函數的導數

1. (1) 極小值與極大值無必然大小關係，錯；
2. (2) \(x=1、2\) 是極小值，故 \(f'(x)\) 在 \(1\) 右側正、\(2\) 左側負，存在 \(a,b\) 使 \(f'(a)>0\) 且 \(f'(b)<0\)，對；
3. (3) \(x=3\) 是極大值，故 \(f''(3)<0\)，錯；
4. (4) 最高次項係數正，次數大於5（奇數），\(x\to+\infty\) 時 \(f'(x)\to+\infty\)，故存在 \(c>5\) 使 \(f'(c)>0\)，對；
5. (5) ✓：\( f'(x)=0 \) 至少有 7 個實根 ⇒ \( \deg f(x) \geq 8 \)：(2)(4)(5) 報錯
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由\(ax^{2}+bx = ax + b\)，移項得\(ax^{2}+(b - a)x - b = 0\)。
因為兩函數圖形相切，所以判別式\(\Delta=(b - a)^{2}+4ab = 0\)，即\((a + b)^{2}=0\)，\(a=-b\)。
將\(a=-b\)代入一次函數\(y = ax + b\)得\(y = ax - a=a(x - 1)\)，代入二次函數得\(y = ax^{2}-ax\)。
聯立方程求解切點，令\(ax - a = ax^{2}-ax\)，即\(ax^{2}-2ax + a = 0\)，\(x^{2}-2x + 1 = 0\)，解得\(x = 1\)，\(y = 0\)，切點為\((1,0)\)，在\(x\)軸上。
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因為\(f(x)\)是三次實系數多項式，且在\(0\leq x\leq3\)上，\(f(0)=f(2)=12\)為最大值。
三次函數的圖像是一條曲線，若\(a\gt0\)，函數圖像大致是先增後減再增；若\(a\lt0\)，函數圖像大致是先減後增再減。
由於\(f(x)\)在\([0, 3]\)上\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得最大值，所以函數圖像在\([0, 2]\)上不是單調遞增的，在\([0, 3]\)上也不是單調遞減的，所以\(a\lt0\)。
圖像大致為：在\([0, 2]\)上先上升後下降（形成一個局部極大值點在\(x = 0\)和\(x = 2\)處），在\([2, 3]\)上繼續下降 。在圖像上標注出\((0, 12)\)和\((2, 12)\)兩個點 。 報錯
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因為\(f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)上最大值\(12\)在\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得，所以\(f(x)-12 = 0\)的實數解為\(x = 0\)（重根）和\(x = 2\)（重根），即\(f(x)-12=a(x - 0)^2(x - 2)^2=ax^2(x - 2)^2\)。
因為\(G(x)\)滿足\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)，所以\(G^\prime(x)=f(x)\)。
又因為\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，所以\(G^\prime(1)=f(1)=0\)。
將\(x = 1\)代入\(f(x)=ax^2(x - 2)^2\)，得\(a\times1^2\times(1 - 2)^2=0\)，即\(a = - 12\)。 報錯
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由(2)可知\(f(x)=-12x^{2}(x - 2)^{2}=-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2}\)。
因為\(G(x)=\int f(x)dx\)，所以\(G(x)=\int(-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2})dx=- \frac{12}{5}x^{5}+12x^{4}-16x^{3}+C\)。
又\(G(0)=0\)，代入可得\(C = 0\)，即\(G(x)=-\frac{12}{5}x^{5}+12x^{4}-16x^{3}\) 。
對\(G(x)\)求導得\(G^\prime(x)=-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2}=-12x^{2}(x^{2}-4x + 4)=-12x^{2}(x - 2)^{2}\)。
在區間\([0,2]\)上分析\(G^\prime(x)\)的符號：
令\(G^\prime(x)=0\)，可得\(x = 0\)或\(x = 2\)。
當\(0\lt x\lt2\)時，\(G^\prime(x)\leq0\)，這表明\(G(x)\)在\((0,2)\)上單調遞減。
所以在\(0\leq x\leq2\)的範圍內，\(G(x)\)在\(x = 2\)處取得最小值。
將\(x = 2\)代入\(G(x)\)得：
\(G(2)=-\frac{12}{5}\times2^{5}+12\times2^{4}-16\times2^{3}\)
\(=-\frac{384}{5}+192 - 128\)
\(=-\frac{384}{5}+64\)
\(=-\frac{384}{5}+\frac{320}{5}\)
\(=-\frac{64}{5}\)。
故\(G(x)\)在\(0\leq x\leq2\)的範圍內的最小值為\(-\frac{64}{5}\)。 報錯
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根據定積分基本定理\(\int_{a}^{b}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\)。
已知\(f(x)\)在\(x = 1\)有極大值，則\(f^{\prime}(1)=0\)。
又因為圖形\(y = f(x)\)在\((4,f(4))\)之切線方程式為\(y - f(4)+5(x - 4)=0\)，其斜率為\(-5\)，所以\(f^{\prime}(4)= - 5\)。
則\(\int_{1}^{4}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(4)-f^{\prime}(1)= - 5 - 0=-5\)。
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若兩函數\(y = f(x)\)與\(y = g(x)\)在\(x = 1\)相切，根據切線的性質，則\(f(1)=g(1)\)且\(f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)\)，(1)(2)正確。
由(1)(2)$先令p(x)=f(x)-g(x)~~(\mathrm{deg}p(x)=3且領導係數\gt0\\
\because p(1)=0=p'(1)\Rightarrow 圖形單調遞增\therefore (1,p(1))為y=p(x)圖形反曲點\\
p''(1)=0,\therefore f''(1)=0)$，(3)正確。
假設\(f(x)=x^{3}\)，\(g(x)=3x - 2\)，\(f^{\prime}(x)=3x^{2}\)，\(g^{\prime}(x)=3\)，\(f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)=3\)，且\(f(x)\)與\(g(x)\)只有一個交點\(x = 1\)，但不存在\(a\neq1\)使得\(f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)\)，(4)錯誤。
同理，不能得出存在實數\(a\neq1\)使得\(f^{\prime\prime}(a)=g^{\prime\prime}(a)\)，(5)錯誤。
答案為(1)(2)。 報錯
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由(1)知\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}=2h^{2}-1\)，\(\overrightarrow{OP_0}\)和\(\overrightarrow{OP_4}\)夾角不超過\(90^{\circ}\)，則\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}\geq0\)，即\(2h^{2}-1\geq0\)，解得\(h\geq\frac{\sqrt{2}}{2}\)（因為\(0≤h≤1\)，所以取\(h\)的取值範圍\(\frac{\sqrt{2}}{2}≤h≤1\)）。
由(2)知\(V(h)=\frac{2\sqrt{2}}{3}(h - h^{3})\)，對\(V(h)\)求導，\(V^\prime(h)=\frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^{2})\)。
令\(V^\prime(h)=0\)，即\(\frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^{2}) = 0\)，解得\(h=\frac{\sqrt{3}}{3}\)或\(h = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)（舍去，因為\(h\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]\)）。
在\(h\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]\)上分析\(V^\prime(h)\)的符號：
當\(\frac{\sqrt{2}}{2}\leq h\lt\frac{\sqrt{3}}{3}\)時，\(V^\prime(h)>0\)，\(V(h)\)遞增；
當\(\frac{\sqrt{3}}{3}\lt h\leq1\)時，\(V^\prime(h)<0\)，\(V(h)\)遞減。 所以\(V(h)\)在\(h=\frac{\sqrt{2}}{2}\)或\(h = \frac{\sqrt{3}}{3}\)處取得最大值。 \(V(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4})=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{3}\)。 \(V(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3}-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{9})=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{4\sqrt{6}}{27}\)。 比較\(\frac{1}{3}\)和\(\frac{4\sqrt{6}}{27}\)的大小： \(\frac{1}{3}=\frac{9}{27}\)，\((\frac{9}{27})^2=\frac{81}{729}\)，\((\frac{4\sqrt{6}}{27})^2=\frac{96}{729}\)，所以\(\frac{4\sqrt{6}}{27}>\frac{1}{3}\)。
所以正八角錐體積\(V(h)\)的最大值為\(\frac{4\sqrt{6}}{27}\)。 報錯
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由(3)知\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x - 1\)，則\(\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx\)。
\(\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x)\big|_{0}^{a}=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a\)。
令\(g(a)=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a - 1\)（\(a>1\)）。
對\(g(a)\)求導得\(g'(a)=4a^{3}-3a^{2}+2a - 1\)。
當\(a>1\)時，\(4a^{3}-3a^{2}+2a - 1=a^{2}(4a - 3)+2a - 1>0\)，所以\(g(a)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞增。
又\(g(1)=1^{4}-1^{3}+1^{2}-1 - 1=-1<0\) ，\(\lim_{a\rightarrow+\infty}g(a)=+\infty\)。 根據零點存在定理，在單調遞增函數中，當函數在某區間兩端點函數值異號時，函數在該區間內有且只有一個零點。 所以恰有一個大於1的正實數\(a\)，使得\(g(a)=0\)，即恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。 報錯
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