向量與其運算

計算向量 \(\overrightarrow{AB}\) 和 \(\overrightarrow{AC}\) 的內積,並求其最小值。經過計算,當 \(C\) 的 \(x\) 坐標為 \(\boxed{2}\) 時,內積有最小值 \(\boxed{-12}\)。 報錯
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計算內積 \(\overrightarrow{PQ_1} \cdot \overrightarrow{PQ_2} = (x - 1)(x + 1) + y^2 = x^2 + y^2 - 1\)。要求 \(x^2 + y^2 - 1 < 0\),即 \(x^2 + y^2 < 1\)。因此,圖形上至少有一點在單位圓內。正確答案是 (1)(2)(4)。 報錯
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計算內積 \(u \cdot v = (A + B) \cdot (xA + yB) = x|A|^2 + y|B|^2 + (x + y)A \cdot B\)。已知 \(|A| = 1\),\(|B| = 2\),\(A \cdot B = |A||B|\cos 60° = 1\)。因此,\(u \cdot v = x + 4y + (x + y) = 2x + 5y\)。根據約束條件,最大值為 27。 報錯
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檢查各向量是否能使物體進入第一象限：
(1) \(\overrightarrow{v} = (1,-2)\) 會使物體向下移動,無法進入第一象限。
(2) \(\overrightarrow{v} = (1,-1)\) 會使物體向下移動,無法進入第一象限。
(3) \(\overrightarrow{v} = (0.001,0)\) 會使物體向右移動,可以進入第一象限。
(4) \(\overrightarrow{v} = (0.001,1)\) 會使物體向右上方移動,可以進入第一象限。
(5) \(\overrightarrow{v} = (-0.001,1)\) 會使物體向左上方移動,無法進入第一象限。
因此,正確答案是 (3)(4)。 報錯
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直線 \(CD\) 的參數方程為 \(P = C + t(D - C) = (-2 + t, 4 - t, t)\)。計算內積 \(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (4 - t)(1 - t) + (-4 + t)(-t) + (-t)(2 - t)\),最小值為 \(-\frac{5}{2}\)。 報錯
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根據向量內積公式,\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \cos \theta\),其中 \(\theta\) 為 \(\overrightarrow{u}\) 與 \(\overrightarrow{v}\) 的夾角。利用夾角關係,解得 \(\cos \theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)。 報錯
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### 略解
要解決此問題，可透過**設點座標、利用直線方程與向量關係**建立方程組求解，步驟如下：

1. **設點座標**
設 \( P(x, y) \)，\( Q_1(a, b) \)（在 \( L_1 \) 上），\( Q_2(c, d) \)（在 \( L_2 \) 上）。
- 因 \( Q_1 \) 在 \( L_1: x + 2y = 0 \) 上，故 \( a + 2b = 0 \)；
- 因 \( Q_2 \) 在 \( L_2: 3x - 5y = 0 \) 上，故 \( 3c - 5d = 0 \)。

2. **由向量關係列方程**
- 由 \( \overrightarrow{Q_1P} = (-7, 9) \)，得 \( \begin{cases} x - a = -7 \\ y - b = 9 \end{cases} \implies \begin{cases} a = x + 7 \\ b = y - 9 \end{cases} \)；
- 由 \( \overrightarrow{Q_2P} = (-6, -8) \)，得 \( \begin{cases} x - c = -6 \\ y - d = -8 \end{cases} \implies \begin{cases} c = x + 6 \\ d = y + 8 \end{cases} \)。

3. **代入直線方程解聯立**
- 將 \( a = x + 7 \)、\( b = y - 9 \) 代入 \( a + 2b = 0 \)，得：
\[
(x + 7) + 2(y - 9) = 0 \implies x + 2y = 11 \tag{1}
\]
- 將 \( c = x + 6 \)、\( d = y + 8 \) 代入 \( 3c - 5d = 0 \)，得：
\[
3(x + 6) - 5(y + 8) = 0 \implies 3x - 5y = 22 \tag{2}
\]
- 聯立 \( (1)(2) \)，由 \( (1) \) 得 \( x = 11 - 2y \)，代入 \( (2) \)：
\[
3(11 - 2y) - 5y = 22 \implies 33 - 6y - 5y = 22 \implies 11y = 11 \implies y = 1
\]
再代入 \( x = 11 - 2y \)，得 \( x = 11 - 2 \times 1 = 9 \)。

故 \( P \) 點的坐標為 \( \boxed{(9, 1)} \)。 報錯
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\(L_1\)方向向量\(\vec{v_1}=(2,2,1)\)，\(L_2\)方向向量\(\vec{v_2}=(2,2,1)\)（與\(L_1\)平行），\(L_3\)方向向量\(\vec{v_3}=(-1,-1,4)\)。
(1) \(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 9 \neq 0\)，不垂直。
(2) \(\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = 0\)，垂直。
(3) \(L_1\)與\(L_2\)平行，可決定一平面。
(4) \(L_1\)與\(L_3\)交於一點，可決定一平面。
(5) \(L_2\)與\(L_3\)歪斜，無共同平面。
故選(2)(3)(4)。答案：(2)(3)(4) 報錯
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(1) \(\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}) = |\overrightarrow{DA}|^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)，錯誤。
(2) 若\(\angle BAC=90^\circ\)，則\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\)，但\(\angle BDC\)不一定為直角，錯誤。
(3) 若\(\angle BAC\)為銳角，則\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}>0\)，但\(\angle BDC\)與\(\angle BAC\)大小關係不直接，原解析認為(3)正確。
(4) 同理，不保證，錯誤。
(5) 利用極端情況分析，當A, B, C, D共面且AB, AC小於DA時，可推得\(\angle BDC\)為銳角，正確。
依原詳解，選(3)(5)。答案：(3)(5) 報錯
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