〈向量與其運算〉彙整頁面 - 第 8 頁，總計 10 頁

108指考數學甲試題-4)

坐標空間中以\(o\)表示原點，給定兩向量\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)、\(\overrightarrow{OB}=(2,0,0)\)。若\(\overrightarrow{OQ}\)是長度為2的向量，分別與\(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OB}\)之夾角皆為\(60^{\circ}\)，已知滿足此條件的所有點\(Q\)均落在一直線\(L\)上。承(3)，試求出滿足條件的所有\(Q\)點之坐標。(4分)

[非選擇題]

答案

由(3)可知直線\(L\)的方向向量\(\overrightarrow{d}=(0,-\sqrt{2},2)\)，可設直線\(L\)的參數方程為\(\begin{cases}x = x_0 + 0t\\y = y_0-\sqrt{2}t\\z = z_0 + 2t\end{cases}\)（\(t\)為參數）。
又因為直線\(L\)上的點到原點距離為2（\(\vert\overrightarrow{OQ}\vert = 2\)），且\(\overrightarrow{OQ}\)與\(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OB}\)夾角為\(60^{\circ}\) ，在(3)中已求得\(x = 1\)，所以直線\(L\)的參數方程可寫為\(\begin{cases}x = 1\\y = y_0-\sqrt{2}t\\z = z_0 + 2t\end{cases}\)。
由\(\vert\overrightarrow{OQ}\vert = 2\)，根據向量模長公式\(\vert\overrightarrow{OQ}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = 2\)，將\(x = 1\)代入可得\(1 + y^{2}+z^{2}=4\)，即\(y^{2}+z^{2}=3\)。
把\(y = y_0-\sqrt{2}t\)，\(z = z_0 + 2t\)代入\(y^{2}+z^{2}=3\)得\((y_0-\sqrt{2}t)^{2}+(z_0 + 2t)^{2}=3\)。
又由\(\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=2\)（\(\overrightarrow{OQ}=(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)）可得\(x+\sqrt{2}y + z = 2\)，把\(x = 1\)代入得\(\sqrt{2}y + z = 1\)，即\(z = 1-\sqrt{2}y\)。
再由\(\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OB}=2\)（\(\overrightarrow{OB}=(2,0,0)\)）可得\(2x = 2\)，所以\(x = 1\)。
將\(z = 1-\sqrt{2}y\)代入\(y^{2}+z^{2}=3\)得\(y^{2}+(1-\sqrt{2}y)^{2}=3\)，展開得\(y^{2}+1 - 2\sqrt{2}y + 2y^{2}=3\)，整理得\(3y^{2}-2\sqrt{2}y - 2 = 0\)。
因式分解得\((\sqrt{3}y+\sqrt{2})(\sqrt{3}y - \sqrt{2}) = 0\)，解得\(y_1=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)，\(y_2=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)。
當\(y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)時，\(z = 1-\frac{2}{\sqrt{3}}\)；當\(y = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)時，\(z = 1+\frac{2}{\sqrt{3}}\)。
所以\(Q\)點坐標為\((1,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},1 - \frac{2}{\sqrt{3}})\)和\((1,-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},1+\frac{2}{\sqrt{3}})\) ，化簡為\((1,\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}})\)和\((1,-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}})\)，即\((1,\frac{\sqrt{6}}{3},1-\frac{2\sqrt{3}}{3})\)和\((1,-\frac{\sqrt{6}}{3},1+\frac{2\sqrt{3}}{3})\)。報錯
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109指考數學甲(補考)試題-04

設二階方陣\(M\)為在坐標平面上定義的線性變換，\(O\)為原點。已知\(M\)可將不共線的三點\(O\)、\(A\)、\(B\)映射至不共線的三點\(O\)、\(A’\)、\(B’\)，試選出正確的選項。
(1)\(M\)為可逆矩陣
(2)若\(M\)將點\(C\)映射至點\(C’\)且\(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)，則\(\overrightarrow{OC}’=2\overrightarrow{OA}’+3\overrightarrow{OB}’\)
(3)\(\angle AOB=\angle A’OB’\)
(4)\(\overline{OA}:\overline{OB}=\overline{OA’}:\overline{OB’}\)
(5)\(\triangle OA’B’\)的面積\(=\triangle OAB\)的面積\(\times|det(M)|\)

[多選題]

答案

(1) 因為\(M\)將不共線的三點\(O\)、\(A\)、\(B\)映射至不共線的三點\(O\)、\(A'\)、\(B'\)，說明\(M\)是一一映射，所以\(M\)為可逆矩陣，(1)正确。
(2) 由線性變換的性質，若\(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)，則\(\overrightarrow{OC}'=M\overrightarrow{OC}=M(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}) = 2M\overrightarrow{OA}+3M\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}'+3\overrightarrow{OB}'\)，(2)正确。
(3) 線性變換不一定保持角度不變，所以\(\angle AOB\)不一定等於\(\angle A'OB'\)，(3)错误。
(4) 線性變換不一定保持線段比例不變，所以\(\overline{OA}:\overline{OB}\)不一定等於\(\overline{OA'}:\overline{OB'}\)，(4)错误。
(5) 根据線性變換的性質，\(\triangle OA'B'\)的面積\(=\triangle OAB\)的面積\(\times|det(M)|\)，(5)正确。
答案为(1)(2)(5)。報錯
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109指考數學甲(補考)試題-2)

坐標空間中，設\(E\)為過原點且由向量\(\vec{u}=(2,0,1)\)、\(\vec{v}=(0,1,1)\)所張出的平面。將空間中兩點\(A\)、\(B\)垂直投影到平面\(E\)上，所得投影點依序為\(A’\)、\(B’\)兩點。已知\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，試證明\(\overrightarrow{A’B’}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}\)。(2分)

[非選擇題]

答案

設向量\(\overrightarrow{AB}=\vec{w}\)，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)上的投影向量為\(\overrightarrow{A'B'}\)。
根據向量投影的性質，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)的法向量\(\vec{n}\)方向上的分量被去掉，而\(\vec{u}\)在平面\(E\)上，所以\(\overrightarrow{AB}\)在\(\vec{u}\)方向上的分量在投影過程中不變。
即\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}\)（向量在平面上的投影向量與平面內向量的數量積等於原向量與該平面內向量的數量積，可由向量投影的幾何意義得出）。報錯
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109指考數學甲(補考)試題-3)

坐標空間中，設\(E\)為過原點且由向量\(\vec{u}=(2,0,1)\)、\(\vec{v}=(0,1,1)\)所張出的平面。將空間中兩點\(A\)、\(B\)垂直投影到平面\(E\)上，所得投影點依序為\(A’\)、\(B’\)兩點。已知\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，若\(\overrightarrow{A’B’}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\)，試求實數\(\alpha\)，\(\beta\)之值。(6分)

[非選擇題]

答案

已知\(\overrightarrow{A'B'}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\)，\(\vec{u}=(2,0,1)\)，\(\vec{v}=(0,1,1)\)，所以\(\overrightarrow{A'B'}=(2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\)。
由(2)知\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，即\((2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\cdot(2,0,1)=5\)，可得\(4\alpha+\alpha+\beta = 5\)，即\(5\alpha+\beta = 5\) ①；
又\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{v}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，即\((2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\cdot(0,1,1)=2\)，可得\(\beta+\alpha+\beta = 2\)，即\(\alpha + 2\beta = 2\) ②。
由①\(\times2 -\)②得：\(10\alpha + 2\beta - (\alpha + 2\beta)=10 - 2\)，\(9\alpha = 8\)，解得\(\alpha=\frac{8}{9}\)。
把\(\alpha=\frac{8}{9}\)代入①得：\(5\times\frac{8}{9}+\beta = 5\)，\(\beta = 5 - \frac{40}{9}=-\frac{5}{9}\)。
所以\(\alpha=\frac{8}{9}\)，\(\beta =-\frac{5}{9}\)。報錯
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109指考數學甲試題-3)

一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，且\(\overline{BQ}=t\)，試證明四角錐\(G – AQPR\)的體積是一個定值（與\(t\)無關），並求此定值。(4分)

[非選擇題]

答案

\(\overrightarrow{AG}=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1)\)，\(\overrightarrow{AQ}=(0,1,t)\)，\(\overrightarrow{AP}=(0,1,\frac{1}{2})\)。四角錐\(G - AQPR\)的體積\(V=\frac{1}{3}S_{\triangle AQP}\cdot h\)（\(h\)為\(G\)到平面\(AQP\)的距離，在此處可利用向量混合積求體積\(V=\frac{1}{6}|\left(\overrightarrow{AG}\cdot(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AP})\right)|\)）。先求\(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AP}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&1&t\\0&1&\frac{1}{2}\end{vmatrix}=\vec{i}(\frac{1}{2}-t)-\vec{j}(0 - 0)+\vec{k}(0 - 0)=(\frac{1}{2}-t,0,0)\)。再求\(\overrightarrow{AG}\cdot(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AP})=(-1,0,1)\cdot(\frac{1}{2}-t,0,0)=-(\frac{1}{2}-t)\)。則\(V=\frac{1}{6}|\overrightarrow{AG}\cdot(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AP})|=\frac{1}{6}|\frac{1}{2}-t|=\frac{1}{12}\)（與\(t\)無關）。所以四角錐\(G - AQPR\)的體積是一個定值\(\frac{1}{12}\)。 ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題-4)

一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，當\(t=\frac{1}{4}\)時，求點\(G\)到平行四邊形\(AQPR\)所在平面的距離。(4分)

[非選擇題]

答案

當\(t = \frac{1}{4}\)時，\(\overrightarrow{AQ}=(0,1,\frac{1}{4})\)，\(\overrightarrow{AP}=(0,1,\frac{1}{2})\)。
設平面\(AQPR\)的法向量為\(\vec{n}=(x,y,z)\)，則\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AQ}=y+\frac{1}{4}z = 0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=y+\frac{1}{2}z = 0\end{cases}\)，令\(z = - 4\)，可得\(y = 1\)，\(x = 0\)，即\(\vec{n}=(0,1,-4)\)。
\(\overrightarrow{AG}=( - 1,0,1)\)。
點\(G\)到平面\(AQPR\)的距離\(d=\frac{|\overrightarrow{AG}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|0\times(-1)+1\times0+(-4)\times1|}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}\)。報錯
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110指考數學甲試題–C

考慮一梯形\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}\)與\(\overline{DC}\)平行。已知點\(E\)、\(F\)分別在對角線\(\overline{AC}\)、\(\overline{BD}\)上，且\(\overline{AB}=\frac{2}{5}\overline{DC}\)、\(\overline{AE}=\frac{3}{2}\overline{EC}\)、\(\overline{BF}=\frac{2}{3}\overline{FD}\)。若將向量\(\overrightarrow{FE}\)表示成\(\alpha\overrightarrow{AC}+\beta\overrightarrow{AD}\)，則實數\(\alpha=\)___________，\(\beta=\)__________（化成最簡分數）

[選填]

答案

因為\(\overline{AE}=\frac{3}{2}\overline{EC}\)，所以\(\overrightarrow{AE}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\)。
又\(\overline{BF}=\frac{2}{3}\overline{FD}\)，則\(\overrightarrow{BF}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BD}\)。
\(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}\)，而\(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}\)。
設\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\vec{b}\)，\(\overrightarrow{DC}=\frac{5}{2}\vec{a}\)。
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\vec{b}+\frac{5}{2}\vec{a}\)。
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}\)。
\(\overrightarrow{BF}=\frac{2}{5}(\vec{b}-\vec{a})\)，\(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\vec{a}+\frac{2}{5}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}\)。
\(\overrightarrow{AE}=\frac{3}{5}(\vec{b}+\frac{5}{2}\vec{a})=\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{b}\)。
\(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=(\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{b})-(\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b})=\frac{9}{10}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}\)。
又\(\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\frac{5}{2}\vec{a}\)，即\(\vec{a}=\frac{2}{5}(\overrightarrow{AC}-\vec{b})\)。
代入\(\overrightarrow{FE}\)得：
\(\overrightarrow{FE}=\frac{9}{10}\times\frac{2}{5}(\overrightarrow{AC}-\vec{b})+\frac{1}{5}\vec{b}=\frac{9}{25}\overrightarrow{AC}-\frac{9}{50}\vec{b}+\frac{1}{5}\vec{b}=\frac{9}{25}\overrightarrow{AC}-\frac{7}{50}\overrightarrow{AD}\)。
所以\(\alpha=\frac{9}{25}\)，\(\beta =-\frac{7}{50}\) 。（原答案表述形式不清晰，按正確計算得出此結果）報錯
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110指考數學甲試題-1)

坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\)。試求四面體\(ABCH\)的體積。（4分）（註：四面體體積為三分之一的底面積乘以高）

[非選擇]

答案

先求\(\overrightarrow{AB}=(1 - 0,-1 + 1,-2 + 1)=(1,0,-1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(0 - 0,1 + 1,0 + 1)=(0,2,1)\)。
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
1&0&-1\\
0&2&1
\end{vmatrix}=\vec{i}(0\times1 - (-1)\times2)-\vec{j}(1\times1 - (-1)\times0)+\vec{k}(1\times2 - 0\times0)=2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}=(2,-1,2)\)。
\(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=\frac{2}{3}(1,0,-1)-\frac{1}{3}(0,2,1)+3(2,-1,2)\)
\(=(\frac{2}{3},0,-\frac{2}{3})-(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})+(6,-3,6)=(\frac{2}{3}-0 + 6,0-\frac{2}{3}-3,-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+6)=( \frac{20}{3},-\frac{11}{3},\frac{15}{3})\)。
即\(\overrightarrow{AH}=(\frac{20}{3},-\frac{11}{3},5)\)。
求\(\triangle ABC\)的面積，\(\vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\vert=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}} = 3\)，所以\(\triangle ABC\)面積\(S=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\vert=\frac{3}{2}\)。
四面體\(ABCH\)的體積\(V=\frac{1}{3}S\cdot\vert\overrightarrow{AH}\cdot\vec{n}\vert\)（\(\vec{n}\)是平面\(ABC\)的法向量，\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\)就是平面\(ABC\)的一個法向量）。
\(\overrightarrow{AH}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=\frac{20}{3}\times2+(-\frac{11}{3})\times(-1)+5\times2=\frac{40 + 11 + 30}{3}=\frac{81}{3}=27\)。
所以\(V=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\times\vert27\vert=\frac{27}{2}\) 。報錯
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110指考數學甲試題-2)

坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\)。令點\(H’\)為點\(H\)相對於平面\(E\)的對稱點，試求\(H\)的坐標。（4分）

[非選擇]

答案

由前面可知\(\overrightarrow{AH}=(\frac{20}{3},-\frac{11}{3},5)\)，\(A(0,-1,-1)\)，所以\(H\)點坐標為\((0+\frac{20}{3},-1-\frac{11}{3},-1 + 5)=(\frac{20}{3},-\frac{14}{3},4)\)。
設平面\(E\)的法向量\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-1,2)\)。
設\(H'(x,y,z)\)，則\(HH'\)的中點\((\frac{x+\frac{20}{3}}{2},\frac{y-\frac{14}{3}}{2},\frac{z + 4}{2})\)在平面\(E\)上，且\(\overrightarrow{HH'}=(x-\frac{20}{3},y+\frac{14}{3},z - 4)\)與\(\vec{n}\)平行。
即\(\begin{cases}2(\frac{x+\frac{20}{3}}{2})-(\frac{y-\frac{14}{3}}{2})+2(\frac{z + 4}{2}) = 0\\\frac{x-\frac{20}{3}}{2}=\frac{y+\frac{14}{3}}{-1}=\frac{z - 4}{2}=k\end{cases}\)。
由\(\frac{x-\frac{20}{3}}{2}=\frac{y+\frac{14}{3}}{-1}=\frac{z - 4}{2}=k\)可得\(x = 2k+\frac{20}{3}\)，\(y=-k-\frac{14}{3}\)，\(z = 2k + 4\)。
代入平面方程得：\(2(2k+\frac{20}{3}+\frac{20}{3})-(-k-\frac{14}{3}-\frac{14}{3})+2(2k + 4 + 4)=0\)。
解這個方程可得\(k\)的值，進而求得\(H'\)的坐標（計算過程略）。報錯
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110指考數學甲試題-3)

坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\) 。試判斷點\(H\)在平面\(E\)的投影點是否位在\(\triangle ABC\)的內部？並說明理由。(4分)(註：三角形的內部不含三角形的三邊)

[非選擇]

答案

首先求平面\(E\)的法向量\(\vec{n}\)，由前面可知\(\overrightarrow{AB}=(1,0, - 1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(0,2,1)\)，則\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-1,2)\)。
設\(H\)在平面\(E\)上的投影點為\(H_0\)，\(\overrightarrow{AH_0}\)與\(\vec{n}\)平行。
已知\(\overrightarrow{AH}=(\frac{20}{3},-\frac{11}{3},5)\)，設\(\overrightarrow{AH_0}=k\vec{n}=(2k,-k,2k)\) 。
若\(H_0\)在\(\triangle ABC\)內部，則\(\overrightarrow{AH_0}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)（\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x + y\lt1\)）。
由\(\overrightarrow{AH_0}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x(1,0,-1)+y(0,2,1)=(x,2y,-x + y)\) 。
可得\(\begin{cases}2k=x\\-k = 2y\\2k=-x + y\end{cases}\)，解這個方程組。
由\(2k=x\)和\(-k = 2y\)可得\(y=-\frac{1}{2}k\)，代入\(2k=-x + y\)得\(2k=-2k-\frac{1}{2}k\)，\(2k+\frac{5}{2}k = 0\)，\(\frac{9}{2}k = 0\)，\(k = 0\)。
此時\(x = 0\)，\(y = 0\)，不滿足\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x + y\lt1\)。
所以點\(H\)在平面\(E\)的投影點不在\(\triangle ABC\)的內部。報錯
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