家政老師要將甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛等8位學生平均分為4組，每組2人進行料理比賽，基於秩序考量，甲同學不可以跟乙同學同組，且乙同學也不可以跟丙同學同組，還有丙同學也不可以跟丁同學同組，請問老師有多少种分组方法？
\((1) 54\)種
\((2) 63\)種
\((3) 76\)種
\((4) 82\)種
\((5) 95\)種
8人平均分4組總方法：\(\frac{C_8^2C_6^2C_4^2C_2^2}{4!} = 105\)。用容斥原理減去違規組合：甲與乙同組、乙與丙同組、丙與丁同組的方法各 \(\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{3!} = 15\)，加回重減部分，得 \(105 - 3\times15 + 3 = 63\)。答案：\((2)\)
[題組:第18到20題]王先生參加一個4天3夜的渡假活動，旅行社提供3間不同的單人小木屋 \(A\)、\(B\)、\(C\) 供住宿，參加旅客必須每天在不同的小木屋留宿。若王先生這3夜的住宿安排順序為「第1天住 \(A\) 房、第2天住 \(B\) 房、第3天住 \(C\) 房」，好朋友丁小姐和呂先生也對該行程有興趣，但兩人不得選擇王先生已選定的小木屋留宿，每人每晚均在不同的小木屋住宿，且每間小木屋每晚只能供1人住宿。則丁小姐和呂先生這3夜的住宿順序有幾種安排的方式？
[題組題]某班級50位學生，段考圓文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人，且英文及格的學生圓文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有x人，數學及格但英文不及格的有y人。請選出正確的選項。
(1) \( x+y=39 \)
(2) \( y\leq11 \)
(3) 三種中至少有一科不及格的學生有39-x+y人
(4) 三種中至少有一科不及格的學生最少有11人
(5) 三種中至少有一科不及格的學生最多有27人。
某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？
(1) \(\frac{1}{3}\)
(2) \(\frac{8}{21}\)
(3) \(\frac{3}{7}\)
(4) \(\frac{10}{21}\)
(5) \(\frac{11}{21}\)
某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇領或不領。投票結束後請點選投票所的選票，發現甲案有765人領票，乙案有537人領票，丙案有648人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有224人，並且每個人都至少領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者共有 __________ 人。
[選填題]某商店出售10種不同款式的公仔。今甲、乙、丙三人都各自收集公仔。試選出正確的選項。
(1) 若甲、乙兩人各自收集6款公仔，則他們兩人合起來一定會收集到這10款不同的公仔
(2) 若甲、乙兩人各自收集7款公仔，則至少有4款公仔是兩人都擁有
(3) 若甲、乙、丙三人各自收集6款公仔，則至少有1款公仔是三人都擁有
(4) 若甲、乙、丙三人各自收集7款公仔，則至少有2款公仔是三人都擁有
(5) 若甲、乙、丙三人各自收集8款公仔，則至少有4款公仔是三人都擁有
已知 \( n(\text{甲})=7 \)、\( n(\text{乙})=7 \)，全集元素數 \( \leq10 \)。
(1)×：由聯集公式 \( n(\text{甲} \cup \text{乙}) = n(\text{甲}) + n(\text{乙}) - n(\text{甲} \cap \text{乙}) \leq10 \)，
可得 \( 6 \leq n(\text{甲} \cup \text{乙}) \leq10 \)，故該描述錯誤。
(2)○：由(1)推得 \( n(\text{甲} \cap \text{乙}) = 7+7 - n(\text{甲} \cup \text{乙}) \geq 14-10=4 \)，
且 \( n(\text{甲} \cap \text{乙}) \leq 7 \)，因此 \( 4 \leq n(\text{甲} \cap \text{乙}) \leq7 \)。
### 三集合（甲、乙、丙）的情況
利用包含排斥原理：
\[
n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) = n(\text{甲} \cup \text{乙} \cup \text{丙}) - n(\text{甲}) - n(\text{乙}) - n(\text{丙}) + n(\text{甲} \cap \text{乙}) + n(\text{乙} \cap \text{丙}) + n(\text{丙} \cap \text{甲})
\]
且 \( n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) \geq0 \)。
(3)×：若甲、乙、丙各收集6款，則 \( 6 \leq n(\text{甲} \cup \text{乙} \cup \text{丙}) \leq10 \)，且 \( 2 \leq n(\text{兩兩交集}) \leq6 \)，
可得 \( 0 \leq n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) \leq6 \)，即**可能沒有三人都擁有的公仔**，故該描述錯誤。
(4)×：若甲、乙、丙各收集7款，則 \( 7 \leq n(\text{甲} \cup \text{乙} \cup \text{丙}) \leq10 \)，且 \( 4 \leq n(\text{兩兩交集}) \leq7 \)，
可得 \( 1 \leq n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) \leq7 \)，但「至少1款」並非絕對（邏輯描述不嚴謹），故該描述錯誤。
(5)○：若甲、乙、丙各收集8款，則 \( 8 \leq n(\text{甲} \cup \text{乙} \cup \text{丙}) \leq10 \)，且 \( 6 \leq n(\text{兩兩交集}) \leq8 \)，
可得 \( 4 \leq n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) \leq8 \)，即**至少4款公仔是三人都擁有的**。
故選(2)(5)。
