\)（(1)正確）。設 \(g(x) = (x + 2)^3 + p(x + 2) + 6\)，過原點得 \(p = -7\)，\(g(x) = x^3 + 6x^2 + 5x\)，因式分解得根 \(0, -1, -5\)，有3個整數解（(5)正確）。(2)解為 \(x\lt -2 - \sqrt{6}\) 或 \(x\gt -2 + \sqrt{6}\)；(3)未提三次；(4)一次近似為 \(y = -7x - 8\)。答案：\((1)(3)(5)\) 報錯
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101學測數學考科-17

設點 \(A(-2, 2)\)、\(B(4, 8)\) 為坐標平面上兩點,且點 \(C\) 在二次函數 \(y = \frac{1}{2}x^2\) 的圖形上。當 \(C\) 的 \(x\) 坐標為 \(\boxed{2}\) 時,內積 \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) 有最小值 \(\boxed{-12}\)。

答案

計算向量 \(\overrightarrow{AB}\) 和 \(\overrightarrow{AC}\) 的內積,並求其最小值。經過計算,當 \(C\) 的 \(x\) 坐標為 \(\boxed{2}\) 時,內積有最小值 \(\boxed{-12}\)。報錯
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103學測數學考科-10

設 \(f(x)\) 為實係數二次多項式,且已知 \(f(1) > 0\)、\(f(2) < 0\)、\(f(3) > 0\)。令 \(g(x) = f(x) + (x – 2)(x – 3)\),請選出正確的選項。
(1) \(y = f(x)\) 的圖形是開口向下的拋物線
(2) \(y = g(x)\) 的圖形是開口向下的拋物線
(3) \(g(1) > f(1)\)
(4) \(g(x) = 0\) 在 1 與 2 之間恰有一個實根
(5) 若 \(\alpha\) 為 \(f(x) = 0\) 的最大實根,則 \(g(\alpha) > 0\)

答案

根據題意,\(f(x)\) 的圖形開口向上,因此 (1) 錯誤。\(g(x) = f(x) + (x - 2)(x - 3)\) 的圖形也是開口向上,(2) 錯誤。\(g(1) = f(1) + (1 - 2)(1 - 3) = f(1) + 2 > f(1)\),(3) 正確。\(g(x) = 0\) 在 1 與 2 之間恰有一個實根,(4) 正確。若 \(\alpha\) 為 \(f(x) = 0\) 的最大實根,則 \(g(\alpha) = (\alpha - 2)(\alpha - 3) > 0\),(5) 正確。因此,正確答案是 (3)(4)(5)。報錯
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103學測數學考科-14

坐標平面上,若直線 \(y = ax + b\)（其中 \(a, b\) 為實數）與二次函數 \(y = x^2\) 的圖形恰交於一點,亦與二次函數 \(y = (x – 2)^2 + 12\) 的圖形恰交於一點,則 \(a = \boxed{4}\),\(b = \boxed{-4}\)。

答案

直線 \(y = ax + b\) 與 \(y = x^2\) 相切,則方程 \(x^2 = ax + b\) 有唯一解,即判別式 \(a^2 + 4b = 0\)。同理,直線與 \(y = (x - 2)^2 + 12\) 相切,方程 \((x - 2)^2 + 12 = ax + b\) 有唯一解,判別式為 \(a^2 - 4a + 4b - 44 = 0\)。解方程組得 \(a = 4\),\(b = -4\)。報錯
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105學測數學考科–01

設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式，已知 \( f(x) \) 在 \( x=2 \) 時有最小值1且 \( f(3)=3 \)。請問 \( f(1) \) 之值為下列哪一選項？
(1) 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5)條件不足，無法確定。

答案

由題意設 \( f(x)=a(x-2)^2+1 \)，代入 \( f(3)=a+1=3 \) 得 \( a=2 \)。故 \( f(x)=2(x-2)^2+1 \)，計算 \( f(1)=2(1-2)^2+1=3 \)。答案：(3) 報錯
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107學測數學考科-E

坐標平面上，若拋物線 \(y=x^2+2x-3\) 的頂點為C，與x軸的交點為A、B，則 \(\cos \angle ACB = \) __________。（化成最簡分數）

答案

頂點 \( C(-1,-4) \)，與 x 軸交點 \( A(-3,0) \)、\( B(1,0) \)。向量 \( \overset{\rightharpoonup}{CA}=(-2,4) \)，\( \overset{\rightharpoonup}{CB}=(2,4) \)。內積 \( (-2)(2)+4\cdot4=12 \)，長度均 \( \sqrt{20} \)，故 \( \cos \angle ACB = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)。答案：\( \frac{3}{5} \) 報錯
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114學測數學A考科_09

設 \(b\)、\(c\) 為實數。已知二次方程式 \(x^2+bx+c=0\) 有實根，但二次方程式 \(x^2+(b+2)x+c=0\) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \(c \lt 0\)
(2) \(b \lt 0\)
(3) \(x^2+(b+1)x+c=0\) 有實根
(4) \(x^2+(b+2)x-c=0\) 有實根
(5) \(x^2+(b-2)x+c=0\) 有實根

答案

由條件得 \((b+2)^2 \lt 4c \leq b^2\)，故 \(c \gt 0\)，\(b \lt -1\)。
(1) ✗；(2) ✓；(3) ✗：不一定；(4) ✓：判別式恆正；(5) ✓：判別式恆正。
故選(2)(4)(5)。報錯
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107指考數學乙試題-1)

已知實係數二次多項式函數 \( y = f(x) \) 滿足 \( f(3) = f(-7) \)。試回答下列問題。
(1) 寫出 \( y = f(x) \) 圖形的對稱軸方程式。

答案

對稱軸通過 (3, f(3)) 與 (-7, f(-7)) 的中點橫坐標：\(\frac{3 + (-7)}{2} = -2\)。
對稱軸為 \( x = -2 \)。
答案為 \( x = -2 \)。報錯
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107指考數學乙試題-2)

(2) 若 \( f(x) = a(x – k)^2 + b \)，且 \( y = f(x) \) 的圖形與 x 軸交於相異兩點，試判斷 ab 乘積的值為正或負，並請說明理由。

答案

由 (1) 知 \( k = -2 \)，所以 \( f(x) = a(x+2)^2 + b \)。
與 x 軸交於相異兩點 ⇒ 判別式 \gt 0。
令 \( f(x) = 0 \Rightarrow a(x+2)^2 + b = 0 \Rightarrow (x+2)^2 = -\frac{b}{a} \)。
有兩相異實根 ⇒ \( -\frac{b}{a} \gt 0 \Rightarrow \frac{b}{a} \lt 0 \Rightarrow ab \lt 0 \)。
答案為負。報錯
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107指考數學乙試題-3)

(3) 若方程式 \( f(x) = 0 \) 有相異實根，試證兩根之積小於 4。

答案

設 \( f(x) = a(x+2)^2 + b \)，且 \( f(x) = 0 \) 有兩相異實根 \( \alpha, \beta \)。
由 \( a(x+2)^2 + b = 0 \Rightarrow a(x^2 + 4x + 4) + b = 0 \Rightarrow ax^2 + 4a x + (4a+b) = 0 \)。
根與係數：\( \alpha\beta = \frac{4a+b}{a} = 4 + \frac{b}{a} \)。
由 (2) 知 \( \frac{b}{a} \lt 0 \)，所以 \( \alpha\beta \lt 4 \)。
得證。報錯
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