定積分求導法則

設首項 \(a_1\)，公差 \(d\)。
\( a_2+a_4+a_6 = (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d) = 3a_1+9d = 186 \) ⇒ \( a_1+3d=62 \)。
\( a_3+a_7 = (a_1+2d)+(a_1+6d) = 2a_1+8d = 110 \) ⇒ \( a_1+4d=55 \)。
解聯立：相減得 \( d = -7 \)，代入得 \( a_1 = 55-4(-7)=55+28=83 \)。
\( s_n = \frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) = \frac{n}{2}(166 + (n-1)(-7)) = \frac{n}{2}(173 - 7n) \)。
\( \frac{s_n}{n^2} = \frac{173 - 7n}{2n} \)，當 \( n \to \infty \) 時趨近於 \( -\frac{7}{2} \)。
答案為 \( -\frac{7}{2} \)。 報錯
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計算：\( a_2 = \frac{3}{1} \times 1 = 3 \)，\( a_3 = \frac{5}{3} \times 3 = 5 \)，\( a_4 = \frac{7}{5} \times 5 = 7 \)，\( a_5 = \frac{9}{7} \times 7 = 9 \)
(1) 正確，\( a_2=3 \)
(2) 錯誤，\( a_4=7 \)
(3) 錯誤，公比非常數
(4) \( a_n = 2n-1 \)，求和 \( \sum_{n=1}^{20} (2n-1) = 2\sum n - 20 = 2\times\frac{20\times21}{2}-20=420-20=400 \)，正確
(5) \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = 2 \)，正確
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1. 體積 \(V=\pi\int_{-1}^{1}[f(x)]^2dx=\pi\int_{-1}^{1}[9a^2x^4+6a(1-a)x^2+(1-a)^2]dx\)；
2. 計算得 \(V=\pi\left(\frac{18}{5}a^2+\frac{4}{3}a(1-a)+2(1-a)^2\right)\)，與 \(a\) 有關；
3. 化簡為二次函數，求 \(a\in[-\frac{1}{2},1]\) 最值，得 \(a=-\frac{1}{2}\) 時 \(V\) 最大，值為 \(\frac{49\pi}{15}\)。答案：不相等，\(a=-\frac{1}{2}\) 時最大值 \(\frac{49\pi}{15}\)","否 報錯
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非選擇題評分原則

第\(n\)秒時，動點\(A\)移動的距離是首項\(a_{1}=1\)，公比\(q_{1}=\frac{1}{2}\)的等比數列的前\(n\)項和\(S_{A}=\sum_{k = 1}^{n}1\times(\frac{1}{2})^{k - 1}=2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}\)；動點\(B\)移動的距離是首項\(b_{1}=4\)，公比\(q_{2}=\frac{1}{3}\)的等比數列的前\(n\)項和\(S_{B}=\sum_{k = 1}^{n}4\times(\frac{1}{3})^{k - 1}=6 - 6\times(\frac{1}{3})^{n}\) 。
則第\(n\)秒時\(A\)的位置是\(2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}\)，\(B\)的位置是\(8 - (6 - 6\times(\frac{1}{3})^{n}) = 2 + 6\times(\frac{1}{3})^{n}\)。
\(c_{n}=\frac{(2 - (\frac{1}{2})^{n - 1})+(2 + 6\times(\frac{1}{3})^{n})}{2}=2-\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2})^{n - 1}+3\times(\frac{1}{3})^{n}=2-(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{3})^{n - 1}\)。
(1) \(c_{1}=2-\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}\)，(1)正確。
(2) \(c_{2}=2-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=2+\frac{1}{12}\)，\(c_{2}\gt c_{1}\)，(2)正確。
(3) \(c_{n + 1}-c_{n}=[2-(\frac{1}{2})^{n + 1}+(\frac{1}{3})^{n}]-[2-(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{3})^{n - 1}]=(\frac{1}{2})^{n}- \frac{2}{3}\times(\frac{1}{3})^{n - 1}\)，\(\frac{c_{n + 2}-c_{n + 1}}{c_{n + 1}-c_{n}}\)不是常數，所以數列\(\{ c_{n + 1}-c_{n}\}\)不是等比數列，(3)錯誤。
(4) \(\lim\limits_{n \to \infty}c_{n}=\lim\limits_{n \to \infty}[2-(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{3})^{n - 1}]=2\)，(4)正確。
(5) 因為\(\lim\limits_{n \to \infty}c_{n}=2\)，且\(c_{n}=2-(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{3})^{n - 1}\)，\(n = 1000\)時，\((\frac{1}{2})^{1000}\gt0\)，\((\frac{1}{3})^{999}\gt0\)，所以\(c_{1000}=2-(\frac{1}{2})^{1000}+(\frac{1}{3})^{999}\gt2\)，(5)正確。
答案為(1)(2)(4)(5)。 報錯
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由(2)可知\(f(x)=-12x^{2}(x - 2)^{2}=-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2}\)。
因為\(G(x)=\int f(x)dx\)，所以\(G(x)=\int(-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2})dx=- \frac{12}{5}x^{5}+12x^{4}-16x^{3}+C\)。
又\(G(0)=0\)，代入可得\(C = 0\)，即\(G(x)=-\frac{12}{5}x^{5}+12x^{4}-16x^{3}\) 。
對\(G(x)\)求導得\(G^\prime(x)=-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2}=-12x^{2}(x^{2}-4x + 4)=-12x^{2}(x - 2)^{2}\)。
在區間\([0,2]\)上分析\(G^\prime(x)\)的符號：
令\(G^\prime(x)=0\)，可得\(x = 0\)或\(x = 2\)。
當\(0\lt x\lt2\)時，\(G^\prime(x)\leq0\)，這表明\(G(x)\)在\((0,2)\)上單調遞減。
所以在\(0\leq x\leq2\)的範圍內，\(G(x)\)在\(x = 2\)處取得最小值。
將\(x = 2\)代入\(G(x)\)得：
\(G(2)=-\frac{12}{5}\times2^{5}+12\times2^{4}-16\times2^{3}\)
\(=-\frac{384}{5}+192 - 128\)
\(=-\frac{384}{5}+64\)
\(=-\frac{384}{5}+\frac{320}{5}\)
\(=-\frac{64}{5}\)。
故\(G(x)\)在\(0\leq x\leq2\)的範圍內的最小值為\(-\frac{64}{5}\)。 報錯
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1. **求直線與坐標軸的交點**：
- 令\(x = 0\)，可得\(y = 3\)；令\(y = 0\)，可得\(x = 6n\)。所以直線\(y=\frac{-1}{2n}x + 3\)與\(x\)軸交於\((6n,0)\)，與\(y\)軸交於\((0,3)\) 。
2. **計算格子點數目\(a_n\)的近似值**：
- 當\(n\)很大時，\(T_n\)區域內格子點可近似看作梯形分布。
- 梯形上底為直線與\(y\)軸交點的\(y\)坐標值（即3），下底為直線與\(x\)軸交點的\(x\)坐標值（即\(6n\)），高為直線與\(y\)軸交點的\(y\)坐標值（即3）。
- 格子點數目\(a_n\)近似為梯形的“格點面積”（可看作以格點為單位的面積）。
- 直線\(y=\frac{-1}{2n}x + 3\)上的格子點，\(x\)從\(0\)到\(6n\)，\(y=\frac{-1}{2n}x + 3\)，\(y\)為整數時\(x\)也為整數，\(x = 0,2n,4n,6n\)時\(y\)是整數，加上\((0,3)\)，共4個。
- 根據梯形格點數目近似公式（可由梯形面積公式類推，考慮邊界格點），\(a_n\approx\frac{(3 + 3)}{2}×(3n + 1)\)（這裡\(3n + 1\)是考慮近似梯形的水平方向格點間隔，是一種估算方式）。
3. **計算極限**：
- 求\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(3 + 3)}{2}×(3n + 1)}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{3×(3n + 1)}{n}=\lim_{n \to \infty}(9+\frac{3}{n}) = 9\)。
答案：9 報錯
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由(2)知\(\triangle P_1P_2P_3\)的面積\(S=\frac{3}{25}a^{2}\)，而\(a=\vert\overrightarrow{OP_1}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，又\(y=\frac{1}{10}x^{2}-10\)。
所以\(a^{2}=x^{2}+(\frac{1}{10}x^{2}-10)^{2}=x^{2}+\frac{1}{100}x^{4}-2x^{2}+100=\frac{1}{100}x^{4}-x^{2}+100\)。
令\(t = x^{2}(t\geq0)\)，則\(a^{2}=\frac{1}{100}t^{2}-t + 100\)。
對於二次函數\(y=\frac{1}{100}t^{2}-t + 100\)，其對稱軸為\(t =-\frac{-1}{2\times\frac{1}{100}} = 50\)。
所以當\(t = 50\)時，\(a^{2}\)取得最小值，\(a^{2}_{min}=\frac{1}{100}\times50^{2}-50 + 100=\frac{2500}{100}-50 + 100 = 75\)。
則\(\triangle P_1P_2P_3\)面積的最小可能值為\(S_{min}=\frac{3}{25}\times75 = 9\)。 報錯
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由(1)知\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}=2h^{2}-1\)，\(\overrightarrow{OP_0}\)和\(\overrightarrow{OP_4}\)夾角不超過\(90^{\circ}\)，則\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}\geq0\)，即\(2h^{2}-1\geq0\)，解得\(h\geq\frac{\sqrt{2}}{2}\)（因為\(0≤h≤1\)，所以取\(h\)的取值範圍\(\frac{\sqrt{2}}{2}≤h≤1\)）。
由(2)知\(V(h)=\frac{2\sqrt{2}}{3}(h - h^{3})\)，對\(V(h)\)求導，\(V^\prime(h)=\frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^{2})\)。
令\(V^\prime(h)=0\)，即\(\frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^{2}) = 0\)，解得\(h=\frac{\sqrt{3}}{3}\)或\(h = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)（舍去，因為\(h\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]\)）。
在\(h\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]\)上分析\(V^\prime(h)\)的符號：
當\(\frac{\sqrt{2}}{2}\leq h\lt\frac{\sqrt{3}}{3}\)時，\(V^\prime(h)>0\)，\(V(h)\)遞增；
當\(\frac{\sqrt{3}}{3}\lt h\leq1\)時，\(V^\prime(h)<0\)，\(V(h)\)遞減。 所以\(V(h)\)在\(h=\frac{\sqrt{2}}{2}\)或\(h = \frac{\sqrt{3}}{3}\)處取得最大值。 \(V(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4})=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{3}\)。 \(V(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3}-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{9})=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{4\sqrt{6}}{27}\)。 比較\(\frac{1}{3}\)和\(\frac{4\sqrt{6}}{27}\)的大小： \(\frac{1}{3}=\frac{9}{27}\)，\((\frac{9}{27})^2=\frac{81}{729}\)，\((\frac{4\sqrt{6}}{27})^2=\frac{96}{729}\)，所以\(\frac{4\sqrt{6}}{27}>\frac{1}{3}\)。
所以正八角錐體積\(V(h)\)的最大值為\(\frac{4\sqrt{6}}{27}\)。 報錯
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(1) 當\(x\gt0\)時，\(\frac{x}{\vert x\vert}=1\)；當\(x\lt0\)時，\(\frac{x}{\vert x\vert}=-1\)，但\((\frac{x}{\vert x\vert})^{2}\)在\(x\neq0\)時恆為\(1\)，所以\(\lim\limits_{x \to 0}(\frac{x}{\vert x\vert})^{2}=1\)，極限存在，(1)正確。
(2) 令\(g(x)=f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)，已知\(\lim\limits_{x \to 0}g(x)\)存在。而\(f(x)\frac{x}{\vert x\vert}=-f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)（\(x\lt0\)），\(f(x)\frac{x}{\vert x\vert}=f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)（\(x\gt0\)）。若\(\lim\limits_{x \to 0}g(x)=A\)，則\(\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}=\lim\limits_{x \to 0^{+}}g(x)=A\)，\(\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}=-\lim\limits_{x \to 0^{-}}g(x)= - A\)。只有當\(A = 0\)時，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}\)才存在，所以\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}\)不一定存在，(2)錯誤。
(3) \((f(x)+1)\frac{x}{\vert x\vert}=f(x)\frac{x}{\vert x\vert}+\frac{x}{\vert x\vert}\)。由(2)知\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}\)不一定存在，且\(\lim\limits_{x \to 0}\frac{x}{\vert x\vert}\)不存在，所以\(\lim\limits_{x \to 0}(f(x)+1)\frac{x}{\vert x\vert}\)不一定存在，(3)錯誤。
(4) 僅知道\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)存在，不能推出\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\)存在。例如\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{\vert x\vert}{x^{2}}\)不存在；若\(f(x)=\begin{cases}x, & x\gt0\\ - x, & x\lt0\end{cases}\)，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\vert x\vert = 0\)存在，但\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\)不存在，(4)錯誤。
(5) 同理，由\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)存在不能推出\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)^{2}\)存在。例如\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)不存在；若\(f(x)=\begin{cases}1, & x\gt0\\ - 1, & x\lt0\end{cases}\)，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}=0\)存在，但\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)^{2}=1\)存在，所以\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)^{2}\)不一定存在，(5)錯誤。
答案為(1)。 報錯
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(1) 雖然\(\lim\limits _{n \to \infty} a_{n}=4\)，但不能就此得出對所有正整數\(n\)，\(a_{n}\gt 3\)均成立。例如數列\(a_n\)可能在趨近於無窮時才接近4，前面的項可能小於3，(1)錯誤。
(2) 因為\(\lim\limits _{n \to \infty} a_{n}=4\)，且\(a_{n}\lt a_{n + 1}\)，所以必然存在正整數\(n\)，使得\(a_{n + 1}\gt 4\)，(2)正確。
(3) 僅由\(a_{n}\lt b_{n}^{2}\lt a_{n + 1}\)和\(\lim _{n \to \infty} a_{n}=4\)，不能得出對所有正整數\(n\)，\(b_{n}^{2}\lt b_{n + 1}^{2}\)均成立。比如\(b_n\)的取值可能不具有這樣的單調性，(3)錯誤。
(4) 由夾逼定理，\(\lim \limits_{n \to \infty} a_{n}=\lim\limits _{n \to \infty} a_{n + 1}=4\)，且\(a_{n}\lt b_{n}^{2}\lt a_{n + 1}\)，所以\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}^{2}=4\)，(4)正確。
(5) 雖然\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}^{2}=4\)，但\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}\)不一定存在，比如\(b_n\)可能在2和 - 2附近跳動，不一定趨向於某一個確定值，(5)錯誤。
答案為(2)(4)。 報錯
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