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107指考數學甲試題–A

坐標平面上，已知圓$C$通過點$P(0,-5)$，其圓心在$x = 2$上。若圓$C$截$x$軸所成之弦長為$6$，則其半徑為$\sqrt{(\quad)}$。(化成最簡根式)

[選填題]

答案

設圓$C$的圓心坐標為$(2,y_0)$，半徑為$r$。
圓$C$截$x$軸所成之弦長為$6$，則弦長的一半為$3$。
圓心$(2,y_0)$到$x$軸的距離為$\vert y_0\vert$。
根據勾股定理，$r^{2}=3^{2}+\vert y_0\vert^{2}$。
又因為圓$C$過點$P(0,-5)$，所以$(0 - 2)^{2}+(-5 - y_0)^{2}=r^{2}$。
將$r^{2}=3^{2}+\vert y_0\vert^{2}$代入$(0 - 2)^{2}+(-5 - y_0)^{2}=r^{2}$可得：
$4 + (-5 - y_0)^{2}=9 + y_0^{2}$
$4 + 25 + 10y_0 + y_0^{2}=9 + y_0^{2}$
$10y_0=-20$
解得$y_0=-2$。
所以$r^{2}=3^{2}+(-2)^{2}=9 + 4 = 13$，則$r = \sqrt{13}$。故答案為$13$。

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107指考數學甲試題–C

設$AB$，$CD$為圓上的相異四點。已知圓的半徑為$\frac{7}{2}$，$\overline{AB}=5$，兩線段$\overline{AC}$與$\overline{BD}$互相垂直，如圖所示(此為示意圖，非依實際比例)。則$\overline{CD}$的長度为$\sqrt{(\quad)}$。(化成最簡根式)

[選填題]

答案

設圓的圓心為$O$，半徑$r = \frac{7}{2}$。
作$OM\perp AB$於$M$，根據垂徑定理，$AM=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$。
在$Rt\triangle OMA$中，由勾股定理可得$OM=\sqrt{r^{2}-AM^{2}}=\sqrt{(\frac{7}{2})^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{49 - 25}{4}}=\sqrt{6}$。
因為$AC\perp BD$，設$AC$與$BD$相交於點$P$，根據圓的性質，$OM^{2}+ON^{2}=OP^{2}$（$ON$為$O$到$CD$的距離）。
又因為圓的對稱性，可推出$AB^{2}+CD^{2}=4r^{2}$（這是圓中兩垂直弦的一個性質，可通過勾股定理多次推導得出）。
將$r = \frac{7}{2}$，$AB = 5$代入可得$25+CD^{2}=4\times(\frac{7}{2})^{2}$
$25+CD^{2}=4\times\frac{49}{4}$
$CD^{2}=49 - 25 = 24$
所以$CD=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，故答案為$24$。

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110指考數學甲試題-08

已知$z_{1}$、$z_{2}$、$z_{3}$、$z_{4}$為四個相異複數，且其在複數平面上所對應的點，依序可連成一個平行四邊形，試問下列哪些選項必為實數？
(1)$(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})$
(2)$z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}$
(3)$z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}$
(4)$\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}$
(5)$(\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}$

[多選]

答案

在複數平面上，若$z_{1}$、$z_{2}$、$z_{3}$、$z_{4}$對應點構成平行四邊形，則$z_{1}+z_{3}=z_{2}+z_{4}$ ，即$z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0$，$0$是實數，(2)正確。
對於(1)，在平行四邊形中，$(z_{1}-z_{3})$與$(z_{2}-z_{4})$是平行四邊形的兩條對角線向量，它們的乘積不一定是實數；
對於(3)，$z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=2(z_{2}+z_{4})$不一定是實數；
對於(4)，$\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}$由平行兩向量成係數積關係,一定是實數；
對於(5)，由$z_{1}-z_{3}$與$z_{2}-z_{4}$是平行四邊形的對角線向量，$(\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}$不一定是實數。
答案為(2)(4)。

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112分科測驗數學甲考科試題-13

[12-14為題組]
試證明$y=f(x)$圖形與$\Omega$在$P$點有共同的切線。（非選擇題，4分）

[非選擇]

答案

已知 $ y = f(x) = \frac{1}{2}x^2 $，求導得 $ f'(x) = x $。
因此 $ y = f(x) $ 在點 $ P\left(1,\frac{1}{2}\right) $ 處的切線斜率：
$ m_1 = f'(1) = 1 $。

又 $ P $ 在圓 $ \Omega $ 上，圓在 $ P $ 點的切線與半徑 $ \overrightarrow{CP} $ 垂直。
由 $ \overrightarrow{CP} $ 的斜率為 $ \frac{\frac{1}{2}}{-1} = -1 $，得圓在 $ P $ 點的切線斜率：
$ m_2 = 1 $。

因 $ m_1 = m_2 $ 且切線均過 $ P $，故 $ y = f(x) $ 與 $ \Omega $ 在 $ P $ 點有共同切線。

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113分科測驗數學甲試題16

坐標平面上,設 $ \Gamma $ 為三次函數 $ f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x – 4$ 的函數圖形。試說明 $ P(1,3)$ 為 $ \Gamma $ 上之一點,並求 $ \Gamma $ 在 $ P$ 點的切線 $ L$ 的方程式。

[非選擇]

答案

切線方程求解驗證$P(1,3)$在$\Gamma$上：
代入$x = 1$，$f(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 4 = 3$，故$P(1,3)$在$\Gamma$上。求切線方程：$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$，$f'(1) = 3 - 18 + 15 = 0$。
由點斜式，切線L的方程為$y - 3 = 0 \cdot (x - 1)$，即$y = 3$。

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