坐標平面上,橢圓 \( \Gamma \) 的方程式為 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{6^2}=1$ （其中 \( a \) 為正實數）。若將 \( \Gamma \) 以原點 \( O \) 為中心,沿 \( x \) 軸方向伸縮為 2 倍、沿 \( y \) 軸方向伸縮為 3 倍 後,所得到 的新 圖形會通過點 \((18,0)\) 。試 問 下 列 哪 一 個 選 項 是 \( \Gamma \) 的焦點？(1) \((0,3 )\) (2) \((\sqrt{3},0)\) (3) \((3\sqrt{3},0)\) (4) \((6,0)\) (5) \((9,0)\)
空間中有兩相交直線\(L\),\(M\),其夾角為\(24^{\circ}\)。將\(M\)繞著\(L\)轉一圈,可得一個直圓錐面。今有平面\(E\)與直線\(L\)平行,試問平面\(E\)與此直圓錐面的截痕是下列哪一個選項？(1) 雙曲線；(2) 拋物線；(3) 橢圓（長短軸不相等）；(4) 圓；(5) 兩相交直線
1. **圓錐面性質**：直線\(M\)繞\(L\)旋轉形成直圓錐面，錐角為\(24^\circ\)。
2. **平面與圓錐面的截痕**：平面\(E\)與直線\(L\)平行，且不通過圓錐頂點。
3. **結果**：根據圓錐截痕的性質，當平面與軸平行且不與母線平行時，截痕為**雙曲線**。
**答案**：(1) 雙曲線。
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已知某手電筒照射的光線為直圓錐狀,且光發散的夾角為 \(60^{\circ}\),如圖所示。設牆壁與地板垂直且交界處為直線 \(L\),將此手電筒以垂直於 \(L\) 的方向照射,即此直圓錐的軸與 \(L\) 垂直。若手電筒照射在牆壁上的光線邊緣為拋物線的一部份,則在地板上的光線邊緣為下列哪種圖形的一部份？(1) 兩相交直線(2) 圓形(3) 拋物線(4) 長短軸不相等的橢圓(5) 雙曲線
圓錐的母線與軸夾角為 \(30^{\circ}\),當手電筒垂直於交線 \(L\) 照射時,在墻壁上形成拋物線,說明圓錐母線與墻壁平行。而地板與墻壁垂直,圓錐母線與地板不平行,且圓錐母線與軸夾角小於 \(90^{\circ}\),所以在地板上的光線邊緣是雙曲線的一部分。答案：(5) 報錯
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