交點問題

球面與平面 \(3x + 4y = 0\) 相切於原點,表示球心在平面的法線上。假設球心為 \((0, 0, r)\),則球面方程為 \(x^2 + y^2 + (z - r)^2 = r^2\)。球面與 \(x\)-軸、\(y\)-軸、\(z\)-軸的交點分別為 \((r, 0, 0)\)、\((0, r, 0)\)、\((0, 0, 2r)\)。因此,球面與三個坐標軸共有 3 個交點。正確答案是 (3) 3。 報錯
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根據雙曲線的定義：
- 當 \(d = 0\) 時,\(\Gamma\) 為 \(F_1F_2\) 的中垂線,即直線。
- 當 \(d = 1\) 時,\(\Gamma\) 為雙曲線。
- 當 \(d = 2\) 時,\(\Gamma\) 與圓 \(C\) 交於兩點。
- 當 \(d = 4\) 時,\(\Gamma\) 與圓 \(C\) 交於四點。
- 當 \(d = 8\) 時,\(\Gamma\) 不存在。
因此,正確答案是 (1)(2)(3)(4)(5)。 報錯
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將圓的方程化簡為 \((x+1)^2 + (y+1)^2 = 1\),圓心為 \((-1,-1)\),半徑為 1。正方形與圓的交點數為 2 個。因此,正確答案是 (2) 2 個。 報錯
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直線 \(y = ax + b\) 與 \(y = x^2\) 相切,則方程 \(x^2 = ax + b\) 有唯一解,即判別式 \(a^2 + 4b = 0\)。同理,直線與 \(y = (x - 2)^2 + 12\) 相切,方程 \((x - 2)^2 + 12 = ax + b\) 有唯一解,判別式為 \(a^2 - 4a + 4b - 44 = 0\)。解方程組得 \(a = 4\),\(b = -4\)。 報錯
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### 略解
要解決此問題，需先求三平面兩兩相交的直線方程，再求三角形的三個頂點，最後計算各邊長並求和得到周長。
#### 步驟1：求三條交線的方程
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x = 2 \) 的交線**：
將 \( x = 2 \) 代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( 2 - y + z = 0 \implies z = y - 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} x = 2 \\ z = y - 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = 2, y = t, z = t - 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x - y = -2 \) 的交線**：
由 \( x - y = -2 \implies y = x + 2 \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (x + 2) + z = 0 \implies z = 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = x + 2 \\ z = 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = t + 2, z = 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x + y = 2 \) 的交線**：
由 \( x + y = 2 \implies y = 2 - x \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (2 - x) + z = 0 \implies z = 2 - 2x \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = 2 - x \\ z = 2 - 2x \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = 2 - t, z = 2 - 2t \)，\( t \) 為參數）。
#### 步驟2：求三角形的三個頂點
- **頂點 \( A \)**：交線 \( x = 2 \) 與 \( y = x + 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = x + 2 \)，得 \( y = 4 \)，再代入 \( z = 2 \)，故 \( A(2, 4, 2) \)。
- **頂點 \( B \)**：交線 \( y = x + 2 \) 與 \( y = 2 - x \) 的交點。
聯立 \( y = x + 2 \) 和 \( y = 2 - x \)，得 \( x + 2 = 2 - x \implies x = 0 \)，則 \( y = 2 \)，\( z = 2 \)，故 \( B(0, 2, 2) \)。
- **頂點 \( C \)**：交線 \( y = 2 - x \) 與 \( x = 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = 2 - x \)，得 \( y = 0 \)，再代入 \( z = y - 2 \)，得 \( z = -2 \)，故 \( C(2, 0, -2) \)。
#### 步驟3：計算各邊的長度
- **邊長 \( AB \)**：
由距離公式 \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)，得
\[
AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
- **邊長 \( BC \)**：
\[
BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
\]
- **邊長 \( CA \)**：
\[
CA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (0 - 4)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]
#### 步驟4：計算周長
周長 \( = AB + BC + CA = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \)。

對比形式 \( a\sqrt{b} + c\sqrt{d} \)（其中 \( b < d \)），可得 \( a = 6 \)，\( b = 2 \)，\( c = 2 \)，\( d = 6 \)。 综上，\( a = \boxed{6} \)，\( b = \boxed{2} \)，\( c = \boxed{2} \)，\( d = \boxed{6} \)。 報錯
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