向量與其運算

空間中有相異四點 \( A, B, C, D \)，已知內積 \(\overset{\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{AC} = \overset{\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{AD}\)。試選出正確的選項。
(1) \(\overset{\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{CD} = 0\)
(2) \(\overset{\rightharpoonup}{AC} = \overset{\rightharpoonup}{AD}\)
(3) \(\overset{\rightharpoonup}{AB} \) 與 \(\overset{\rightharpoonup}{CD} \) 平行
(4) \(\overset{\rightharpoonup}{AD} \cdot \overset{\rightharpoonup}{BC} = 0\)
(5) \(A, B, C, D \) 四點在同一平面上。

在坐標平面上，有一通過原點O的直線L，以及一半徑為2，圓心為原點O的圓T。P,Q為T上相異2點，且OP,OQ分別與L所夾的銳角皆為30°，試選出內積OP·OQ之值可能發生的選項。
(1) \( \frac{2\sqrt{3}}{5} \) (2) \(-2\sqrt{3}\) (3)0 (4) -2 (5) -4。

設 \( a \) 與 \( b \) 都是平面上不為零的向量。若 \( 2\overset{\rightharpoonup}{a} + \overset{\rightharpoonup}{b} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{a} + 2\overset{\rightharpoonup}{b} \) 所張成的三角形面積為 \( 6 \)，則 \( 3\overset{\rightharpoonup}{a} + \overset{\rightharpoonup}{b} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{a} + 3\overset{\rightharpoonup}{b} \) 所張成的三角形面積為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 9
(3) 12
(4) 13.5
(5) 16

平面上有一梯形 \(ABCD\)，其上底 \(AB = 10\)，下底 \(CD = 15\)，且腰長 \(AD = BC + 1\)。
試選出正確的選項。
(1) \(\angle A > \angle B\)
(2) \(\angle B + \angle D < 180^\circ\)
(3) \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} < 0\)
(4) \(\overrightarrow{BC}\) 的長可能是 2
(5) \(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} < 30\)

坐標空間中有兩條直線 \( L_1 \)、\( L_2 \) 與一平面 \( E \)，其中直線 \( L_1 : \frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-5} \)，而 \( L_2 \) 的參數式為 \( \begin{cases} x=1 \\ y=1+2t \\ z=1+3t \end{cases} \) (t為實數)。若 \( L_1 \) 落在 \( E \) 上，且 \( L_2 \) 與 \( E \) 不相交，則 \( E \) 的方程式為 \( x – \underline{\qquad\qquad} y + \underline{\qquad\qquad} z = \underline{\qquad\qquad} \)。

在四面體 \(ABCD\) 中，\(\overline{AB} = AC = AD = 4\sqrt{6} \cdot BD = CD = 8\)，且 \(\cos \angle BAC = \frac{1}{3}\)，則點 \(D\) 到平面 \(ABC\) 的距離為 \(\underline{\qquad\qquad}\)。（化成最簡根式）