〈圓的角度與弦弧〉彙整頁面

106學測數學考科–06

試問有多少個實數 $ x $ 滿足 $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}$ 且 $\cos x^0 \leq \cos x$？
(1) 0 個 (2) 1 個 (3) 2 個 (4) 4 個 (5) 無窮多個。

答案

$x^0$ 約介於 1.57° 與 4.71° 之間，$\cos x^0 > 0$。而 $x$ 弧度在 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{3\pi}{2}$ 之間，$\cos x \leq 0$。故 $\cos x^0 > \cos x$，恆成立，無解。故選(1)。答案：(1) 報錯
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請問 $\sin 73^\circ$、$\sin 146^\circ$、$\sin 219^\circ$、$\sin 292^\circ$、$\sin 365^\circ$ 這五個數值的中位數是哪一個？
(1) $\sin 73^\circ$ (2) $\sin 146^\circ$ (3) $\sin 219^\circ$ (4) $\sin 292^\circ$ (5) $\sin 365^\circ$。

答案

化簡：$\sin 146^\circ=\sin 34^\circ$，$\sin 219^\circ=-\sin 39^\circ$，$\sin 292^\circ=-\sin 68^\circ$，$\sin 365^\circ=\sin 5^\circ$。排序：$\sin 73^\circ \gt \sin 146^\circ \gt \sin 365^\circ \gt \sin 219^\circ \gt \sin 292^\circ$，中位數為 $\sin 365^\circ$。答案：(5) 報錯
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109學測數學考科-G

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧 $ QRT $ 是一個以 $ O $ 點為圓心、$ OT $ 為直徑的半圓，$ OT = 2\sqrt{3} $。圓弧 $ QST $ 的圓心在 $ P $ 點，$ PQ = PT = 2 $。圓弧 $ QRT $ 與圓弧 $ QST $ 所圈出的灰色區域 $ QRTSQ $ 即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為 $ a\pi + \sqrt{b} $，其中 $ \pi $ 為圓周率，$ a $ 為有理數，$ b $ 為整數，則 $ a = $ __________（化為最簡分數），$ b = $ __________。

答案

半圓QRT面積 = $\frac{3\pi}{2}$，扇形PQST面積 = $\frac{4\pi}{3}$，△PQT面積 = $\sqrt{3}$。灰色區域面積 = 半圓 + △PQT - 扇形 = $\frac{1}{6}\pi + \sqrt{3}$，故 $a = \frac{1}{6}$, $b = 3$。答案：$a = \frac{1}{6}, b = 3$ 報錯
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114學測數學A考科_16

坐標平面上，設 $L_1$、$L_2$ 為通過點 $(3, 1)$ 且斜率分別為 $m$、$-m$ 的兩條直線，其中 $m$ 為一實數。另設 $\Gamma$ 為圓心在原點的一個圓。已知 $\Gamma$ 與 $L_1$ 交於相異兩點 $A$、$B$，且知圓心到 $L_1$ 的距離為 1，又 $\Gamma$ 與 $L_2$ 相切，則弦 $\overline{AB}$ 的長度為 __________。（化為最簡分數）

答案

圓 $\Gamma: x^2+y^2=r^2$，$L_1: mx-y-3m+1=0$，圓心到 $L_1$ 距離為 1 得 $m=\frac{3}{4}$。
代入 $L_2$ 與圓相切得 $r=\frac{13}{5}$，弦長 $\overline{AB}=2\sqrt{r^2-1^2}=\frac{24}{5}$。報錯
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107指考數學甲試題–A

坐標平面上，已知圓$C$通過點$P(0,-5)$，其圓心在$x = 2$上。若圓$C$截$x$軸所成之弦長為$6$，則其半徑為$\sqrt{(\quad)}$。(化成最簡根式)

答案

設圓$C$的圓心坐標為$(2,y_0)$，半徑為$r$。
圓$C$截$x$軸所成之弦長為$6$，則弦長的一半為$3$。
圓心$(2,y_0)$到$x$軸的距離為$\vert y_0\vert$。
根據勾股定理，$r^{2}=3^{2}+\vert y_0\vert^{2}$。
又因為圓$C$過點$P(0,-5)$，所以$(0 - 2)^{2}+(-5 - y_0)^{2}=r^{2}$。
將$r^{2}=3^{2}+\vert y_0\vert^{2}$代入$(0 - 2)^{2}+(-5 - y_0)^{2}=r^{2}$可得：
$4 + (-5 - y_0)^{2}=9 + y_0^{2}$
$4 + 25 + 10y_0 + y_0^{2}=9 + y_0^{2}$
$10y_0=-20$
解得$y_0=-2$。
所以$r^{2}=3^{2}+(-2)^{2}=9 + 4 = 13$，則$r = \sqrt{13}$。故答案為$13$。報錯
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111學測數學B試題-18

18-20 題為題組瘦長的塔因為年代久遠，塔身容易傾斜。在下方右圖中，以粗黑線條代表塔身，而塔身的長度稱為塔高，塔身與鉛直虛線的夾角稱為該塔的傾斜度（ $0\le 90$），又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離。

已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比,其傾斜度達到$18^{\circ}$,此傾斜度換算成弳（或弧度）為下列哪一個選項？(1) $\frac{\pi}{8}$；(2) $\frac{\pi}{10}$；(3) $\frac{\pi}{12}$；(4) $\frac{\pi}{16}$；(5) $\frac{\pi}{20}$

答案

1. 因為$180^{\circ}=\pi$弧度,設$18^{\circ}$對應的弧度為$x$。
2. 則由比例關系可得$\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{18^{\circ}}{x}$。
3. 解得$x=\frac{18\pi}{180}=\frac{\pi}{10}$。答案：(2) 報錯
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