坐標平面上，圓T完全落在四個不等式：\( x-y \leq 4 \)，\( x+y \leq 18 \)，\( x-y \geq -2 \)，\( x+y \geq -24 \)所圍成的區域內，則T最大可能面積為 __________ \(\pi\)（化成最簡分數）
區域為平行四邊形，兩組平行線距離：\( x-y \) 組：\( \frac{|4-(-2)|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \)；\( x+y \) 組：\( \frac{|18-(-24)|}{\sqrt{2}} = \frac{42}{\sqrt{2}} = 21\sqrt{2} \)。取短邊 \( 3\sqrt{2} \) 為直徑，半徑 \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)，面積 \( \pi \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{9}{2}\pi \)。答案：\( \frac{9}{2} \) 報錯
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空間中有三點 \( A(1,7,2) \)、\( B(2,-6,3) \)、\( C(0,-4,1) \)，若直線 L 通過 A 點並與直線 BC 相交且垂直，則 L 和直線 BC 的交點坐標為 __________。
設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧 \( QRT \) 是一個以 \( O \) 點為圓心、\( OT \) 為直徑的半圓，\( OT = 2\sqrt{3} \)。圓弧 \( QST \) 的圓心在 \( P \) 點，\( PQ = PT = 2 \)。圓弧 \( QRT \) 與圓弧 \( QST \) 所圈出的灰色區域 \( QRTSQ \) 即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為 \( a\pi + \sqrt{b} \)，其中 \( \pi \) 為圓周率，\( a \) 為有理數，\( b \) 為整數，則 \( a = \) __________（化為最簡分數），\( b = \) __________。
[題組:第18-20題]
19. 令 \( O \) 為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 \( A’ \)、\( B’ \)。試在右側作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區域 \( R \)，並求 \( \cos \angle OA’B’ \) 及點 \( A’ \) 的極坐標。（非選擇題，6分）
設 \( A'(c,d) \)，由 \( A' \) 在 \( x^2+y^2=3 \) 上且 \( \overline{A'B'}=1 \)，得 \( c^2+d^2=3 \), \( (c+2)^2+d^2=1 \)
相減得 \( 4c+4=-2 \Rightarrow c=-\frac{3}{2} \)，代入得 \( d=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
∴ \( A' \left( -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)，極坐標 \( \left[ \sqrt{3}, \frac{5\pi}{6} \right] \)
\( \cos \angle OA'B' = \frac{\overset{\rightharpoonup}{A'O} \cdot \overset{\rightharpoonup}{A'B'}}{|\overset{\rightharpoonup}{A'O}||\overset{\rightharpoonup}{A'B'}|} = 0 \) 報錯
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[題組:第18-20題]
20. （承18題）令 \( \Omega \) 表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求 \( \Omega \) 與 \( R \) 的面積。（非選擇題，6分）
\( \Omega \) 面積 = 扇形 \( OBD \) 面積 + \( \triangle OAB \) 面積 - 扇形 \( OAC \) 面積
= \( \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 - \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12} \)
\( R \) 面積 = \( \Omega \) 面積 + 第二象限掃過區域面積 = \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12} \right) + \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5\pi}{12} \) 報錯
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某實驗室有輻射外洩，危害附近環境。根據調查：該輻射第一天汙染區域是一個以實驗室為中心，半徑2公里的圓形區域，如圖中最內圓的圓內區域。第二天與第三天汙染區域逐漸擴大，都是以實驗室為中心，但汙染半徑越來越大的圓形區域，如圖中第二個與第三個同心圓的圓內區域。已知輻射每天汙染區域依照上述同心圓的模式向外擴大區域，而且新增汙染區域之面積都是前一天新增汙染區域面積的 \( \frac{5}{7} \) 倍，在汙染一直持續下去的條件下，全部汙染區域會趨近於半徑為 \( \sqrt{14 \times 13} \) 公里的圓形區域。
第一天新增面積：\( \pi(2)^2=4\pi \)
第二天新增面積：\( 4\pi\times\frac{5}{7} \)
第三天新增面積：\( 4\pi\times(\frac{5}{7})^2 \)
總面積 = \( 4\pi[1+\frac{5}{7}+(\frac{5}{7})^2+\cdots] = 4\pi\times\frac{1}{1-\frac{5}{7}} = 4\pi\times\frac{7}{2} = 14\pi \)
設半徑為 \( R \)，則 \( \pi R^2=14\pi \) ⇒ \( R=\sqrt{14} \)
答案：\( \sqrt{14} \) 報錯
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問題16：證明對於所有 \(a\in[-\frac{1}{2},1],\Gamma\) 的面積皆為2。
坐標平面上有一圖形\(\Gamma\)，其方程式為\((x – 1)^{2}+(y – 1)^{2}=101\) 。試選出正確的選項。(1)\(\Gamma\)與\(x\)軸負向、\(y\)軸負向分別交於\((-9,0)\)、\((0,-9)\)(2)\(\Gamma\)上\(x\)坐標最大的點是點\((11,0)\)(3)\(\Gamma\)上的點與原點距離的最大值為\(\sqrt{2}+\sqrt{101}\)(4)\(\Gamma\)在第三象限的點之極坐標可用\([9,\theta]\)表示，其中\(\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi\)(5)\(\Gamma\)經旋轉線性變換後，其圖形仍可用一個不含\(xy\)項的二元二次方程式表示
令\(y = 0\) ，則\((x - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}=101\) ，即\((x - 1)^{2}=100\) ，解得\(x - 1=\pm10\) ，\(x = 11\)或\(x=-9\) ；令\(x = 0\) ，則\((0 - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=101\) ，即\((y - 1)^{2}=100\) ，解得\(y - 1=\pm10\) ，\(y = 11\)或\(y=-9\) ，所以(1)正確。
圓的標準方程為\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)，此圓圓心為\((1,1)\) ，半徑\(r=\sqrt{101}\) ，\(\Gamma\)上\(x\)坐標最大的點是\((1+\sqrt{101},1)\) ，(2)錯誤。
圓心\((1,1)\)到原點距離為\(\sqrt{(1 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}}=\sqrt{2}\) ，圓上點與原點距離最大值為圓心到原點距離加上半徑，即\(\sqrt{2}+\sqrt{101}\) ，(3)正確。
圓在第三象限的點到原點距離小於半徑\(\sqrt{101}>9\) ，(4)錯誤。
圓經旋轉線性變換後仍為圓，可用不含\(xy\)項的二元二次方程式表示，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。 報錯
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