〈向量與其運算〉彙整頁面 - 第 4 頁，總計 10 頁

112學測數學A考科-15

設 \( O \cdot A \cdot B \) 為坐標平面上不共線三點，其中向量 \(\overrightarrow{OA}\) 垂直 \(\overrightarrow{OB}\)。若 \( C \cdot D \) 兩點在直線 \( AB \) 上，滿足 \(\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB} \cdot 3AD = 8BD\)，且 \(\overrightarrow{OC}\) 垂直 \(\overrightarrow{OD}\)，則 \(\frac{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OA}} = \) __________。（化為最簡分數）

[選填題]

答案

設 \( O(0,0) \), \( A(a,0) \), \( B(0,b) \)，則 \( C(\frac{3}{5}a, \frac{2}{5}b) \), \( D(-\frac{3}{5}a, \frac{8}{5}b) \)
由 \( \overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{OD} \) 得 \( (\frac{3}{5}a, \frac{2}{5}b) \cdot (-\frac{3}{5}a, \frac{8}{5}b) = 0 \)
⇒ \( -\frac{9}{25}a^2 + \frac{16}{25}b^2 = 0 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{9}{16} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{3}{4} \)
故 \( \frac{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OA}} = \frac{3}{4} \) 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

112學測數學A考科-16

令 \( E : x + z = 2 \) 為坐標空間中過三點 \( A(2, -1, 0) \)、\( B(0, 1, 2) \)、\( C(-2, 1, 4) \) 的平面。另有一點 \( P \) 在平面 \( z = 1 \) 上且其於 \( E \) 之投影點與 \( A \)、\( B \)、\( C \) 三點等距離。則點 \( P \) 與平面 \( E \) 的距離為 __________。（化為最簡根式）

[選填題]

答案

設 \( P(a, b, 1) \)，投影點 \( O \) 與 \( A, B, C \) 等距離 ⇒ \( PA = PB = PC \)
列式：
\( (a-2)^2 + (b+1)^2 + 1 = a^2 + (b-1)^2 + 1 \)
\( a^2 + (b-1)^2 + 1 = (a+2)^2 + (b-1)^2 + 9 \)
解得 \( a = -3, b = -4 \) ⇒ \( P(-3, -4, 1) \)
距離 \( d = \frac{|-3 + 1 - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \) 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

112學測數學A考科-17

坐標空間中有兩不相交直線 \( L_1 : y = 1-t \)，\( t \) 為實數，\( L_2 : y = 5+s \)，\( s \) 為實數，另一直線 \( L_3 \) 與 \( L_1 \)、\( L_2 \) 皆相交且垂直。若 \( P \)、\( Q \) 兩點分別在 \( L_1 \)、\( L_2 \) 上且與 \( L_3 \) 之距離皆為 3，則 \( P \)、\( Q \) 兩點的距離為 __________。（化為最簡根式）

[選填題]

答案

\( L_1 \) 方向向量 \( \overset{\rightharpoonup}{\ell_1} = (1, -1, 1) \), \( L_2 \) 方向向量 \( \overset{\rightharpoonup}{\ell_2} = (2, 1, -1) \)，兩者垂直
包含 \( L_1 \) 及平行 \( L_2 \) 的平面 \( E: y+z=3 \)
取 \( L_2 \) 上一點 \( B(2,5,6) \)，到 \( E \) 距離 \( \overline{QQ'} = \frac{|5+6-3|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \)
又 \( \overline{PQ'} = 3\sqrt{2} \)
∴ \( \overline{PQ} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = 5\sqrt{2} \) 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

114學測數學A考科_06

坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量 \(\overset{\rightharpoonup}{u}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{v}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{w}\)。已知 \(\overset{\rightharpoonup}{u}-\overset{\rightharpoonup}{v}=(2,-1,0)\)，且 \(\overset{\rightharpoonup}{v}-\overset{\rightharpoonup}{w}=(-1,2,3)\)。試問由 \(\overset{\rightharpoonup}{u}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{v}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{w}\) 所張出的平行六面體之體積為何？
(1) \(2\sqrt{5}\) (2) \(5\sqrt{2}\) (3) \(2\sqrt{10}\) (4) \(4\sqrt{5}\) (5) \(4\sqrt{10}\)

[單選題]

答案

由三向量垂直，體積為 \(|\overset{\rightharpoonup}{u}||\overset{\rightharpoonup}{v}||\overset{\rightharpoonup}{w}|\)。
設 \(|\overset{\rightharpoonup}{u}|^2+|\overset{\rightharpoonup}{v}|^2+|\overset{\rightharpoonup}{w}|^2=15\)，且由已知向量差求得各向量長平方：\(|\overset{\rightharpoonup}{u}|^2=1\)，\(|\overset{\rightharpoonup}{v}|^2=4\)，\(|\overset{\rightharpoonup}{w}|^2=10\)。
體積 \(=\sqrt{1\cdot4\cdot10}=2\sqrt{10}\)，故選(3)。報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

114學測數學A考科_11

在 \(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB} = 6\)，\(\overline{AC} = 5\)，\(\overline{BC} = 4\)。令 \(\overline{AB}\) 中點為 \(D\)，\(P\) 為 \(\angle ABC\) 之角平分線與 \(\overline{CD}\) 之交點，如右圖所示。試選出正確的選項。
(1) \(\overline{CP} = \frac{3}{7}\overline{CD}\)
(2) \(\overset{\rightharpoonup}{AP} = \frac{3}{7}\overset{\rightharpoonup}{AB} + \frac{2}{7}\overset{\rightharpoonup}{AC}\)
(3) \(\cos \angle BAC = \frac{3}{4}\)
(4) \(\triangle ACP\) 面積為 \(\frac{15}{14}\sqrt{7}\)
(5) (內積) \(\overset{\rightharpoonup}{AP} \cdot \overset{\rightharpoonup}{AC} = \frac{120}{7}\)

[多選題]

答案

(1) ✗：\(\overline{CP}=\frac{4}{7}\overline{CD}\)；(2) ✗：\(\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{2}{7}\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac{3}{7}\overset{\rightharpoonup}{AC}\)；
(3) ✓：餘弦定理得 \(\cos \angle BAC=\frac{3}{4}\)；(4) ✓：面積計算得 \(\frac{15\sqrt{7}}{14}\)；
(5) ✓：內積計算得 \(\frac{120}{7}\)。
故選(3)(4)(5)。報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

114學測數學A考科_14

坐標空間中，已知點 \(A\) 的坐標為 \((a, b, c)\)，其中 \(a\)，\(b\)，\(c\) 皆為小於 0 的實數，且知點 \(A\) 與三平面 \(E_1: 4y+3z=2\)、\(E_2: 3y+4z=-5\)、\(E_3: x+2y+2z=-2\) 的距離都是 6，則 \(a+b+c=\) __________。

[選填題]

答案

由點到平面距離公式列出方程組：
\(\frac{|4b+3z-2|}{5}=6\)，\(\frac{|3b+4z+5|}{5}=6\)，\(\frac{|x+2y+2z+2|}{3}=6\)。
解得 \(a=-2\)，\(b+c=-9\)，故 \(a+b+c=-11\)。報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

114學測數學A考科_19

18-20 題為題組
19. 試求點 \(Q\) 的坐標，以及 \(\overset{\rightharpoonup}{OR}\) 與向量 \((1, 0)\) 的夾角。(非選擇題，6分)

[題組題]

答案

由18題得 \(\theta_1=45^\circ\)，\(A^3\) 為旋轉 \(135^\circ\) 矩陣，將 \(P(1,1)\) 變換得 \(Q(-\sqrt{2},0)\)。
由 \(B^3\) 得 \(\theta_2=30^\circ\)，\(B^4\) 為旋轉 \(120^\circ\) 矩陣，將 \(Q\) 變換得 \(R(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2})\)。
計算 \(\overset{\rightharpoonup}{OR}\) 與 \((1,0)\) 夾角：\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，\(\theta=60^\circ\)。報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

113學測數學A考科_02

如右圖，\( OABC – DEFG \) 為一正方體，試問向量外積 \( \overset{\rightharpoonup}{AD} \times \overset{\rightharpoonup}{AG} \) 與下列哪一個向量平行？
(1) \( \overset{\rightharpoonup}{AE} \)
(2) \( \overset{\rightharpoonup}{BE} \)
(3) \( \overset{\rightharpoonup}{CE} \)
(4) \( \overset{\rightharpoonup}{DE} \)
(5) \( \overset{\rightharpoonup}{OE} \)

[單選題]

答案

設坐標系 \(O(0,0,0)\), \(A(1,0,0)\), \(D(0,0,1)\), \(G(0,1,1)\)，則 \(\overset{\rightharpoonup}{AD} = (-1,0,1)\), \(\overset{\rightharpoonup}{AG} = (-1,1,1)\)。
外積計算得 \((-1,0,-1)\)，與 \(\overset{\rightharpoonup}{OE} = (1,0,1)\) 平行，故選(5)。報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

113學測數學A考科_10

坐標平面上有一正方形與一正六邊形，正方形在正六邊形的右邊。已知兩正多邊形都有一邊在 x 軸上，且正方形中心 A 與正六邊形中心 B 都在 x 軸的上方，且兩多邊形恰有一個交點 P，又知正方形的邊長為 6，而點 P 到 x 軸的距離為 \( 2\sqrt{3} \)。試選出正確的選項。
(1) 點 A 到 x 軸的距離大於點 B 到 x 軸的距離
(2) 正六邊形的邊長為 6
(3) \(\overset{\rightharpoonup}{BA} = (7, 3 – 2\sqrt{3})\)
(4) \(\overset{\rightharpoonup}{AP} \gt \sqrt{10}\)
(5) 直線 AP 斜率大於 \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

[多選題]

答案

由題意推得正方形中心 A 高為 3，正六邊形中心 B 高為 \(2\sqrt{3} \approx 3.464\)，故(1)錯；正六邊形邊長為 4，故(2)錯；
計算向量 \(\overset{\rightharpoonup}{BA} = (7, 3-2\sqrt{3})\)，故(3)對；計算 \(AP = \sqrt{30-12\sqrt{3}} \lt \sqrt{10}\)，故(4)錯；
斜率 \(m = \frac{3-2\sqrt{3}}{3} \gt -\frac{1}{\sqrt{3}}\)，故(5)對。因此選(3)(5)。報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

113學測數學A考科_16

坐標平面上，已知向量 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 在向量 \((2, -3)\) 方向的正射影長比原長少1，而在向量 \((3, 2)\) 方向的正射影長比原長少2。若 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 與兩向量 \((2, -3), (3, 2)\) 的夾角皆為銳角，則 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 在向量 \((4, 7)\) 方向的正射影長為 __________。（化為最簡根式）

[選填題]

答案

設 \(|\overset{\rightharpoonup}{v}|=x\)，則在 \((2,-3)\) 方向投影長為 \(x-1\)，在 \((3,2)\) 方向投影長為 \(x-2\)。
由正交性得 \(x^2 = (x-1)^2+(x-2)^2\)，解得 \(x=5\)。
得 \(\overset{\rightharpoonup}{v} = \left( \frac{17}{\sqrt{13}}, -\frac{6}{\sqrt{13}} \right)\)，在 \((4,7)\) 方向投影長為 \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)。報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

Saved articles