向量與其運算

由(3)得C點坐標，\( AC = C - A \)
具體數值需計算
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矩陣乘法：\(\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 + a_2 b_2 \\ a_1 b_1 + a_2 b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \\ \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
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由 \(\overset{\rightharpoonup}{OC} = 3\overset{\rightharpoonup}{OA}\)，\(\overset{\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\rightharpoonup}{OB}\)，得 \(\overset{\rightharpoonup}{DC} = \overset{\rightharpoonup}{OC} - \overset{\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\rightharpoonup}{OA} - 3\overset{\rightharpoonup}{OB} = 3(\overset{\rightharpoonup}{OA} - \overset{\rightharpoonup}{OB}) = 3\overset{\rightharpoonup}{AB} = 3(3, -4) = (9, -12)\)。
答案為 \((9, -12)\)。 報錯
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由 \(\overset{\rightharpoonup}{OC} = 3\overset{\rightharpoonup}{OA} = (3, 6)\)，\(\overset{\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\rightharpoonup}{OB}\)。
由 \(\overset{\rightharpoonup}{AB} = \overset{\rightharpoonup}{OB} - \overset{\rightharpoonup}{OA} = (3, -4)\)，得 \(\overset{\rightharpoonup}{OB} = \overset{\rightharpoonup}{OA} + (3, -4) = (1, 2) + (3, -4) = (4, -2)\)。
所以 \(\overset{\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\rightharpoonup}{OB} = (12, -6)\)。
\(\overset{\rightharpoonup}{OC} = (3, 6)\)，\(\overset{\rightharpoonup}{OD} = (12, -6)\)。
\(\Delta OCD\) 面積 = \(\frac{1}{2}|\det(\overset{\rightharpoonup}{OC}, \overset{\rightharpoonup}{OD})| = \frac{1}{2}|3 \times (-6) - 6 \times 12| = \frac{1}{2}|-18 - 72| = \frac{1}{2} \times 90 = 45\)。
答案為 45。 報錯
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先求\(\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}=\begin{vmatrix}\overset{\rightharpoonup}{i}&\overset{\rightharpoonup}{j}&\overset{\rightharpoonup}{k}\\1&2&3\\1&0&-1\end{vmatrix}=\overset{\rightharpoonup}{i}(-2 - 0)-\overset{\rightharpoonup}{j}(-1 - 3)+\overset{\rightharpoonup}{k}(0 - 2)=(-2,4,-2)\)。
因為\(\overset{\rightharpoonup}{w}\)與\(\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}\)平行，所以\(\overset{\rightharpoonup}{w}=k(-2,4,-2)=(-2k,4k,-2k)\)。
又\(\begin{vmatrix}1&2&3\\1&0&-1\\x&y&z\end{vmatrix}=1\times(0 + y)-2\times(z + x)+3\times(y - 0)=4y-2x - 2z=-12\)，把\(x=-2k\)，\(y = 4k\)，\(z=-2k\)代入得\(4\times4k-2\times(-2k)-2\times(-2k)=-12\)，即\(16k + 4k + 4k=-12\)，\(24k=-12\)，解得\(k = -\frac{1}{2}\)。
所以\(\overset{\rightharpoonup}{w}=(1,-2,1)\)。
答案依次為\(1\)、\(-2\)、\(1\)。 報錯
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由（1）知\(\overline{BD}=\frac{5}{2}\)，\(\overline{CD}=\frac{3}{2}\)。
根據向量加法的三角形法則，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{5}{2}\times\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}\)。
又因為\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)，所以\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{5}{2}\times\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}{4}=\overrightarrow{AB}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AC}\)。
所以\(\alpha=\frac{3}{8}\)，\(\beta=\frac{5}{8}\)，則\(\alpha+\beta=\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=1\) 。 報錯
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已知\(\vec{u}\)與\(\vec{u}+\vec{v}\)垂直，則\(\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = 0\)，即\(\vec{u}^{2}+\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)。
設\(\vert\vec{u}\vert = m\)，\(\vert\vec{v}\vert = n\)，由向量數量積公式\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}mn\)，\(\vec{u}^{2}=m^{2}\)，可得\(m^{2}-\frac{1}{2}mn = 0\)，因為\(m\neq0\)（\(\vec{u}\)是非零向量），所以\(m-\frac{1}{2}n = 0\)，即\(n = 2m\)，\(\vec{v}\)的長度是\(\vec{u}\)的長度的\(2\)倍，(1)錯誤。
\(\vec{v}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}=-\frac{1}{2}mn + n^{2}\)，把\(n = 2m\)代入得\(-\frac{1}{2}m\times2m+(2m)^{2}=-m^{2}+4m^{2}=3m^{2}\)。
\(\vert\vec{u}+\vec{v}\vert=\sqrt{\vec{u}^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}}=\sqrt{m^{2}+2\times(-\frac{1}{2}mn)+n^{2}}=\sqrt{m^{2}-mn + n^{2}}\)，把\(n = 2m\)代入得\(\sqrt{m^{2}-m\times2m+(2m)^{2}}=\sqrt{3}m\)。
\(\cos\langle\vec{v},\vec{u}+\vec{v}\rangle=\frac{\vec{v}\cdot(\vec{u}+\vec{v})}{\vert\vec{v}\vert\vert\vec{u}+\vec{v}\vert}=\frac{3m^{2}}{2m\times\sqrt{3}m}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\vec{v}\)與\(\vec{u}+\vec{v}\)的夾角為\(30^{\circ}\)，(2)正確。
\(\vec{u}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^{2}-\vec{u}\cdot\vec{v}=m^{2}-(-\frac{1}{2}mn)=m^{2}+\frac{1}{2}mn\)，把\(n = 2m\)代入得\(m^{2}+\frac{1}{2}m\times2m = 2m^{2}\gt0\)，所以\(\vec{u}\)與\(\vec{u}-\vec{v}\)的夾角為銳角，(3)正確。
\(\vec{v}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}^{2}=-\frac{1}{2}mn - n^{2}\)，把\(n = 2m\)代入得\(-\frac{1}{2}m\times2m-(2m)^{2}=-m^{2}-4m^{2}=-5m^{2}\lt0\)，所以\(\vec{v}\)與\(\vec{u}-\vec{v}\)的夾角為鈍角，(4)錯誤。
\(\vert\vec{u}-\vec{v}\vert=\sqrt{\vec{u}^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}}=\sqrt{m^{2}-2\times(-\frac{1}{2}mn)+n^{2}}=\sqrt{m^{2}+mn + n^{2}}\)，把\(n = 2m\)代入得\(\sqrt{m^{2}+m\times2m+(2m)^{2}}=\sqrt{7}m\)。
因為\(\sqrt{3}m\lt\sqrt{7}m\)，即\(\vert\vec{u}+\vec{v}\vert\lt\vert\vec{u}-\vec{v}\vert\)，(5)錯誤。
答案為(2)(3)。 報錯
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已知\(\overrightarrow{OP_1}=(x,y)\)，\(\overrightarrow{OP_2}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4x - 3y\\3x + 4y\end{bmatrix}\)，\(\overrightarrow{OP_3}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}7x - 24y\\24x + 7y\end{bmatrix}\)。
\(\overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4x - 3y\\3x + 4y\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4x - 3y - 5x}{5}\\\frac{3x + 4y - 5y}{5}\end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-x - 3y\\3x - y\end{bmatrix}\)。
\(\overrightarrow{P_1P_3}=\overrightarrow{OP_3}-\overrightarrow{OP_1}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}7x - 24y\\24x + 7y\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{7x - 24y - 25x}{25}\\\frac{24x + 7y - 25y}{25}\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}-18x - 24y\\24x - 18y\end{bmatrix}\)。
根據向量叉積求三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}\vert\)，對於二維向量\(\overrightarrow{a}=(m,n)\)，\(\overrightarrow{b}=(p,q)\)，\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=mq - np\)。
\(\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}=\frac{1}{5}\times\frac{1}{25}[(-x - 3y)(24x - 18y)-(3x - y)(-18x - 24y)]\)。
展開得：
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{125}(-24x^{2}+18xy - 72xy + 54y^{2}+54x^{2}+72xy - 18xy - 24y^{2})\\
=&\frac{1}{125}(30x^{2}+30y^{2})\\
=&\frac{30}{125}(x^{2}+y^{2})
\end{align*}
\]
因為\(a=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，所以\(S=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}\vert=\frac{1}{2}\times\frac{30}{125}(x^{2}+y^{2})=\frac{3}{25}a^{2}\)。 報錯
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由(1)知\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}=2h^{2}-1\)，\(\overrightarrow{OP_0}\)和\(\overrightarrow{OP_4}\)夾角不超過\(90^{\circ}\)，則\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}\geq0\)，即\(2h^{2}-1\geq0\)，解得\(h\geq\frac{\sqrt{2}}{2}\)（因為\(0≤h≤1\)，所以取\(h\)的取值範圍\(\frac{\sqrt{2}}{2}≤h≤1\)）。
由(2)知\(V(h)=\frac{2\sqrt{2}}{3}(h - h^{3})\)，對\(V(h)\)求導，\(V^\prime(h)=\frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^{2})\)。
令\(V^\prime(h)=0\)，即\(\frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^{2}) = 0\)，解得\(h=\frac{\sqrt{3}}{3}\)或\(h = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)（舍去，因為\(h\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]\)）。
在\(h\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]\)上分析\(V^\prime(h)\)的符號：
當\(\frac{\sqrt{2}}{2}\leq h\lt\frac{\sqrt{3}}{3}\)時，\(V^\prime(h)>0\)，\(V(h)\)遞增；
當\(\frac{\sqrt{3}}{3}\lt h\leq1\)時，\(V^\prime(h)<0\)，\(V(h)\)遞減。 所以\(V(h)\)在\(h=\frac{\sqrt{2}}{2}\)或\(h = \frac{\sqrt{3}}{3}\)處取得最大值。 \(V(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4})=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{3}\)。 \(V(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3}-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{9})=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{4\sqrt{6}}{27}\)。 比較\(\frac{1}{3}\)和\(\frac{4\sqrt{6}}{27}\)的大小： \(\frac{1}{3}=\frac{9}{27}\)，\((\frac{9}{27})^2=\frac{81}{729}\)，\((\frac{4\sqrt{6}}{27})^2=\frac{96}{729}\)，所以\(\frac{4\sqrt{6}}{27}>\frac{1}{3}\)。
所以正八角錐體積\(V(h)\)的最大值為\(\frac{4\sqrt{6}}{27}\)。 報錯
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