某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在\(6^\circ C\)到\(24^\circ C\)時，每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為-0.99，部分紀錄如下表。
| 平均氣溫（\(^\circ C\)） | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 平均售出量（杯） | 512 | 437 | 361 | 279 | 203 | 135 |
某日平均氣溫為\(8^\circ C\)，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項？
(1) 570杯 (2) 625杯 (3) 700杯 (4) 755杯 (5) 800杯。
某種合金由甲和乙兩種金屬組成，某生想知道其中金屬比例與合金的波長關係。他做實驗測量「甲占比為 \(x\%\) 的合金所對應的波長 \(y\)（單位：奈米）」，並將得到的20筆數據 \((x_k, y_k)\)，\(k=1, \ldots, 20\)，在 \(xy\) 平面上標出對應的點，其迴歸直線（最適直線）為 \(y=21.3x-40\)。為符合投稿規範，須將報告描述為「乙占比為 \(u\%\) 的合金所對應的波長 \(v\)（單位：微米）」，他將數據 \((x_k, y_k)\) 轉換為 \((u_k, v_k)\)，\(k=1, \ldots, 20\)，得到在 \(uv\) 平面的迴歸直線為 \(v=au+b\)。已知1奈米=\(10^{-9}\)公尺，1微米=\(10^{-6}\)公尺。試選出正確的選項。
(1) \(u_k=100-x_k\)，\(k=1, \ldots, 20\)
(2) \(v_k=1000y_k\)，\(k=1, \ldots, 20\)
(3) \(u_1, u_2, u_3, \ldots, u_{20}\) 的標準差等於 \(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{20}\) 的標準差
(4) \(b=2.09\)
(5) 某生發現有另一筆數據 \((u_{21}, v_{21})\)，且滿足 \(v_{21}=au_{21}+b\)；若將這21筆數據 \((u_k, v_k)\)，\(k=1, \ldots, 21\)，在 \(uv\) 平面上標出對應的點，則其迴歸直線仍為 \(v=au+b\)
某公司統計上週8家分店的來店人數x（單位：百人）及營業額y（單位：萬元），數據如下：
(3,3)、(3,5)、(3,2)、(4,4)、(5,8)、(6,7)、(8,12)、(8,7)，最適直線為\(y=\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}\)。將數據各自排序得新數據：
(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,5)、(5,7)、(6,7)、(8,8)、(8,12)，設新最適直線為\(y=mx+b\)，試選出正確的選項？
(1) \(m=\frac{5}{4}\)且\(b=-\frac{1}{4}\)
(2) \(m\gt\frac{5}{4}\)且\(b\gt-\frac{1}{4}\)
(3) \(m\gt\frac{5}{4}\)且\(b<-\frac{1}{4}\)
(4) \(m\lt\frac{5}{4}\)且\(b\gt-\frac{1}{4}\)
(5) \(m\lt\frac{5}{4}\)且\(b<-\frac{1}{4}\)
首先，我們需要明確求最適直線（這裡可理解為迴歸直線）的斜率\(m\)和截距\(b\)的相關知識，迴歸直線的斜率\(m=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\)，截距\(b=\bar{y}-m\bar{x}\)，其中\(\bar{x}\)是\(x\)的平均值，\(\bar{y}\)是\(y\)的平均值。
### 步驟一：計算原始數據的\(\bar{x}\)和\(\bar{y}\)
原始數據\(x\)：\(3,3,3,4,5,6,8,8\)；\(y\)：\(3,5,2,4,8,7,12,7\)。
\(\bar{x}=\frac{3 + 3+3+4+5+6+8+8}{8}=\frac{40}{8} = 5\)
\(\bar{y}=\frac{3 + 5+2+4+8+7+12+7}{8}=\frac{48}{8}=6\)
### 步驟二：計算新數據的\(\bar{x}\)和\(\bar{y}\)
新數據\(x\)：\(3,3,3,4,5,6,8,8\)；\(y\)：\(2,3,4,5,7,7,8,12\)。
\(\bar{x}=\frac{3 + 3+3+4+5+6+8+8}{8}=\frac{40}{8} = 5\)
\(\bar{y}=\frac{2 + 3+4+5+7+7+8+12}{8}=\frac{48}{8}=6\)
### 步驟三：分析斜率\(m\)的變化
對於迴歸直線斜率\(m\)，\(m=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\)，分母\(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}\)在原始數據和新數據中，因為\(x\)值沒有變化，所以分母不變。
分子\(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})\)，原始數據中\(y\)值相對分散，有較大的波動（如\(y = 2\)和\(y = 12\)等），新數據中\(y\)值隨著\(x\)的增大而更有規律地增大（\(x\)小的\(y\)小，\(x\)大的\(y\)大），所以新數據的分子\(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})\)會比原始數據的分子大。
因為分母不變，分子增大，所以\(m\)會增大，即\(m>\frac{5}{4}\)。
### 步驟四：分析截距\(b\)的變化
截距\(b=\bar{y}-m\bar{x}\)，\(\bar{x} = 5\)，\(\bar{y}=6\)，原始數據中\(b = 6-\frac{5}{4}\times5=6-\frac{25}{4}=-\frac{1}{4}\)。
新數據中\(m>\frac{5}{4}\)，所以\(b=6 - m\times5\)，因為\(m>\frac{5}{4}\)，所以\(m\times5>\frac{25}{4}\)，則\(6 - m\times5<6-\frac{25}{4}=-\frac{1}{4}\)。
所以正確選項是(3)。 報錯
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考慮坐標平面上之向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)滿足\(|\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}| = 9\)以及\(|\overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}| = 7\)。若令\(|\overrightarrow{a}| = x\)，其中\(1 \lt x \lt 8\)，且令\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)的夾角為\(\theta\)，則利用向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)、\(\overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}\)所形成的三角形，可將\(\cos\theta\)以x表示成\(\frac{c}{9x – x^2} + d\)，其中c、d為常數且\(c \gt 0\)。令此表示式為\(f(x)\)，且其定義域為\(\{x \mid 1 \lt x \lt 8\}\)。試回答下列問題：
15.求\(f(x)\)及其導函數。
16.說明\(f(x)\)在定義域中遞增、遞減的情況。並說明x為多少時\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)的夾角\(\theta\)最大。
17.利用\(f(x)\)的一次估計（一次近似），求當\(x = 4.96\)時，\(\cos\theta\)約為多少？
15. 求\(f(x)\)及其導函數已知\(|\vec{a}| = x\)，則\(|\vec{b}| = 9 - x\)。由\(|\vec{a} - \vec{b}| = 7\)，根據向量模長公式：\(7^2 = x^2 + (9 - x)^2 - 2x(9 - x)\cos\theta\)
展開整理得：\(49 = 2x^2 - 18x + 81 - 2x(9 - x)\cos\theta \implies \cos\theta = \frac{16}{9x - x^2} - 1\)
故\(f(x) = \frac{16}{9x - x^2} - 1\)。求導：\(f'(x) = \frac{16 \cdot (2x - 9)}{(9x - x^2)^2} = \frac{32x - 144}{(9x - x^2)^2}\)16. \(f(x)\)的單調性與\(\theta\)最大值當\(1 < x < 4.5\)，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\)遞減；當\(4.5 < x < 8\)，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\)遞增。\(\cos\theta\)越小，\(\theta\)越大。\(f(x)\)在\(x = 4.5\)時取最小值，此時\(\cos\theta\)最小，故\(x = 4.5\)時，\(\theta\)最大。17. 一次估計求\(\cos\theta\)取\(x_0 = 5\)，計算：\(f(5) = \frac{16}{25} - 1 = -0.2, \quad f'(5) = \frac{16}{400} = 0.04\)
當\(x = 4.96\)，\(\Delta x = -0.04\)，線性近似：\(f(4.96) \approx f(5) + f'(5) \cdot (-0.04) = -0.2 - 0.0016 = -0.2016\) 報錯
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某人使用單點透視法,以地平線上一點為消失點,將地平面上的六根鉛直柱子\(A\),\(B\),\(C\),\(D\),\(E\),\(F\)畫在坐標平面上,各柱柱頂與柱底的坐標如下表,並且讓點\(V(4,9)\)代表消失點,如圖所示。因圖形中\(A\)、\(F\)兩柱的柱底連線與柱頂連線均平行於地平線,故\(A\)、\(F\)兩柱的實際高度相等。根據上述,試選出實際高度最大的柱子。
設\(\Gamma\)為坐標平面上函數\(y = x^3 – x\)的圖形。試選出正確的選項。(1) \(\Gamma\)的對稱中心為原點；(2) \(\Gamma\)在\(x = 0\)附近會近似於直線\(y = x\)；(3) \(\Gamma\)經適當平移後可與函數\(y = x^3 + x + 3\)的圖形重合；(4) \(\Gamma\)與函數\(y = x^3 + x\)的圖形對稱於\(x\)軸；(5) \(\Gamma\)與函數\(y = -x^3 + x\)的圖形對稱於\(y\)軸
1. 對於(1),\(f(-x)= -x^3 + x = - (x^3 - x)= - f(x)\),所以\(y = x^3 - x\)是奇函數,對稱中心為原點,(1)正確。
2. 對於(2),求\(y = x^3 - x\)在\(x = 0\)處的導數\(y^\prime = 3x^2 - 1\),\(x = 0\)時,\(y^\prime = - 1\),在\(x = 0\)附近近似直線為\(y - 0 = - 1×(x - 0)\)即\(y = - x\),(2)錯誤。
3. 對於(3),\(y = x^3 + x + 3\)與\(y = x^3 - x\)形狀不同,平移無法重合,(3)錯誤。
4. 對於(4),\(y = x^3 - x\)與\(y = x^3 + x\)不關於\(x\)軸對稱,(4)錯誤。
5. 對於(5),\(y = x^3 - x\)與\(y = -x^3 + x\),\(f(x)\)與\(f(-x)\)關係,可知二者關於\(y\)軸對稱,(5)正確。答案：(1)(5) 報錯
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18-20 題為題組
空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿,其底座在一直線上且間距相等。某甲以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系,使得電線桿皆與\(y\)軸平行,三根底座的點分別為\(A_1(0,0)\)、\(A_2\)、\(A_3\),都在直線\(L:x + 3y = 0\)上；三根頂端的點分別為\(B_1(0,3)\)、\(B_2\)、\(B_3\),都在直線\(M:2x – 3y + 9 = 0\)上,如圖所示。已知\(A_3B_3 = 2A_1B_1\),且由單點透視法可知直線\(A_1B_3\)與直線\(A_3B_1\)的交點在直線\(A_2B_2\)上。設\(L\)和\(M\)相交於\(P\)點（此點又稱為「消失點」）。若向量\(\overrightarrow{PA_1}=k\overrightarrow{PA_3}\),則\(k\)的值為 。 （化為最簡分數） （選填題,\(3\)分）
18-20 題為題組
空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿,其底座在一直線上且間距相等。某甲以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系,使得電線桿皆與\(y\)軸平行,三根底座的點分別為\(A_1(0,0)\)、\(A_2\)、\(A_3\),都在直線\(L:x + 3y = 0\)上；三根頂端的點分別為\(B_1(0,3)\)、\(B_2\)、\(B_3\),都在直線\(M:2x – 3y + 9 = 0\)上,如圖所示。已知\(A_3B_3 = 2A_1B_1\),且由單點透視法可知直線\(A_1B_3\)與直線\(A_3B_1\)的交點在直線\(A_2B_2\)上。設\(L\)和\(M\)相交於\(P\)點（此點又稱為「消失點」）。試求\(P\)與\(B_3\)這兩點的坐標。（非選擇題,\(6\)分）
1. 求\(P\)點坐標：
聯立直線\(L:x + 3y = 0\)與\(M:2x - 3y + 9 = 0\)的方程,將\(x = - 3y\)代入\(2x - 3y + 9 = 0\),得\(-6y - 3y + 9 = 0\),解得\(y = 1\),則\(x = - 3\),所以\(P(-3,1)\)。
2. 求\(B_3\)點坐標：
設\(A_3(x_0,y_0)\),因為\(A_3\)在\(L\)上,所以\(x_0 + 3y_0 = 0\),即\(x_0 = - 3y_0\)。\(A_1B_1 = 3\),\(A_3B_3 = 6\)。設\(B_3(x_1,y_1)\),\(B_3\)在\(M\)上,\(2x_1 - 3y_1 + 9 = 0\)。由兩點間距離公式\(\sqrt{(x_1 - x_0)^2+(y_1 - y_0)^2}=6\),將\(x_0 = - 3y_0\)代入並結合\(2x_1 - 3y_1 + 9 = 0\),解方程組得\(x_1 = 3\),\(y_1 = 5\),所以\(B_3(3,5)\)。綜上,\(P(-3,1)\),\(B_3(3,5)\)。 報錯
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[18-20 題為題組]
空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿,其底座在一直線上且間距相等。某甲以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系,使得電線桿皆與\(y\)軸平行,三根底座的點分別為\(A_1(0,0)\)、\(A_2\)、\(A_3\),都在直線\(L:x + 3y = 0\)上；三根頂端的點分別為\(B_1(0,3)\)、\(B_2\)、\(B_3\),都在直線\(M:2x – 3y + 9 = 0\)上,如圖所示。已知\(A_3B_3 = 2A_1B_1\),且由單點透視法可知直線\(A_1B_3\)與直線\(A_3B_1\)的交點在直線\(A_2B_2\)上。設\(L\)和\(M\)相交於\(P\)點（此點又稱為「消失點」）。若有隻蜜蜂恰好停在中間那根電線桿上距離底座與頂端的長度比為\(1:2\)的位置上。某甲想在這個畫布的線段\(A_2B_2\)上畫出這隻蜜蜂,假設畫布上蜜蜂位置為\(Q\)點,即點\(Q\)到線段\(A_2B_2\)的底座\(A_2\)與到線段\(A_2B_2\)頂端\(B_2\)的長度比為\(1:2\),試求\(Q\)點坐標。（非選擇題,\(6\)分）
利用直線$L,M與比例算出\\A_3(3,-1),A_2(1,-\frac{1}{3}),B_2(1,\frac{11}{3})\\由分點可得Q(1,\frac{1\times\frac{11}{3}+2\times\frac{-1}{3}}{1+2})=(1,1)$ 報錯
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畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時,有以下原則要遵守：一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線。二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致。三、 空間 直 線上 的 任四個 相 異點的\(K\)值, 和畫 紙所畫 的四 個 點之\(K\)值 必 須相 同,其 中\(K\)值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點\(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\) ,如下圖。
其所對應的\(K\)值定義為\[K=\frac{\overline{P_1P_4}\times \overline{P_2P_3}}{\overline{P_1P_3}\times \overline{P_2P_4}}\] 。今 某 畫家 依 照 以上 原 則, 將 空 間 中 一 直線 及 該 線 上的 四 相 異點\(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\), \(Q_4\) 描 繪 在 畫 紙上,其中\(Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_3Q_4\) 。若將畫紙上所畫的直線視為一數線,並將線上的點用坐標來表示,則在下列選項的四個坐標中,試問哪一組最可能是該四點在畫紙上的坐標？(1) \(1, 2, 4, 8\)；(2) \(3, 4, 6, 9\)；(3) \(1, 5, 8, 9\)；(4) \(1, 2, 4, 9\)；(5) \(1, 7, 9, 10\)
設\(Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_3Q_4 = a\)。對於(1),\(K=\frac{(4 - 1)}{(4 - 2)}\div\frac{(8 - 1)}{(8 - 2)}=\frac{3}{2}\div\frac{7}{6}=\frac{9}{7}\)；對於(2),\(K=\frac{(6 - 3)}{(6 - 4)}\div\frac{(9 - 3)}{(9 - 4)}=\frac{3}{2}\div\frac{6}{5}=\frac{5}{4}\)；對於(3),\(K=\frac{(8 - 1)}{(8 - 5)}\div\frac{(9 - 1)}{(9 - 5)}=\frac{7}{3}\div2=\frac{7}{6}\)；對於(4),\(K=\frac{(4 - 1)}{(4 - 2)}\div\frac{(9 - 1)}{(9 - 2)}=\frac{3}{2}\div\frac{8}{7}=\frac{21}{16}\)；對於(5),\(K=\frac{(9 - 1)}{(9 - 7)}\div\frac{(10 - 1)}{(10 - 7)} = 4\div3=\frac{4}{3}\)。逐一分析,只有(2)中\(K\)值符合等距線段比例關係。答案：(2) 報錯
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