18-20 題為題組
坐標空間中，設 \( O \) 為原點，\( E \) 為平面 \( x-z=4 \)。試回答下列問題。
18. 若原點 \( O \) 在平面 \( E \) 上的投影點為 \( Q \)，且向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OQ} \) 與向量 \( (1,0,0) \) 的夾角為 \( \alpha \)，則 \( \cos \alpha \) 之值為下列哪一選項？
(1) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) (2) \(-\frac{1}{2}\) (3) \(\frac{1}{2}\) (4) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (5) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
18-20 題為題組19. 已知空間中有一點 \( P(a, b, c) \) 滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與向量 \((1, 0, 0)\) 的夾角 \(\theta \leq \frac{\pi}{6}\)。試說明實數 \( a, b, c \) 滿足不等式 \( a^2 \geq 3(b^2 + c^2) \)。
18-20 題為題組20. 承 19. 題，已知點 \( P \) 在平面 \( E \) 上且 \( b = 0 \)。試求 \( c \) 的最大可能範圍，並求線段 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 的最小可能長度。
[非選擇題]18. 平面法向量為 \((1,0,-1)\)，投影點 \(Q\) 滿足 \(\overset{\rightharpoonup}{OQ} \parallel (1,0,-1)\)，代入平面得 \(Q(2,0,-2)\)，則 \(\cos \alpha = \frac{(2,0,-2)\cdot(1,0,0)}{|(2,0,-2)|} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，選(4)
由 \(\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \geq \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，平方得 \(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{3}{4}\)，整理得 \(a^2 \geq 3(b^2+c^2)\)。
由 \(a-c=4\) 與 \(a^2 \geq 3c^2\) 得 \((c+4)^2 \geq 3c^2 \Rightarrow c^2 - 4c - 8 \leq 0\)，解得 \(2-2\sqrt{3} \leq c \leq 2+2\sqrt{3}\)。
又 \(|\overset{\rightharpoonup}{OP}|^2 = 2c^2+8c+16 = 2(c+2)^2+8\)，當 \(c=2-2\sqrt{3}\) 時有最小值 \(4\sqrt{3}-4\)。 報錯
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