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109指考數學甲(補考)試題-02

某質點在數線上移動，已知其位置坐標為$s(t)=\int_{0}^{t}(-x^{2}+6x)dx$，其中$t$表時間且$0 \leq t \leq10$。若此質點的速度在時段$0 \leq t < a$遞增，且在時段$a < t \leq10$遞減，試選出正確的$a$值。 (1)3 (2)4 (3)5 (4)6 (5)7

[單選題]

答案

首先，根據微積分基本定理，速度$v(t)=s'(t)=-t^{2}+6t$。
對$v(t)$求導得$v'(t)=-2t + 6$。
令$v'(t)=0$，即$-2t + 6 = 0$，解得$t = 3$。
當$v'(t)>0$時，$-2t + 6>0$，解得$t < 3$，此時速度$v(t)$遞增；當$v'(t)<0$時，$-2t + 6<0$，解得$t>3$，此時速度$v(t)$遞減。
所以$a = 3$，答案為(1)。

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110指考數學甲試題-07

設$F(x)$為一實數多項式且$F'(x)=f(x)$ 。已知$f'(x)>x^{2}+1.1$對所有的實數$x$均成立，試選出正確的選項。
(1)$f'(x)$為遞增函數
(2)$f(x)$為遞增函數
(3)$F(x)$為遞增函數
(4)$[f(x)]^{2}$為遞增函數
(5)$f(f(x))$為遞增函數

[多選]

答案

(1)因為$f''(x)=(f'(x))'>2x未必大於0$，$f'(x)$非遞增函數，(1)錯誤。
(2)由$f'(x)>x^{2}+1.1>0$可知，$f'(x)>0$恆成立，所以$f(x)$為遞增函數，(2)正確。
(3)$F'(x)=f(x)$，但僅知道$f(x)$遞增，不能直接得出$F(x)$為遞增函數，比如$f(x)=x$遞增，$F(x)=\frac{1}{2}x^{2}$在$(-\infty,0)$上遞減，在$(0,+\infty)$上遞增，(3)錯誤。
(4)令$y = [f(x)]^{2}$，則$y' = 2f(x)f'(x)$，雖然$f'(x)>0$，但$f(x)$的值有正有負，所以$y'$的正負不確定，$[f(x)]^{2}$不一定是遞增函數，(4)錯誤。
(5)函數$f(f(x))$的導函數為$f'(f(x)) \times f'(x)$。
因為$f'(f(x)) \times f'(x) > \left( (f(x))^2 + 1.1 \right) \times f'(x)$對所有實數$x$均成立，
且$(f(x))^2 + 1.1$恆正、$f'(x)$恆正，所以$f(f(x))$的導函數恆正，
因此$f(f(x))$是遞增函數。答案為(2)(5)。

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112分科測驗數學甲考科試題-03

試問極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} \left( \sqrt{4n^2 + 9 \times 1^2} + \sqrt{4n^2 + 9 \times 2^2} + \cdots + \sqrt{4n^2 + 9 \times (n-1)^2} \right) \]
的值可用下列哪一個定積分表示？
(1) $\int_0^3 \sqrt{1+x^2} \, dx$
(2) $\int_0^3 \sqrt{1+9x^2} \, dx$
(3) $\int_0^3 \sqrt{4+x^2} \, dx$
(4) $\int_0^3 \sqrt{4+9x^2} \, dx$
(5) $\int_0^3 \sqrt{4x^2+9} \, dx$

[單選]

答案

將極限轉化為定積分，令 $\Delta x = \frac{3}{n}~~(0\le k\le n-1,0\le x\le3)$，則
$\Delta A=\frac{3}{n^2} ( \sqrt{4n^2 + 9 \times k^2}=\frac{3}{n} ( \sqrt{4 + ({\frac{3k}{n}})^2})
=\frac{3}{n} ( \sqrt{4 + (x_{k})^2})=\Delta x\times y_k 。\\
極限可表示為 \int_0^3 \sqrt{4 + x^2} \, dx$。答案為(3)。

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112分科測驗數學甲考科試題-05

考慮實係數多項式 $f(x)=x^4-4x^3-2x^2+ax+b$。已知方程式 $f(x)=0$ 有虛根 $1+2i$ （其中 $i=\sqrt{-1}$），試選出正確的選項。
(1) $1-2i$ 也是 $f(x)=0$ 的根
(2) $a, b$ 皆為正數
(3) $f'(2.1)<0$
(4) 函數 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 有局部極小值
(5) $y=f(x)$ 圖形反曲點的 $x$ 坐標皆大於0

[多選]

答案

選項（1）：
實係數多項式虛根成共軛對，$1 + 2i$是根，則$1 - 2i$必為根，正確。
選項（2）：
由$(x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i)) = x^2 - 2x + 5$，對$f(x)$作多項式長除法得餘式0，可得$a = -26$，$b = -60$，非正數，錯誤。
選項（3）：$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x - 26$，計算$f'(2.1)$：$4(2.1)^3 - 12(2.1)^2 - 4(2.1) - 26 < 0$，正確。選項（4）：$f'(1) = 4 - 12 - 4 - 26 = -38 \neq 0$，$x = 1$非極值點，錯誤。選項（5）：$f''(x) = 12x^2 - 24x - 4$，令$f''(x) = 0$，解$x = \frac{24 \pm \sqrt{768}}{24} 未必大於 0$，錯誤。

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112分科測驗數學甲考科試題-13

[12-14為題組]
試證明$y=f(x)$圖形與$\Omega$在$P$點有共同的切線。（非選擇題，4分）

[非選擇]

答案

已知 $ y = f(x) = \frac{1}{2}x^2 $，求導得 $ f'(x) = x $。
因此 $ y = f(x) $ 在點 $ P\left(1,\frac{1}{2}\right) $ 處的切線斜率：
$ m_1 = f'(1) = 1 $。

又 $ P $ 在圓 $ \Omega $ 上，圓在 $ P $ 點的切線與半徑 $ \overrightarrow{CP} $ 垂直。
由 $ \overrightarrow{CP} $ 的斜率為 $ \frac{\frac{1}{2}}{-1} = -1 $，得圓在 $ P $ 點的切線斜率：
$ m_2 = 1 $。

因 $ m_1 = m_2 $ 且切線均過 $ P $，故 $ y = f(x) $ 與 $ \Omega $ 在 $ P $ 點有共同切線。

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113分科測驗數學甲試題07

坐標平面上,考慮兩函數 $ f (x) = x^{5}-5x^{3}+5x^{2}+5$ 與 $ g(x)=\sin(\frac{\pi}{3}x+\frac{\pi}{2})$ 的函數圖形（其中 $ \pi $ 為圓周率）。試選出正確的選項。
(1) $ f'(1) = 0$
(2) $ y = f (x) $ 在閉區間 $[0,2]$ 為遞增
(3) $ y = f (x) $ 在閉區間 $[0,2]$ 為凹向上
(4) 對任意實數 $ x$,$ g(x + 6\pi) = g(x)$
(5) $ y = f (x) $ 與 $ y = g(x) $ 在閉區間 $[3,4]$ 皆為遞增

[多選]

答案

(1) $f'(x)=5x^{4}-15x^{2}+10x$,$f'(1)=5 - 15 + 10 = 0$,(1) 對；
(2) $f'(x)=5x(x^{3}-3x + 2)=5x(x - 1)^{2}(x + 2)$,在 $[0,2]$ 上 $f'(x)\geq0$,$y = f (x)$ 遞增,(2) 對；
(3) $f''(x)=20x^{3}-30x + 10$,在 $[0,2]$ 上 $f''(x)$ 有正有負,不是凹向上,(3) 錯；
(4) $g(x)=\sin(\frac{\pi}{3}x)$ 的周期 $T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$,不是 $6\pi$,(4) 錯；
(5) $f'(x)>0$ 在 $[3,4]$ 成立,
$g(x)週期6且x=3時\theta=\frac{\pi}{3}\times3+\frac{\pi}{2}=\frac{3}{2}\pi,\\x=4時\theta=\frac{\pi}{3}\times4+\frac{\pi}{2}=\frac{11}{6}\pi,此區間g(x)遞增,(5)對。$
答案是(1)(2)(5)。

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113分科測驗數學甲試題15

坐標平面上,設 $ \Gamma $ 為三次函數 $ f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x – 4$ 的函數圖形。試問下列何者為 $ f (x) $ 的導函數？
(1) $x^{2}-9x + 15$
(2) $3x^{3}-18x^{2}+15x – 4$
(3) $3x^{3}-18x^{2}+15x$
(4) $3x^{2}-18x + 15$
(5) $x^{2}-18x + 15$

[非選擇]

答案

根據求導公式 $(x^{n})^\prime=nx^{n - 1}$,對 $f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x - 4$ 求導,可得 $f^\prime(x)=3x^{2}-18x + 15$,答案是(4)。

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111分科數學甲試題-14

有一積木，其中$ACFD$和$ABED$是兩個全等的等腰梯形，$BCFE$是一個矩形。設$A$點在直線$BC$的投影為$M$且在平面$BCFE$的投影為$P$。已知$\overline{AD}=30$ ，$\overline{CF}=40$ ，$\overline{AP}=15$且$\overline{BC}=10$ 。將線段$\overline{AP}$的$n$等分點沿著向量$\overrightarrow{AP}$的方向依序設為$A = P_{0},P_{1},\cdots,P_{n – 1},P_{n}=P$ 。在每一個分段$\overline{P_{k – 1}P_{k}}$ ，考慮以通過$P_{k}$的水平面與此積木所截的矩形為底、$\overline{P_{k – 1}P_{k}}$為高，所形成的長方體。請利用此切片方法寫下估計此積木體積的黎曼和(不需化簡)，且以定積分形式表示此積木的體積並求其值。

[非選擇]

答案

黎曼和：$\sum_{k = 1}^{n}(20\frac{15(k - 1)}{n}+\frac{4}{9}(\frac{15(k - 1)}{n})^{2})\frac{15}{n}$。定積分形式：$V=\int_{0}^{15}(20x+\frac{4}{9}x^{2})dx$ 。計算定積分：$\int_{0}^{15}(20x+\frac{4}{9}x^{2})dx=(10x^{2}+\frac{4}{27}x^{3})\big|_{0}^{15}=10\times15^{2}+\frac{4}{27}\times15^{3}=2250 + 500 = 2750$ ，所以積木體積為$2750$ 。

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111分科數學甲試題-15~17

考慮坐標平面上之向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$滿足$|\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}| = 9$以及$|\overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}| = 7$。若令$|\overrightarrow{a}| = x$，其中$1 \lt x \lt 8$，且令$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角為$\theta$，則利用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}$所形成的三角形，可將$\cos\theta$以x表示成$\frac{c}{9x – x^2} + d$，其中c、d為常數且$c \gt 0$。令此表示式為$f(x)$，且其定義域為$\{x \mid 1 \lt x \lt 8\}$。試回答下列問題：
15.求$f(x)$及其導函數。
16.說明$f(x)$在定義域中遞增、遞減的情況。並說明x為多少時$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角$\theta$最大。
17.利用$f(x)$的一次估計（一次近似），求當$x = 4.96$時，$\cos\theta$約為多少？

[非選擇]

答案

15. 求$f(x)$及其導函數已知$|\vec{a}| = x$，則$|\vec{b}| = 9 - x$。由$|\vec{a} - \vec{b}| = 7$，根據向量模長公式：$7^2 = x^2 + (9 - x)^2 - 2x(9 - x)\cos\theta$
展開整理得：$49 = 2x^2 - 18x + 81 - 2x(9 - x)\cos\theta \implies \cos\theta = \frac{16}{9x - x^2} - 1$
故$f(x) = \frac{16}{9x - x^2} - 1$。求導：$f'(x) = \frac{16 \cdot (2x - 9)}{(9x - x^2)^2} = \frac{32x - 144}{(9x - x^2)^2}$
16. $f(x)$的單調性與$\theta$最大值當$1 < x < 4.5$，$f'(x) < 0$，$f(x)$遞減；當$4.5 < x < 8$，$f'(x) > 0$，$f(x)$遞增。$\cos\theta$越小，$\theta$越大。$f(x)$在$x = 4.5$時取最小值，此時$\cos\theta=-\frac{17}{81}$最小，故$x = 4.5$時，$\theta$最大。17. 一次估計求$\cos\theta$取$x_0 = 5$，計算：$f(5) = \frac{16}{25} - 1 = -0.2, \quad f'(5) = \frac{16}{400} = 0.04$
當$x = 4.96$，$\Delta x = -0.04$，線性近似：$f(4.96) \approx f(5) + f'(5) \cdot (-0.04) = -0.2 - 0.0016 = -0.2016$

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