俯仰角的應用
104學測數學考科-11
107學測數學考科-B
如右圖所示（只是示意圖），將梯子AB靠在與地面垂直的牆AC上，測得與水平地面的夾角∠ABC為60°。將在地面上的底B沿著地面向外拉51公分到點F（即FB=51公分），此時梯子EF與地面的夾角∠EFC之正弦值為\(\sin ∠EFC = 0.6\)，則梯子長 \( AB = \) __________ 公分。
答案
108指考數學甲試題-03
在一座尖塔的正南方地面某點A，測得塔頂的仰角為14°；又在此尖塔正東方地面某點B，測得塔頂的仰角為18°30’，且A、B兩點距離為65公尺。已知當在線段\(\overline{AB}\)上移動時，在C點測得塔頂的仰角為最大，則C點到塔底的距離最接近下列哪一個選項？（\(\cot14^{\circ}≈4.01\)，\(\cot18^{\circ}30’≈2.99\) ）
(1)27公尺
(2)29公尺
(3)31公尺
(4)33公尺
(5)35公尺
答案
設塔高為\(h\)，塔底為\(O\)點。在\(Rt\triangle AOC\)中，\(\cot14^{\circ}=\frac{AO}{h}\)，所以\(AO = h\cot14^{\circ}\)；在\(Rt\triangle BOC\)中，\(\cot18^{\circ}30'=\frac{BO}{h}\)，所以\(BO = h\cot18^{\circ}30'\)。
在\(\triangle AOB\)中，\(\angle AOB = 90^{\circ}\)，根據勾股定理\(AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\)，已知\(AB = 65\)，則\(65^{2}=h^{2}\cot^{2}14^{\circ}+h^{2}\cot^{2}18^{\circ}30'\)。
\(h^{2}=\frac{65^{2}}{\cot^{2}14^{\circ}+\cot^{2}18^{\circ}30'}=\frac{65^{2}}{4.01^{2}+2.99^{2}}=\frac{4225}{16.0801 + 8.9401}=\frac{4225}{25.0202}\)。
當在線段\(\overline{AB}\)上的\(C\)點測得塔頂仰角最大時，此時\(OC\perp AB\)。
由三角形面積公式可得\(S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot BO=\frac{1}{2}AB\cdot OC\)，即\(OC=\frac{AO\cdot BO}{AB}\)。
\(AO\cdot BO = h^{2}\cot14^{\circ}\cot18^{\circ}30'\)，所以\(OC=\frac{h^{2}\cot14^{\circ}\cot18^{\circ}30'}{AB}\)。
把\(h^{2}=\frac{4225}{25.0202}\)，\(\cot14^{\circ}≈4.01\)，\(\cot18^{\circ}30'≈2.99\)，\(AB = 65\)代入可得：
\(OC=\frac{\frac{4225}{25.0202}\times4.01\times2.99}{65}\)
\(=\frac{4225\times4.01\times2.99}{25.0202\times65}\)
\(=\frac{4225\times11.9899}{1626.313}\)
\(\approx\frac{4225\times12}{1626.313}=\frac{50700}{1626.313}\approx31\)（公尺）。
答案為(3)。 報錯
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109指考數學甲試題–C
有一個三角形公園，其三頂點為\(O\)、\(A\)、\(B\)，在頂點\(O\)處有一座150公尺高的觀景台，某人站在觀景台上觀測地面上另兩個頂點\(A\)、\(B\)與\(\overline{AB}\)的中點\(C\)，測得其俯角分別為30°、60°、45°。則此三角形公園的面積為 (化成最簡根式) 平方公尺。
答案
112學測數學B試題-03
地面上有甲、乙兩大樓,已知甲的高度大於乙,且甲、乙兩大樓的水平距離為 \(150\) 公尺。某人從甲樓頂拉一條繩索到乙樓頂,並從甲樓頂測得乙樓頂的俯角為 \(22^{\circ}\)。假設該繩索被拉成直線,試問繩索的長度（單位：公尺）最接近下列哪個選項？（註：眼睛往下看目標物時,視線與水平線間的夾角稱為俯角）(1) \(150\) (2) \(150\sin 22^{\circ}\) (3) \(150\cos 22^{\circ}\) (4) \(\frac{150}{\cos 22^{\circ}}\) (5) \(\frac{150}{\sin 22^{\circ}}\)
答案
設繩索長度為 \(l\),在由甲乙兩樓頂和水平距離構成的直角三角形中,水平距離為 \(150\) 公尺,俯角為 \(22^{\circ}\),繩索長度 \(l\) 與水平距離的關系為 \(\cos22^{\circ}=\frac{150}{l}\),則 \(l=\frac{150}{\cos 22^{\circ}}\)。答案：(4) 報錯
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111學測數學B試題-19
中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔,它們的塔高分別為\(48\)、\(19\)與\(57\)（公尺）,偏移距離分別為\(2.3\)、\(2.3\)與\(4\)（公尺）,塔的傾斜度分別記為\(\theta_{1}^{\circ}\)、\(\theta_{2}^{\circ}\)與\(\theta_{3}^{\circ}\)。試比較\(\theta_{1}\)、\(\theta_{2}\)與\(\theta_{3}\)三數的大小關係。
答案
1. 根據傾斜度的定義,傾斜度\(\theta\)滿足\(\sin\theta=\frac{偏移距離}{塔高}\)。
2. 對於虎丘塔,\(\sin\theta_{1}=\frac{2.3}{48}\)；對於護珠塔,\(\sin\theta_{2}=\frac{2.3}{19}\)；對於比薩斜塔,\(\sin\theta_{3}=\frac{4}{57}\)。
3. 因為\(\frac{2.3}{19}>\frac{4}{57}>\frac{2.3}{48}\)（通分比較大小：\(\frac{2.3×3}{19×3}=\frac{6.9}{57}\),\(\frac{6.9}{57}>\frac{4}{57}\),\(\frac{2.3}{48}=\frac{2.3×19}{48×19}=\frac{43.7}{912}\),\(\frac{4}{57}=\frac{4×16}{57×16}=\frac{64}{912}\),\(\frac{43.7}{912}<\frac{64}{912}\)）,且\(y = \sin\theta\)在\(0\leq\theta<90^{\circ}\)單調遞增,所以\(\theta_{2}>\theta_{3}>\theta_{1}\)。 報錯
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