定積分
105指考數學甲試題-1)
設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相對）極值。試描繪\(y = f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)的範圍中可能的圖形，在圖上標示\((0,f(0))\)、\((2,f(2))\)，並由此說明\(a\)為正或負。(4分)
答案
因為\(f(x)\)是三次實系數多項式，且在\(0\leq x\leq3\)上，\(f(0)=f(2)=12\)為最大值。
三次函數的圖像是一條曲線，若\(a\gt0\)，函數圖像大致是先增後減再增；若\(a\lt0\)，函數圖像大致是先減後增再減。
由於\(f(x)\)在\([0, 3]\)上\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得最大值，所以函數圖像在\([0, 2]\)上不是單調遞增的，在\([0, 3]\)上也不是單調遞減的，所以\(a\lt0\)。
圖像大致為：在\([0, 2]\)上先上升後下降（形成一個局部極大值點在\(x = 0\)和\(x = 2\)處），在\([2, 3]\)上繼續下降 。在圖像上標注出\((0, 12)\)和\((2, 12)\)兩個點 。 報錯
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105指考數學甲試題-2)
設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相相對）極值。試求方程式\(f(x)-12=0\)的實數解（如有重根須標示），並利用\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，求\(a\)之值。(5分)
答案
因為\(f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)上最大值\(12\)在\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得，所以\(f(x)-12 = 0\)的實數解為\(x = 0\)（重根）和\(x = 2\)（重根），即\(f(x)-12=a(x - 0)^2(x - 2)^2=ax^2(x - 2)^2\)。
因為\(G(x)\)滿足\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)，所以\(G^\prime(x)=f(x)\)。
又因為\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，所以\(G^\prime(1)=f(1)=0\)。
將\(x = 1\)代入\(f(x)=ax^2(x - 2)^2\)，得\(a\times1^2\times(1 - 2)^2=0\)，即\(a = - 12\)。 報錯
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106指考數學甲試題-04
已知一實係數三次多項式\(f(x)\)在\(x = 1\)有極大值\(3\)，且圖形\(y = f(x)\)在\((4,f(4))\)之切線方程式為\(y – f(4)+5(x – 4)=0\)，試問\(\int_{1}^{4}f^{\prime\prime}(x)dx\)之值為下列哪一選項？
(1) – 5
(2) – 3
(3)0
(4)3
(5)5
答案
根據定積分基本定理\(\int_{a}^{b}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\)。
已知\(f(x)\)在\(x = 1\)有極大值，則\(f^{\prime}(1)=0\)。
又因為圖形\(y = f(x)\)在\((4,f(4))\)之切線方程式為\(y - f(4)+5(x - 4)=0\)，其斜率為\(-5\)，所以\(f^{\prime}(4)= - 5\)。
則\(\int_{1}^{4}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(4)-f^{\prime}(1)= - 5 - 0=-5\)。
答案為(1)。 報錯
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107指考數學甲試題-04
設\(f(x)=-x^{2}+499\)，且\(A=\int_{0}^{10}f(x)dx\)，\(B=\sum_{n = 0}^{9}f(n)\)，\(C=\sum_{n = 1}^{10}f(n)\)，\(D=\sum_{n = 0}^{9}\frac{f(n)+f(n + 1)}{2}\)。試選出正確的選項。
(1)\(A\)表示在坐標平面上函數\(y=-x^{2}+499\)的圖形與直線\(y = 0\)、\(x = 0\)、\(x = 10\)所圍成的有界區域的面積
(2)\(B\lt C\)
(3)\(B\lt A\)
(4)\(C\lt D\)
(5)\(A\lt D\)
答案
(1) 由定積分的幾何意義可知，\(A=\int_{0}^{10}(-x^{2}+499)dx\)表示函數\(y=-x^{2}+499\)的圖形與直線\(y = 0\)、\(x = 0\)、\(x = 10\)所圍成的有界區域的面積，(1)正確。
(2)\(B=\sum_{n = 0}^{9}(-n^{2}+499)=10\times499-\sum_{n = 0}^{9}n^{2}\)，\(C=\sum_{n = 1}^{10}(-n^{2}+499)=10\times499-\sum_{n = 1}^{10}n^{2}\)。
因為\(\sum_{n = 0}^{9}n^{2}\lt\sum_{n = 1}^{10}n^{2}\)，所以\(B\gt C\)，(2)錯誤。
(3) 由定積分的定義，\(A=\int_{0}^{10}(-x^{2}+499)dx\)，用矩形法估算定積分，\(B\)是用左端点函数值计算的黎曼和，\(A\)的精確值大於\(B\)，即\(B\lt A\)，(3)正確。
(4)\(D - C=\sum_{n = 0}^{9}\frac{f(n)+f(n + 1)}{2}-\sum_{n = 1}^{10}f(n)=\frac{f(0)+f(1)}{2}+\frac{f(1)+f(2)}{2}+\cdots+\frac{f(9)+f(10)}{2}-(f(1)+f(2)+\cdots+f(10))=\frac{f(0)-f(10)}{2}\)。
\(f(0)=499\)，\(f(10)=-100 + 499 = 399\)，\(\frac{f(0)-f(10)}{2}=\frac{499 - 399}{2}=50\gt0\)，所以\(C\lt D\)，(4)正確。
(5)\(D - A=\sum_{n = 0}^{9}\frac{f(n)+f(n + 1)}{2}-\int_{0}^{10}f(x)dx\)，由積分中值定理等可知\(D\gt A\)，(5)正確。
答案為(1)(3)(4)(5)。 報錯
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108指考數學甲試題-1)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f(1)\) 。(2分)
答案
108指考數學甲試題-4)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試證明恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。(4分)
答案
由(3)知\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x - 1\)，則\(\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx\)。
\(\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x)\big|_{0}^{a}=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a\)。
令\(g(a)=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a - 1\)（\(a>1\)）。
對\(g(a)\)求導得\(g'(a)=4a^{3}-3a^{2}+2a - 1\)。
當\(a>1\)時，\(4a^{3}-3a^{2}+2a - 1=a^{2}(4a - 3)+2a - 1>0\)，所以\(g(a)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞增。
又\(g(1)=1^{4}-1^{3}+1^{2}-1 - 1=-1<0\) ，\(\lim_{a\rightarrow+\infty}g(a)=+\infty\)。
根據零點存在定理，在單調遞增函數中，當函數在某區間兩端點函數值異號時，函數在該區間內有且只有一個零點。
所以恰有一個大於1的正實數\(a\)，使得\(g(a)=0\)，即恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。 報錯
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109指考數學甲(補考)試題-07
關於非常數的實係數多項式函數\(f(x)\)，試選出正確的選項。
(1)若\(f(1)f(2)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(f(c)=0\)
(2)若\(f(1)f(2)>0\)，則對任意的\(c \in(1,2)\)，\(f(c) ≠0\)均成立
(3)若\(f(1)f(2)f(3)<0\)，則存在\(c \in(1,3)\)满足\(f(c)=0\)
(4)若\((\int_{0}^{1} f(x)dx)(\int_{0}^{2} f(x)dx)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(\int_{0}^{c} f(x)dx=0\)
(5)若\(\int_{1}^{2} f(x)dx=0\)，則\(f(1)f(2)<0\)
答案
(1)根據零點存在定理，若\(f(x)\)在\([1,2]\)上連續，且\(f(1)f(2)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)使得\(f(c)=0\)，因為\(f(x)\)是實係數多項式函數，在\(R\)上連續，所以(1)正確。
(2)若\(f(1)f(2)>0\)，只能說明\(f(1)\)與\(f(2)\)同號，但不能排除在\((1,2)\)內存在零點的可能，比如\(f(x)=(x - 1.5)^2\)，\(f(1)f(2)>0\)，但\(x = 1.5\)是零點，(2)錯誤。
(3)若\(f(1)f(2)f(3)<0\)，假設\(f(1)<0,f(2)>0,f(3)<0\)，根據零點存在定理，在\((1,2)\)和\((2,3)\)內都可能存在零點，即存在\(c \in(1,3)\)满足\(f(c)=0\)，(3)正確。
(4)令\(F(x)=\int_{0}^{x} f(t)dt\)，\(F(x)\)是可導函數且\(F'(x)=f(x)\)。若\((\int_{0}^{1} f(x)dx)(\int_{0}^{2} f(x)dx)<0\)，即\(F(1)F(2)<0\)，由零點存在定理可知存在\(c \in(1,2)\)使得\(F(c)=\int_{0}^{c} f(x)dx=0\)，(4)正確。
(5)若\(\int_{1}^{2} f(x)dx=0\)，只能說明\(f(x)\)在\([1,2]\)上與\(x\)軸圍成的面積代數和為0，但不能得出\(f(1)f(2)<0\)，比如\(f(x)=(x - 1.5)\)，\(\int_{1}^{2} f(x)dx = 0\)，但\(f(1)f(2)>0\)，(5)錯誤。答案為(1)(3)(4)。 報錯
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109指考數學甲試題-4)
坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，求定積分\(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx\) 。(4分)
答案
110指考數學甲試題-2)
坐標平面上，以\(\Gamma\)表示多項式函數\(y=x^{3}-4x^{2}+5x\)的圖形，且以\(L\)表示直線\(y = mx\)，其中\(m\)為實數。承(1)，試求\(\Gamma\)與\(L\)所圍有界區域面積的值。(4分)
答案
由(1)知交點\(x\)坐標為\(0\)，\(1\)，\(3\)。
\(\Gamma\)與\(L\)所圍有界區域面積\(S=\int_{0}^{1}[(x^{3}-4x^{2}+5x)-2x]dx+\int_{1}^{3}[2x-(x^{3}-4x^{2}+5x)]dx\) 。
先計算\(\int_{0}^{1}(x^{3}-4x^{2}+3x)dx=\left[\frac{1}{4}x^{4}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{3 - 16 + 18}{12}=\frac{5}{12}\) 。
再計算\(\int_{1}^{3}(-x^{3}+4x^{2}-3x)dx=\left[-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{4}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}\right]_{1}^{3}=(-\frac{81}{4}+36-\frac{27}{2})-(-\frac{1}{4}+\frac{4}{3}-\frac{3}{2})\)
\(=(-\frac{81 + 144 - 54}{4})-(-\frac{3 + 16 - 18}{12})=\frac{9}{4}+\frac{5}{12}=\frac{27 + 5}{12}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}\) 。
所以\(S=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}=\frac{5 + 32}{12}=\frac{37}{12}\) 。 報錯
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