設三次實係數多項式函數 \(f(x) = x^3 + bx^2 + d\)，已知 \(y = f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸相交於 \(P(-1,0)\)、\(Q(2,0)\) 兩點，且 \(y = f(x)\) 圖形的對稱中心為 \(M\)，又直線 \(PM\) 與 \(y = f(x)\) 另相交於 \(R\) 點，直線 \(QM\) 與 \(y = f(x)\) 另相交於 \(S\) 點，請問 \(\triangle MRS\) 的面積為何？
\((1) 2\)
\((2) \frac{5}{2}\)
\((3) 3\)
\((4) \frac{7}{2}\)
\((5) 4\)
已知兩實數多項式函數 \(f(x) = -x^2 – 4x + 2\) 與 \(g(x)\)，若 \(y = f(x)\) 圖形的頂點坐標與 \(y = g(x)\) 的對稱中心相同，且 \(y = g(x)\) 圖形通過原點，試選出正確的選項。
\((1) y = f(x)\) 圖形的頂點坐標為 \((-2,6)\)
\((2) 不等式\ f(x)\lt 0\) 的解為 \(-2 – \sqrt{6}\lt x\lt -2 + \sqrt{6}\)
\((3) b+c+d=11\)
\((4) y = g(x)\) 在 \(x = -2\) 附近的局部特徵（一次近似）近似於直線 \(y = 5x\)
\((5) 方程式\ g(x) = 0\) 有3個整數解
設 \(f(x)\) 為實係數多項式，且 \(f(x)\) 除以 \(x – 1\) 的餘式為5，\(f(-1) = -5\)。若 \(f(x)\) 除以 \(x^2 – 1\) 的餘式為 \(ax + b\)，則數對 \((a, b) = \)(__________, __________)
已知 \(a\) 為 \(x^2 – 4x + 1 = 0\) 的一根實數解，試求 \(2a^4 – 9a^3 + 9a^2 – 12a – 3 + \frac{4}{a^2 + 1}\) 的值為__________（化為最簡分數）
設 \(a < b < c\)。已知實係數多項式函數 \(y = f(x)\) 的圖形為一開口向上的拋物線,且與 \(x\) 軸交於 \((a, 0)\)、\((b, 0)\) 兩點；實係數多項式函數 \(y = g(x)\) 的圖形亦為一開口向上的拋物線,且跟 \(x\) 軸相交於 \((b, 0)\)、\((c, 0)\) 兩點。請選出 \(y = f(x) + g(x)\) 的圖形可能的選項。
(1) 水平直線
(2) 和 \(x\) 軸僅交於一點的直線
(3) 和 \(x\) 軸無交點的拋物線
(4) 和 \(x\) 軸僅交於一點的拋物線
(5) 和 \(x\) 軸交於兩點的拋物線
設 \(f(x)\) 是首項係數為 1 的實係數二次多項式。請選出正確的選項。
(1) 若 \(f(2) = 0\),則 \(x – 2\) 可整除 \(f(x)\)
(2) 若 \(f(2) = 0\),則 \(f(x)\) 為整係數多項式
(3) 若 \(f(\sqrt{2}) = 0\),則 \(f(-\sqrt{2}) = 0\)
(4) 若 \(f(2i) = 0\),則 \(f(-2i) = 0\)
(5) 若 \(f(2i) = 0\),則 \(f(x)\) 為整係數多項式
設m, n為小於或等於4的相異正整數且a, b為非零實數。已知函數\(f(x) = ax^m\)與函數\(g(x) = bx^n\)的圖形恰有3個相異交點，請選出可能的選項。
(1) m, n皆為偶數且a, b同號
(2) m, n皆為偶數且a, b異號
(3) m, n皆為奇數且a, b同號
(4) m, n皆為奇數且a, b異號
(5) m, n為一奇一偶。
解 \(ax^m = bx^n \Rightarrow x^n (ax^{m-n} - b) = 0\)。需恰有3個相異實根。
(1) m, n偶，a, b同號：\(x=0\)（重根），\(x=\pm \sqrt[m-n]{\frac{b}{a}}\)，共3個相異實根。
(2) m, n偶，a, b異號：\(x=0\)，另兩根為虛數，僅1實根。
(3) m, n奇，a, b同號：\(x=0\)，\(x=\pm \sqrt[m-n]{\frac{b}{a}}\)，共3個相異實根。
(4) m, n奇，a, b異號：\(x=0\)，另兩根為虛數，僅1實根。
(5) m, n一奇一偶：例如m=4, n=3，得 \(x^3(x - \frac{b}{a})=0\)，僅2個相異實根。
故選(1)(3)。答案：(1)(3) 報錯
ChatGPT DeepSeek
設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式，已知 \( f(x) \) 在 \( x=2 \) 時有最小值1且 \( f(3)=3 \)。請問 \( f(1) \) 之值為下列哪一選項？
(1) 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5)條件不足，無法確定。
設 \( a, b, c \) 皆為正整數，考慮多項式 \( f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2 \)，請選出正確的選項。
(1) \( f(x) = 0 \) 無正根 (2) \( f(x) = 0 \) 一定有實根 (3) \( f(x) = 0 \) 一定有虛根 (4) \( f(1) + f(-1) \) 的值是偶數 (5)若 \( a + c > b + 3 \)，則 \( f(x) = 0 \) 有一根介於 -1 與 0 之間。
