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107學測數學考科-09

已知多項式 \( f(x) \) 除以 \( x^2 – 1 \) 之餘式為 \( 2x + 1 \)，試選出正確的選項：
(1) \( f(0) = 1 \)
(2) \( f(1) = 3 \)
(3) \( f(x) \) 可能為一次式
(4) \( f(x) \) 可能為 \( 4x^4 + 2x^2 – 3 \)
(5) \( f(x) \) 可能為 \( 4x^4 + 2x^3 – 3 \)。

[多選題]

答案

設 \( f(x) = (x^2-1)Q(x) + (2x+1) \)。
(1) \( f(0) = -Q(0)+1 \) 不一定為1。
(2) \( f(1) = 0 + 3 = 3 \) ✓。
(3) 若 \( Q(x)=0 \)，則 \( f(x)=2x+1 \) 為一次式 ✓。
(4) 計算 \( (4x^4+2x^2-3) - (2x+1) = 4x^4+2x^2-2x-4 \)，除以 \( x^2-1 \) 不整除 ✗。
(5) 計算 \( (4x^4+2x^3-3) - (2x+1) = 4x^4+2x^3-2x-4 \)，可被 \( x^2-1 \) 整除 ✓。
故選(2)(3)(5)。答案：(2)(3)(5) 報錯
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108學測數學考科-02

下列哪一個選項是方程式 \(x^3 – x^2 + 4x – 4 = 0\) 的解？（註：\(i = \sqrt{-1}\)）
(1) \(-2i\) (2) \(-i\) (3) \(i\) (4) \(2\) (5) \(4\)。

[單選題]

答案

因式分解得\((x-1)(x^2+4)=0\)，解得\(x=1\)或\(\pm 2i\)。故選(1)。答案：(1) 報錯
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110學測數學考科_05

設 \( f(x) \) 為實係數三次多項式函數，滿足 \((x+1)f(x)\) 除以 \( x^3+2 \) 的餘式為 \( x+2 \)。若 \( f(0)=4 \)，則 \( f(2) \) 的值為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 10
(3) 15
(4) 18
(5) 20

[單選題]

答案

由除法原理：\((x+1)f(x) = (x^3+2)(ax+b) + (x+2)\)。令 \( x=0 \) 得 \( f(0) = 2b+2 = 4 \)，故 \( b=1 \)。令 \( x=-1 \) 得 \( 0 = ((-1)^3+2)(-a+b) + 1 = (1)(-a+1)+1 = -a+2 \)，故 \( a=2 \)。代入得 \((x+1)f(x) = (x^3+2)(2x+1) + (x+2)\)，令 \( x=2 \) 得 \( 3f(2) = (10)(5) + 4 = 54 \)，故 \( f(2)=18 \)。(4) 報錯
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111學測數學A考科-10

給定一實係數三次多項式函數 \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 3 \)。令 \( g(x) = f(-x) – 3 \)，已知 \( y = g(x) \) 圖形的對稱中心為 \( (1, 0) \) 且 \( g(-1) \lt 0 \)。試選出正確的選項。
(1) \( g(x) = 0 \) 有三相異整數根
(2) \( a \lt 0 \)
(3) \( y = f(x) \) 圖形的對稱中心為 \( (-1, -3) \)
(4) \( f(100) \lt 0 \)
(5) \( y = f(x) \) 的圖形在點 \( (-1, f(-1)) \) 附近會近似於一條斜率為 \( a \) 的直線

[多選題]

答案

(1)○：對稱中心 \( (1,0) \) 且過 \( (0,0) \)，得根 \( 0,1,2 \)
(2)○：\( g(-1)=6a \lt 0 \Rightarrow a \lt 0 \)
(3)×：對稱中心為 \( (-1,3) \)
(4)×：無法確定 \( f(100) \) 正負
(5)×：近似直線斜率為 \( -a \)
故選(1)(2) 報錯
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105指考數學乙試題-01

下列哪一個選項是方程式 \( 7x^5 – 2x^4 + 14x^3 – 4x^2 + 7x – 2 = 0 \) 的根？
(1) \(-1\) (2) \(\frac{1}{7}\) (3) \(\frac{1}{7}\) (4) \(\frac{2}{7}\) (5) \(\frac{-2}{7}\)

[單選題]

答案

用一次因式檢驗法（有理根定理）：可能的有理根為 \(\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{2}{7}\)。
測試 \(x = \frac{1}{7}\)：代入得 \(7(\frac{1}{7})^5 - 2(\frac{1}{7})^4 + 14(\frac{1}{7})^3 - 4(\frac{1}{7})^2 + 7(\frac{1}{7}) - 2 = \frac{1}{2401} - \frac{2}{2401} + \frac{14}{343} - \frac{4}{49} + 1 - 2\)，計算得 0。
所以 \(\frac{1}{7}\) 是根。
答案為 (2)。報錯
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110指考數學乙試題-02

已知實係數二次多項式函數 \( f(x) \) 滿足 \( f(-1)=k \)，\( f(1)=9k \)，\( f(3)=-15k \)，其中 \( k\gt0 \)。
設函數 \( y=f(x) \) 圖形頂點的x坐標為 \( a \)，試選出正確的選項。
(1) \( a\leq -1 \)
(2) \(-1\lt a\lt 1\)
(3) \( a=1 \)
(4) \( 1\lt a\lt 3 \)
(5) \( 3\leq a \)

[單選題]

答案

設 \( f(x)=px^2+qx+r \)，代入三點得聯立方程。由 \( f(-1)=p-q+r=k \)，\( f(1)=p+q+r=9k \)，\( f(3)=9p+3q+r=-15k \)。解得 \( p=-4k \)，\( q=4k \)，\( r=9k \)。頂點x坐標 \( a=-\frac{q}{2p}=-\frac{4k}{2(-4k)}=\frac{1}{2} \)。故 \( -1 報錯
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109指考數學乙試題-04

設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式函數且 \( f(x)=0 \) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \( f(0) \gt 0 \)
(2) \( f(1)f(2) \gt 0 \)
(3) 若 \( f(x)-1=0 \) 有實根，則 \( f(x)-2=0 \) 有實根
(4) 若 \( f(x)-1=0 \) 有重根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 沒有實根
(5) 若 \( f(x)-1=0 \) 有兩相異實根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 有實根

[多選題]

答案

\( f(x) \) 為二次函數且無實根，故開口方向固定且恆正或恆負
(1) 錯誤，可能恆負
(2) 正確，同號
(3) 錯誤，向下平移可能使判別式由正變負
(4) 正確，重根在頂點，半單位平移後仍在同側
(5) 正確，兩相異實根表示頂點值<1，半單位平移後仍有實根
答案：(2)(4)(5) 報錯
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105指考數學甲試題-1)

設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相對）極值。試描繪\(y = f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)的範圍中可能的圖形，在圖上標示\((0,f(0))\)、\((2,f(2))\)，並由此說明\(a\)為正或負。(4分)

[非選擇題]

答案

因為\(f(x)\)是三次實系數多項式，且在\(0\leq x\leq3\)上，\(f(0)=f(2)=12\)為最大值。
三次函數的圖像是一條曲線，若\(a\gt0\)，函數圖像大致是先增後減再增；若\(a\lt0\)，函數圖像大致是先減後增再減。
由於\(f(x)\)在\([0, 3]\)上\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得最大值，所以函數圖像在\([0, 2]\)上不是單調遞增的，在\([0, 3]\)上也不是單調遞減的，所以\(a\lt0\)。
圖像大致為：在\([0, 2]\)上先上升後下降（形成一個局部極大值點在\(x = 0\)和\(x = 2\)處），在\([2, 3]\)上繼續下降。在圖像上標注出\((0, 12)\)和\((2, 12)\)兩個點。報錯
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105指考數學甲試題-2)

設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相相對）極值。試求方程式\(f(x)-12=0\)的實數解（如有重根須標示），並利用\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，求\(a\)之值。(5分)

[非選擇題]

答案

因為\(f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)上最大值\(12\)在\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得，所以\(f(x)-12 = 0\)的實數解為\(x = 0\)（重根）和\(x = 2\)（重根），即\(f(x)-12=a(x - 0)^2(x - 2)^2=ax^2(x - 2)^2\)。
因為\(G(x)\)滿足\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)，所以\(G^\prime(x)=f(x)\)。
又因為\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，所以\(G^\prime(1)=f(1)=0\)。
將\(x = 1\)代入\(f(x)=ax^2(x - 2)^2\)，得\(a\times1^2\times(1 - 2)^2=0\)，即\(a = - 12\)。報錯
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105指考數學甲試題-3)

設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相對）極值。在\(0\leq x\leq2\)的範圍中，求\(G(x)\)之最小值。(6分)

[非選擇題]

答案

由(2)可知\(f(x)=-12x^{2}(x - 2)^{2}=-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2}\)。
因為\(G(x)=\int f(x)dx\)，所以\(G(x)=\int(-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2})dx=- \frac{12}{5}x^{5}+12x^{4}-16x^{3}+C\)。
又\(G(0)=0\)，代入可得\(C = 0\)，即\(G(x)=-\frac{12}{5}x^{5}+12x^{4}-16x^{3}\) 。
對\(G(x)\)求導得\(G^\prime(x)=-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2}=-12x^{2}(x^{2}-4x + 4)=-12x^{2}(x - 2)^{2}\)。
在區間\([0,2]\)上分析\(G^\prime(x)\)的符號：
令\(G^\prime(x)=0\)，可得\(x = 0\)或\(x = 2\)。
當\(0\lt x\lt2\)時，\(G^\prime(x)\leq0\)，這表明\(G(x)\)在\((0,2)\)上單調遞減。
所以在\(0\leq x\leq2\)的範圍內，\(G(x)\)在\(x = 2\)處取得最小值。
將\(x = 2\)代入\(G(x)\)得：
\(G(2)=-\frac{12}{5}\times2^{5}+12\times2^{4}-16\times2^{3}\)
\(=-\frac{384}{5}+192 - 128\)
\(=-\frac{384}{5}+64\)
\(=-\frac{384}{5}+\frac{320}{5}\)
\(=-\frac{64}{5}\)。
故\(G(x)\)在\(0\leq x\leq2\)的範圍內的最小值為\(-\frac{64}{5}\)。報錯
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