[13-15為題組]承14題，試求\(\int_{-3}^{1}f'(x)dx\) 的值。
[非選擇]
答案
定積分
105指考數學甲試題-非選擇二(1)
設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相對）極值。試描繪\(y = f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)的範圍中可能的圖形，在圖上標示\((0,f(0))\)、\((2,f(2))\)，並由此說明\(a\)為正或負。(4分)
[非選擇題]
答案
因為\(f(x)\)是三次實系數多項式，且在\(0\leq x\leq3\)上，\(f(0)=f(2)=12\)為最大值。
三次函數的圖像是一條曲線，若\(a\gt0\)，函數圖像大致是先增後減再增；若\(a\lt0\)，函數圖像大致是先減後增再減。
由於\(f(x)\)在\([0, 3]\)上\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得最大值，所以函數圖像在\([0, 2]\)上不是單調遞增的，在\([0, 3]\)上也不是單調遞減的，所以\(a\lt0\)。
圖像大致為：在\([0, 2]\)上先上升後下降（形成一個局部極大值點在\(x = 0\)和\(x = 2\)處），在\([2, 3]\)上繼續下降 。在圖像上標注出\((0, 12)\)和\((2, 12)\)兩個點 。
105指考數學甲試題-非選擇二(2)
設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相相對）極值。試求方程式\(f(x)-12=0\)的實數解（如有重根須標示），並利用\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，求\(a\)之值。(5分)
[非選擇題]
答案
因為\(f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)上最大值\(12\)在\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得，所以\(f(x)-12 = 0\)的實數解為\(x = 0\)（重根）和\(x = 2\)（重根），即\(f(x)-12=a(x - 0)^2(x - 2)^2=ax^2(x - 2)^2\)。
因為\(G(x)\)滿足\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)，所以\(G^\prime(x)=f(x)\)。
又因為\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，所以\(G^\prime(1)=f(1)=0\)。
將\(x = 1\)代入\(f(x)=ax^2(x - 2)^2\)，得\(a\times1^2\times(1 - 2)^2=0\)，即\(a = - 12\)。
106指考數學甲試題-04
已知一實係數三次多項式\(f(x)\)在\(x = 1\)有極大值\(3\)，且圖形\(y = f(x)\)在\((4,f(4))\)之切線方程式為\(y – f(4)+5(x – 4)=0\)，試問\(\int_{1}^{4}f^{\prime\prime}(x)dx\)之值為下列哪一選項？
(1) – 5
(2) – 3
(3)0
(4)3
(5)5
答案
根據定積分基本定理\(\int_{a}^{b}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\)。
已知\(f(x)\)在\(x = 1\)有極大值，則\(f^{\prime}(1)=0\)。
又因為圖形\(y = f(x)\)在\((4,f(4))\)之切線方程式為\(y - f(4)+5(x - 4)=0\)，其斜率為\(-5\)，所以\(f^{\prime}(4)= - 5\)。
則\(\int_{1}^{4}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(4)-f^{\prime}(1)= - 5 - 0=-5\)。
答案為(1)。
107指考數學甲試題-04
設\(f(x)=-x^{2}+499\)，且\(A=\int_{0}^{10}f(x)dx\)，\(B=\sum\limits_{n = 0}^{9}f(n)\)，\(C=\sum\limits_{n = 1}^{10}f(n)\)，\(D=\sum\limits_{n = 0}^{9}\frac{f(n)+f(n + 1)}{2}\)。試選出正確的選項。
(1)\(A\)表示在坐標平面上函數\(y=-x^{2}+499\)的圖形與直線\(y = 0\)、\(x = 0\)、\(x = 10\)所圍成的有界區域的面積
(2)\(B\lt C\)
(3)\(B\lt A\)
(4)\(C\lt D\)
(5)\(A\lt D\)
答案
(1) ○：\( A = \int_{0}^{10} f(x)dx \)，代表曲線 \( y=f(x) \) 與直線 \( x=0、x=10、y=0 \) 所圍區域的面積。
(2) ×：
\[
B = \sum_{n=0}^{9} f(n) = f(0)+f(1)+\dots+f(9) = 499 \times 10 - (1^2+2^2+\dots+9^2) = 4705
\]
\[
C = \sum_{n=1}^{10} f(n) = f(1)+f(2)+\dots+f(10) = 499 \times 10 - (1^2+2^2+\dots+10^2) = 4605
\]
故 \( B > C \)。
(3) ×：計算積分 \( A \)：
\[
A = \int_{0}^{10} (-x^2 + 499)dx = \left. \left(-\frac{1}{3}x^3 + 499x\right) \right|_{0}^{10} = 4990 - \frac{1000}{3} = \frac{13970}{3} \approx 4656.67 < B
\]
(4) ○：定義梯形和 \( D \)：
\[
D = \sum_{n=0}^{9} \frac{f(n)+f(n+1)}{2} = \frac{1}{2}\left[ f(0)+2f(1)+2f(2)+\dots+2f(9)+f(10) \right]
\]
化簡得：
\[
D = \frac{1}{2}\left[ f(0)+f(10) + 2\sum_{n=1}^{9} f(n) \right]
\]
因此：
\[
D < f(0) + \sum_{n=1}^{9} f(n) = \sum_{n=0}^{9} f(n) = B
\]
且
\[
D > \sum_{n=1}^{9} f(n) + f(10) = \sum_{n=1}^{10} f(n) = C
\]
(5) ×：計算 \( D \) 的值：
\[
D = \frac{1}{2}\left[ f(0)+f(10) + \sum_{n=1}^{9} f(n) \right] = \frac{1}{2} \times 399 + 4705 - \frac{1}{2} \times 499 = 4655 < A
\]
故選 \( \boxed{(1)(4)} \)。
108指考數學甲試題-非選擇二(1)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f(1)\) 。(2分)
[非選擇題]
答案
108指考數學甲試題-非選擇二(4)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試證明恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。(4分)
[非選擇題]
答案
由(3)知\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x - 1\)，則\(\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx\)。
\(\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x)\big|_{0}^{a}=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a\)。
令\(g(a)=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a - 1\)（\(a>1\)）。
對\(g(a)\)求導得\(g'(a)=4a^{3}-3a^{2}+2a - 1\)。
當\(a>1\)時，\(4a^{3}-3a^{2}+2a - 1=a^{2}(4a - 3)+2a - 1>0\)，所以\(g(a)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞增。
又\(g(1)=1^{4}-1^{3}+1^{2}-1 - 1=-1<0\) ，\(\lim_{a\rightarrow+\infty}g(a)=+\infty\)。
根據零點存在定理，在單調遞增函數中，當函數在某區間兩端點函數值異號時，函數在該區間內有且只有一個零點。
所以恰有一個大於1的正實數\(a\)，使得\(g(a)=0\)，即恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。
109指考數學甲(補考)試題-07
關於非常數的實係數多項式函數\(f(x)\)，試選出正確的選項。
(1)若\(f(1)f(2)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(f(c)=0\)
(2)若\(f(1)f(2)>0\)，則對任意的\(c \in(1,2)\)，\(f(c) ≠0\)均成立
(3)若\(f(1)f(2)f(3)<0\)，則存在\(c \in(1,3)\)满足\(f(c)=0\)
(4)若\((\int_{0}^{1} f(x)dx)(\int_{0}^{2} f(x)dx)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(\int_{0}^{c} f(x)dx=0\)
(5)若\(\int_{1}^{2} f(x)dx=0\)，則\(f(1)f(2)<0\)
111分科數學甲試題-14
有一積木，其中\(ACFD\)和\(ABED\)是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\)是一個矩形。設\(A\)點在直線\(BC\)的投影為\(M\)且在平面\(BCFE\)的投影為\(P\)。已知\(\overline{AD}=30\) ，\(\overline{CF}=40\) ，\(\overline{AP}=15\)且\(\overline{BC}=10\) 。將線段\(\overline{AP}\)的\(n\)等分點沿著向量\(\overrightarrow{AP}\)的方向依序設為\(A = P_{0},P_{1},\cdots,P_{n – 1},P_{n}=P\) 。在每一個分段\(\overline{P_{k – 1}P_{k}}\) ，考慮以通過\(P_{k}\)的水平面與此積木所截的矩形為底、\(\overline{P_{k – 1}P_{k}}\)為高，所形成的長方體。請利用此切片方法寫下估計此積木體積的黎曼和(不需化簡)，且以定積分形式表示此積木的體積並求其值。
[非選擇]
答案
黎曼和：\(\sum_{k = 1}^{n}(20\frac{15(k - 1)}{n}+\frac{4}{9}(\frac{15(k - 1)}{n})^{2})\frac{15}{n}\)。定積分形式：\(V=\int_{0}^{15}(20x+\frac{4}{9}x^{2})dx\) 。計算定積分：\(\int_{0}^{15}(20x+\frac{4}{9}x^{2})dx=(10x^{2}+\frac{4}{27}x^{3})\big|_{0}^{15}=10\times15^{2}+\frac{4}{27}\times15^{3}=2250 + 500 = 2750\) ，所以積木體積為\(2750\) 。