圓與直線

\(A\) 關於 \(y = a\) 對稱點 \(A'(-1,2a - 1)\)，直線 \(L\) 為 \(A'B\)，方程 \((1 - a)x - y + a = 0\)。圓心 \((3,0)\) 到 \(L\) 距離 \(\leq 1\)，即 \(\frac{|3(1 - a) + a|}{\sqrt{(1 - a)^2 + 1}} \leq 1\)，化簡 \(3a^2 - 10a + 7 \leq 0\)，解得 \(1 \leq a \leq \frac{7}{3}\)。答案：\([1, \frac{7}{3}]\) 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 一站直達

兩條平行直線 \(x - y = 1\) 和 \(x - y = 5\) 的距離為 \(\frac{|5 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 2\sqrt{2}\)。根據弦長公式,圓的半徑 \(r = \sqrt{7^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{49 + 8} = \sqrt{57}\)。因此,圓的面積為 \(50\pi\)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案

設直線 \(L: 4x-3y+k=0\)（法向量為(4,-3)）
A到L距離：\(\frac{|4(-3)-3(4)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-12-12+k|}{5} = \frac{|k-24|}{5}\)
B到L距離：\(\frac{|4(3)-3(2)+k|}{5} = \frac{|12-6+k|}{5} = \frac{|k+6|}{5}\)
依題意：\(\frac{|k-24|}{5} = 5 \times \frac{|k+6|}{5}\) ⇒ \(|k-24| = 5|k+6|\)
平方：\((k-24)^2 = 25(k+6)^2\)
\(k^2-48k+576 = 25k^2+300k+900\)
\(24k^2+348k+324=0\) ⇒ \(2k^2+29k+27=0\)
\((2k+27)(k+1)=0\) ⇒ \(k=-13.5\) 或 \(k=-1\)
但A,B在L兩側，需滿足\((4(-3)-3(4)+k)(4(3)-3(2)+k) \lt 0\)
檢驗：
k=-13.5：\((-12-12-13.5)(12-6-13.5)=(-37.5)(-7.5) \gt 0\)（同側）
k=-1：\((-12-12-1)(12-6-1)=(-25)(5) \lt 0\)（異側）
故 \(k=-1\)，直線 \(L: 4x-3y-1=0\)
答案：\(4x-3y-1=0\) 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

設圓心坐標為\((m,n)\)，半徑為\(r\)。
兩點間距離公式可得兩點距離\(d=\sqrt{(7 - 0)^2+(0 - \frac{7}{2})^2}=\frac{7\sqrt{5}}{2}\)，所以圓半徑\(r\geq\frac{7\sqrt{5}}{4}<5\)，(1)錯誤。 當半徑最小時，圓心是兩點所連線段中垂線的交點，經計算此時圓不經過原點，(2)錯誤。 直線\(x + 2y = 6\)，即\(x = 6 - 2y\)，代入圓的方程，判斷方程有解，所以Γ與直線有交點，(3)正確。 圓心\((m,n)\)，若在第四象限則\(m>0\)且\(n<0\)，由圓的性質可知存在這樣的圓心，(4)錯誤。 若圓心在第三象限，\(m<0\)且\(n<0\)，由圓心到兩點距離公式可知半徑\(r^2=(m - 7)^2 + n^2\)，計算可得\(r>8\)，(5)正確。答案為(3)(5)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

設圓心坐標為\((0,y_0)\)（\(y_0>0\)），切點坐標為\((x_1,y_1)\)。
由圓心與\(x\)軸的距離和切點與\(x\)軸的距離之比值為5，可得\(y_0 = 5y_1\)。
直線\(y = mx\)的一般式為\(mx - y = 0\)，根據點\((x_0,y_0)\)到直線\(Ax + By + C = 0\)的距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，圓心\((0,y_0)\)到直線\(mx - y = 0\)的距離等於圓的半徑\(r\)，即\(r=\frac{\vert - y_0\vert}{\sqrt{m^{2}+1}}\)。
又因為切點\((x_1,y_1)\)在直線\(y = mx\)上，所以\(y_1 = mx_1\)，且圓心\((0,y_0)\)與切點\((x_1,y_1)\)的距離也為半徑\(r\)，即\(r=\sqrt{(x_1 - 0)^{2}+(y_1 - y_0)^{2}}\)。
由\(y_0 = 5y_1\)，可得\(r=\sqrt{x_1^{2}+(y_1 - 5y_1)^{2}}=\sqrt{x_1^{2}+16y_1^{2}}\)。
再由\(y_1 = mx_1\)，\(r=\frac{\vert - y_0\vert}{\sqrt{m^{2}+1}}=\frac{5y_1}{\sqrt{m^{2}+1}}\)，且\(r=\sqrt{x_1^{2}+16y_1^{2}}\)，\(x_1=\frac{y_1}{m}\)，代入可得：
\(\frac{5y_1}{\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{(\frac{y_1}{m})^{2}+16y_1^{2}}\)，兩邊同時平方得\(\frac{25y_1^{2}}{m^{2}+1}=\frac{y_1^{2}}{m^{2}}+16y_1^{2}\)，因為\(y_1\neq0\)（否則圓不存在），等式兩邊同時除以\(y_1^{2}\)得\(\frac{25}{m^{2}+1}=\frac{1}{m^{2}} + 16\)。
通分得到\(25m^{2}=m^{2}+1 + 16m^{2}(m^{2}+1)\)，即\(16m^{4}-8m^{2}+1 = 0\)，令\(t = m^{2}(t>0)\)，則\(16t^{2}-8t + 1 = 0\)，\((4t - 1)^{2}=0\)，解得\(t=\frac{1}{4}\)，所以\(m^{2}=\frac{1}{4}\)，又\(m>0\)，則\(m=\frac{1}{2}\)。（原答案可能有誤，按照正確解題步驟得出\(m=\frac{1}{2}\) ，若按原答案思路需補充更多條件） 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案