向量與其運算

(1) ×：由 \( \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \)，得 \( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}| \)，即：
\[
|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = |\vec{c}| \implies 4 \times 4 \times \sin\theta = 4 \implies \sin\theta = \frac{1}{4}
\]
故 \( \cos\theta = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \)。

(2) ○：\( \vec{a}、\vec{b}、\vec{c} \) 張出的平行六面體體積為：
\[
|\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})| = |\vec{c} \cdot \vec{c}| = |\vec{c}|^2 = 4^2 = 16
\]

(3) ○：由 \( \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \)，知 \( \vec{c} \perp \vec{a} \) 且 \( \vec{c} \perp \vec{b} \)；
由 \( \vec{a} \times \vec{c} = \vec{d} \)，知 \( \vec{d} \perp \vec{a} \) 且 \( \vec{d} \perp \vec{c} \)；
故 \( \vec{a}、\vec{c}、\vec{d} \) 兩兩互相垂直。

(4) ×：由 \( \vec{a} \times \vec{c} = \vec{d} \)，得 \( |\vec{a} \times \vec{c}| = |\vec{d}| \)，又 \( \vec{a} \perp \vec{c} \)（\( \theta = \frac{\pi}{2} \)），故：
\[
|\vec{a}||\vec{c}|\sin\frac{\pi}{2} = |\vec{d}| \implies 4 \times 4 \times 1 = |\vec{d}| \implies |\vec{d}| = 16
\]

(5) ×：由 \( \vec{a} \times \vec{c} = \vec{d} \)，得 \( |\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})| = |\vec{b} \cdot \vec{d}| \)，即：
\[
|\vec{b} \cdot \vec{d}| = 16 \implies |\vec{b}||\vec{d}|\cos\alpha = 16 \implies 4 \times 16 \times |\cos\alpha| = 16 \implies |\cos\alpha| = \frac{1}{4}
\]
故 \( \cos\alpha \neq \cos\theta \)。

故選 \( \boxed{(2)(3)} \)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

(1) 根據複數的幾何意義，\(\vert z_{1}\vert\)，\(\vert z_{2}\vert\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert\)分別對應向量\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{BA}\)的糢。
由餘弦定理\(\cos\angle AOB=\frac{\vert z_{1}\vert^{2}+\vert z_{2}\vert^{2}-\vert z_{2}-z_{1}\vert^{2}}{2\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert}=\frac{4 + 9 - 5}{2×2×3}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)，(1)正確。
(2) \(\vert z_{2}+z_{1}\vert^{2}=(z_{2}+z_{1})(\overline{z_{2}+z_{1}})=\vert z_{2}\vert^{2}+\vert z_{1}\vert^{2}+2\mathrm{Re}(z_{1}\overline{z_{2}})\)，由\(\cos\angle AOB=\frac{2}{3}\)，\(z_{1}\overline{z_{2}}=\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert\cos\angle AOB + i\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert\sin\angle AOB\)，\(\vert z_{1}\vert = 2\)，\(\vert z_{2}\vert = 3\)，可得\(z_{1}\overline{z_{2}} = 4 + 2\sqrt{5}i\)（先求出\(\sin\angle AOB=\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)），則\(\vert z_{2}+z_{1}\vert^{2}=9 + 4+2×4 = 21\)，\(\vert z_{2}+z_{1}\vert=\sqrt{21}\neq\sqrt{23}\)，(2)錯誤。
(3)(4) 已知\(\frac{z_{2}}{z_{1}}=a + bi\)，\(z_{2}=(a + bi)z_{1}\)，\(\vert z_{2}\vert=\vert a + bi\vert\vert z_{1}\vert\)，\(\vert z_{1}\vert = 2\)，\(\vert z_{2}\vert = 3\)，則\(\vert a + bi\vert=\frac{3}{2}\)，即\(a^{2}+b^{2}=\frac{9}{4}\)。
又\(z_{2}-z_{1}=(a - 1+bi)z_{1}\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert=\vert a - 1+bi\vert\vert z_{1}\vert\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert=\sqrt{5}\)，\(\vert z_{1}\vert = 2\)，所以\(\vert a - 1+bi\vert=\frac{\sqrt{5}}{2}\)，即\((a - 1)^{2}+b^{2}=\frac{5}{4}\)。
聯立\(\begin{cases}a^{2}+b^{2}=\frac{9}{4}\\(a - 1)^{2}+b^{2}=\frac{5}{4}\end{cases}\)，將第一個式子減去第二個式子得\(2a - 1 = 1\)，解得\(a = 1\gt0\)，把\(a = 1\)代入\(a^{2}+b^{2}=\frac{9}{4}\)得\(b=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)，(3)正確，(4)錯誤。
(5) 若\(\angle BOC=\frac{\pi}{2}\)，則\((a + bi)i\)（\(i\)是虛數單位）對應的向量與\(\overrightarrow{OB}\)垂直，\((a + bi)i=-b + ai\)，根據向量垂直性質，\((-b + ai)\cdot(a + bi)=-ab + a^{2}i - b^{2}i+abi^{2}=(a^{2}-b^{2})i\)，要使其為純虛數，當\(a = 1\)，\(b=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)時，\((a^{2}-b^{2})i\)是純虛數，所以\(\angle BOC\)可能等於\(\frac{\pi}{2}\)，(5)正確。
答案為(1)(3)(5)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

根據點\((x_0,y_0,z_0)\)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\)。
對於平面2x + 2y - z = -7，即2x + 2y - z + 7 = 0，A(2,2,6)。
則A點到平面BDE的距離\(d=\frac{\vert2\times2 + 2\times2 - 6 + 7\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\vert4 + 4 - 6 + 7\vert}{\sqrt{4 + 4 + 1}}=\frac{9}{3}=3\)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

已知 \( |\overrightarrow{AG}| = 3 \times d(A, \text{平面}BDE) = 9 \)，且 \( \overrightarrow{AG} \parallel \) 平面 \( BDE \) 的法向量 \( \vec{n} = (2,2,-1) \)。

設 \( A(2,2,6) \)，\( G(x,y,z) \)，由 \( \overrightarrow{AG} \parallel (2,2,-1) \)，得參數式：
\[
\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-6}{-1} = t \implies x=2t+2,\ y=2t+2,\ z=-t+6
\]

由 \( |\overrightarrow{AG}| = 9 \)，得：
\[
\sqrt{(2t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2} = 9 \implies \sqrt{9t^2} = 9 \implies |t|=3
\]

因 \( A、G \) 在平面 \( BDE \) 異側，取 \( t=-3 \)，故 \( G \) 的坐標為：
\[
x=2(-3)+2=-4,\ y=2(-3)+2=-4,\ z=-(-3)+6=9
\]

即 \( G \) 坐標為 \( \boxed{(-4,-4,9)} \)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

(1)(5)

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

根據向量內積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（其中\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角）。
已知\(\vert\overrightarrow{OP}\vert = 2\)，\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2\)，\(\theta = 60^{\circ}\)。
所以\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OP}\vert\cos60^{\circ}=2\times2\times\frac{1}{2}=2\)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

設\(P(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{OP}=(x,y,z)\)，由(1)知\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=2\)，且\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)。
所以\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=x+\sqrt{2}y + z = 2\)。
故平面\(E\)的方程式為\(x+\sqrt{2}y + z - 2 = 0\)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

(4) 將 \( y = t \) 代入平面式 \( \begin{cases} x + z = 2 - \sqrt{2}t \\ x = 1 \end{cases} \)，
解得 \( x = 1 \)，\( z = 1 - \sqrt{2}t \)，故可設 \( Q \) 的坐標為 \( (1, t, 1 - \sqrt{2}t) \)。

因 \( |\overrightarrow{OQ}| = 2 \)，故：
\[
\sqrt{1^2 + t^2 + (1 - \sqrt{2}t)^2} = 2
\]
平方後化簡：
\[
1 + t^2 + 1 - 2\sqrt{2}t + 2t^2 = 4 \implies 3t^2 - 2\sqrt{2}t - 2 = 0
\]

因式分解得 \( (3t + \sqrt{2})(t - \sqrt{2}) = 0 \)，解得 \( t = -\frac{\sqrt{2}}{3} \) 或 \( t = \sqrt{2} \)。

因此 \( Q \) 的坐標為 \( \left(1, -\frac{\sqrt{2}}{3}, 1 + \frac{2}{3}\right) = \boxed{\left(1, -\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{5}{3}\right)} \)，
或 \( \boxed{(1, \sqrt{2}, 1 - 2)} = (1, \sqrt{2}, -1) \)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

(1)(2)(5)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

設向量\(\overrightarrow{AB}=\vec{w}\)，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)上的投影向量為\(\overrightarrow{A'B'}\)。
根據向量投影的性質，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)的法向量\(\vec{n}\)方向上的分量被去掉，而\(\vec{u}\)在平面\(E\)上，所以\(\overrightarrow{AB}\)在\(\vec{u}\)方向上的分量在投影過程中不變。
即\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}\)（向量在平面上的投影向量與平面內向量的數量積等於原向量與該平面內向量的數量積，可由向量投影的幾何意義得出）。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案