取捨原理

8人平均分4組總方法：\(\frac{C_8^2C_6^2C_4^2C_2^2}{4!} = 105\)。用容斥原理減去違規組合：甲與乙同組、乙與丙同組、丙與丁同組的方法各 \(\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{3!} = 15\)，加回重減部分，得 \(105 - 3\times15 + 3 = 63\)。答案：\((2)\) 報錯
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王先生每天住 \(A\)、\(B\)、\(C\)，丁、呂每晚從剩餘2間選，且不同。列樹狀圖分析，丁的安排有2種，對應呂各1種，共2種。答案：\(2\)種 報錯
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設C, E, M分別表國文、英文、數學及格集合。
(1) \(x+y = n(M) = 34\)，錯誤。
(2) \(y \leq n(E') = 50-39=11\)，正確。
(3) 至少一科不及格人數 = \(50 - n(C \cap E \cap M) = 50 - x\)，錯誤。
(4) 最少人數發生在x最大時，x最大為34，此時至少一科不及格人數=50-34=16，錯誤。
(5) 最多人數發生在x最小時，x最小為34-11=23，此時至少一科不及格人數=50-23=27，正確。
故選(2)(5)。答案：(2)(5) 報錯
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總方法數：\( C^7_2 \times C^7_2 = 21 \times 21 = 441 \)。反面算：兩人休假完全不同的天數：\( C^7_2 \times C^5_2 = 21 \times 10 = 210 \)，機率 \( \frac{210}{441} = \frac{10}{21} \)。故至少一天相同機率為 \( 1 - \frac{10}{21} = \frac{11}{21} \)。答案：(5) 報錯
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設只領甲乙為\(x\)，只領乙丙為\(y\)，只領甲丙為\(z\)，領三案為224。則：
甲：\(x+z+224=765\)
乙：\(x+y+224=537\)
丙：\(y+z+224=648\)
解聯立得\(x+y+z=639\)，再得\(x=639-424=215\)。答案：215 報錯
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(1) 錯，可能兩人收集相同 6 款，合起來只有 6 款。
(2) 用容斥原理：設 \( |A \cap B| = x \)，則 \( |A \cup B| = 7+7-x \le 10 \Rightarrow x \ge 4 \)，正確。
(3) 用抽屜原理：每人 6 款，共 18 人次分配至 10 款，至少一款有 3 人收藏？不一定，可讓每人收藏不同 6 款且無共同款，錯誤。
(4) 每人 7 款，共 21 人次分配至 10 款，平均每款 2.1 人次，至少 1 款有 3 人？不一定，可調整使最多 2 人共有，錯誤。
(5) 每人 8 款，共 24 人次分配至 10 款，平均每款 2.4 人次，至少 4 款有 3 人？不一定，可讓共同款僅 3 款，錯誤。
答案為 (2)。 報錯
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