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多項式

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107學測數學考科-09

已知多項式 \( f(x) \) 除以 \( x^2 – 1 \) 之餘式為 \( 2x + 1 \)，試選出正確的選項：
(1) \( f(0) = 1 \)
(2) \( f(1) = 3 \)
(3) \( f(x) \) 可能為一次式
(4) \( f(x) \) 可能為 \( 4x^4 + 2x^2 – 3 \)
(5) \( f(x) \) 可能為 \( 4x^4 + 2x^3 – 3 \)。

[多選題]
答案

設 \( f(x) = (x^2-1)Q(x) + (2x+1) \)。
(1) \( f(0) = -Q(0)+1 \) 不一定為1。
(2) \( f(1) = 0 + 3 = 3 \) ✓。
(3) 若 \( Q(x)=0 \)，則 \( f(x)=2x+1 \) 為一次式 ✓。
(4) 計算 \( (4x^4+2x^2-3) - (2x+1) = 4x^4+2x^2-2x-4 \)，除以 \( x^2-1 \) 不整除 ✗。
(5) 計算 \( (4x^4+2x^3-3) - (2x+1) = 4x^4+2x^3-2x-4 \)，可被 \( x^2-1 \) 整除 ✓。
故選(2)(3)(5)。答案：(2)(3)(5)

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110學測數學考科_05

設 \( f(x) \) 為實係數三次多項式函數，滿足 \((x+1)f(x)\) 除以 \( x^3+2 \) 的餘式為 \( x+2 \)。若 \( f(0)=4 \)，則 \( f(2) \) 的值為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 10
(3) 15
(4) 18
(5) 20

[單選題]
答案

由除法原理：\((x+1)f(x) = (x^3+2)(ax+b) + (x+2)\)。令 \( x=0 \) 得 \( f(0) = 2b+2 = 4 \)，故 \( b=1 \)。令 \( x=-1 \) 得 \( 0 = ((-1)^3+2)(-a+b) + 1 = (1)(-a+1)+1 = -a+2 \)，故 \( a=2 \)。代入得 \((x+1)f(x) = (x^3+2)(2x+1) + (x+2)\)，令 \( x=2 \) 得 \( 3f(2) = (10)(5) + 4 = 54 \)，故 \( f(2)=18 \)。(4)

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111學測數學A考科-10

給定一實係數三次多項式函數 \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 3 \)。令 \( g(x) = f(-x) – 3 \)，已知 \( y = g(x) \) 圖形的對稱中心為 \( (1, 0) \) 且 \( g(-1) \lt 0 \)。試選出正確的選項。
(1) \( g(x) = 0 \) 有三相異整數根
(2) \( a \lt 0 \)
(3) \( y = f(x) \) 圖形的對稱中心為 \( (-1, -3) \)
(4) \( f(100) \lt 0 \)
(5) \( y = f(x) \) 的圖形在點 \( (-1, f(-1)) \) 附近會近似於一條斜率為 \( a \) 的直線

[多選題]
答案

(1)○：對稱中心 \( (1,0) \) 且過 \( (0,0) \)，得根 \( 0,1,2 \)
(2)○：\( g(-1)=6a \lt 0 \Rightarrow a \lt 0 \)
(3)×：對稱中心為 \( (-1,3) \)
(4)×：無法確定 \( f(100) \) 正負
(5)×：近似直線斜率為 \( -a \)
故選(1)(2)

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110指考數學乙試題-02

已知實係數二次多項式函數 \( f(x) \) 滿足 \( f(-1)=k \)，\( f(1)=9k \)，\( f(3)=-15k \)，其中 \( k\gt0 \)。
設函數 \( y=f(x) \) 圖形頂點的x坐標為 \( a \)，試選出正確的選項。
(1) \( a\leq -1 \)
(2) \(-1\lt a\lt 1\)
(3) \( a=1 \)
(4) \( 1\lt a\lt 3 \)
(5) \( 3\leq a \)

[單選題]
答案

設 \( f(x)=px^2+qx+r \)，代入三點得聯立方程。由 \( f(-1)=p-q+r=k \)，\( f(1)=p+q+r=9k \)，\( f(3)=9p+3q+r=-15k \)。解得 \( p=-4k \)，\( q=4k \)，\( r=9k \)。頂點x坐標 \( a=-\frac{q}{2p}=-\frac{4k}{2(-4k)}=\frac{1}{2} \)。故 \( -1

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109指考數學乙試題-04

設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式函數且 \( f(x)=0 \) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \( f(0) \gt 0 \)
(2) \( f(1)f(2) \gt 0 \)
(3) 若 \( f(x)-1=0 \) 有實根，則 \( f(x)-2=0 \) 有實根
(4) 若 \( f(x)-1=0 \) 有重根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 沒有實根
(5) 若 \( f(x)-1=0 \) 有兩相異實根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 有實根

[多選題]
答案

針對函數\( y = f(x) \)的性質與方程實根分析如下：
### (1)×
\( f(x) \)可能是開口向上的二次函數（此時\( f(0) \)可正），也可能是開口向下的二次函數（此時\( f(0) \)可負），因此\( f(0) \)不一定大於0。

### (2)○
二次函數在全定義域內的函數值符號恆定（開口向上則恆非負，開口向下則恆非正），故\( f(1) \)與\( f(2) \)必同號，因此\( f(1)f(2) > 0 \)。

### (3)○
- 方程\( f(x) - 2 = 0 \)等價於\( f(x) = 2 \)；
- 二次函數的值域為「開口向上時，≥頂點縱坐標；開口向下時，≤頂點縱坐標」。若2屬於\( f(x) \)的值域且不等於頂點縱坐標，則方程有2個實根。

### (4)○
若\( \frac{1}{2} \)不屬於\( f(x) \)的值域（例如開口向上的二次函數，頂點縱坐標大於\( \frac{1}{2} \)），則\( f(x) = \frac{1}{2} \)無解，即\( f(x) - \frac{1}{2} = 0 \)沒有實根。

### (5)×
\( f(x) - \frac{1}{2} = 0 \)的實根個數取決於\( \frac{1}{2} \)與\( f(x) \)值域的關係：
- 若\( \frac{1}{2} \)不在值域內：0個實根；
- 若\( \frac{1}{2} \)等於頂點縱坐標：1個實根；
- 若\( \frac{1}{2} \)在值域內且不等於頂點縱坐標：2個實根。
因此實根個數不固定。

故選(2)(3)(4)。

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105指考數學甲試題-非選擇二(1)

設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相對）極值。試描繪\(y = f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)的範圍中可能的圖形，在圖上標示\((0,f(0))\)、\((2,f(2))\)，並由此說明\(a\)為正或負。(4分)

[非選擇題]
答案

因為\(f(x)\)是三次實系數多項式，且在\(0\leq x\leq3\)上，\(f(0)=f(2)=12\)為最大值。
三次函數的圖像是一條曲線，若\(a\gt0\)，函數圖像大致是先增後減再增；若\(a\lt0\)，函數圖像大致是先減後增再減。
由於\(f(x)\)在\([0, 3]\)上\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得最大值，所以函數圖像在\([0, 2]\)上不是單調遞增的，在\([0, 3]\)上也不是單調遞減的，所以\(a\lt0\)。
圖像大致為：在\([0, 2]\)上先上升後下降（形成一個局部極大值點在\(x = 0\)和\(x = 2\)處），在\([2, 3]\)上繼續下降 。在圖像上標注出\((0, 12)\)和\((2, 12)\)兩個點 。

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105指考數學甲試題-非選擇二(2)

設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相相對）極值。試求方程式\(f(x)-12=0\)的實數解（如有重根須標示），並利用\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，求\(a\)之值。(5分)

[非選擇題]
答案

因為\(f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)上最大值\(12\)在\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得，所以\(f(x)-12 = 0\)的實數解為\(x = 0\)（重根）和\(x = 2\)（重根），即\(f(x)-12=a(x - 0)^2(x - 2)^2=ax^2(x - 2)^2\)。
因為\(G(x)\)滿足\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)，所以\(G^\prime(x)=f(x)\)。
又因為\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，所以\(G^\prime(1)=f(1)=0\)。
將\(x = 1\)代入\(f(x)=ax^2(x - 2)^2\)，得\(a\times1^2\times(1 - 2)^2=0\)，即\(a = - 12\)。

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105指考數學甲試題-非選擇二(3)

設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相對）極值。在\(0\leq x\leq2\)的範圍中，求\(G(x)\)之最小值。(6分)

[非選擇題]
答案

承前，由 \( G(0)=0 \) 得 \( c=0 \)，故 \( G(x) = -3x^4 + 16x^3 - 24x^2 + 12x \)（\( 0 \leq x \leq 2 \)）。

求導：
\[
G'(x) = -12x^3 + 48x^2 - 48x + 12 = -12(x^3 - 4x^2 + 4x - 1)
\]
令 \( G'(x)=0 \)，因式分解得 \( (x-1)(x^2-3x+1)=0 \)，解得 \( x=1 \) 或 \( x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \)（後兩者不在區間 \( [0,2] \) 內，舍去）。

分析單調性：
- \( x \in [0,1) \) 時，\( G'(x) > 0 \)，\( G(x) \) 遞增；
- \( x \in (1,2] \) 時，\( G'(x) > 0 \)，\( G(x) \) 遞增。

計算端點與臨界點值：
\[
G(0)=0,\ G(1)=1
\]

故 \( G(x) \) 的最小值為 \( \boxed{0} \)。

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