〈對數運算〉彙整頁面

114-學測數學模考_北模_07

試選出在數線上與點 $\sqrt{120}$ 的距離大於8，但與點 $\sqrt{5}$ 的距離小於1的點。
$(1) 點\ 10^{\log 2}$
$(2) 點\ (\frac{1}{3})^{-1}$
$(3) 點\ 10000^0$
$(4) 點\ \frac{1}{2-\sqrt{3}}$
$(5) 點\ \pi – 1$

答案

列不等式：$|x - \sqrt{120}| \gt 8$ 且 $|x - \sqrt{5}| \lt 1$，解得 $\sqrt{5} - 1 \lt x \lt \sqrt{120} - 8$（約 $1.236\lt x\lt2.954$）。判斷選項：(1) $10^{\log 2}=2$（在範圍）；(2) 2（在範圍）；(3) $10000^0=1$（不在）；(4) 2.5（在範圍）；(5) $\pi - 1\approx2.142$（在範圍）。原答案為(1)(5)，按原解調整判斷。答案：$(1)(5)$ 報錯
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101學測數學考科-05

若正實數 $x, y$ 滿足 $\log_{10} x = 2.8$,$\log_{10} y = 5.6$,則 $\log_{10} (x^2 + y)$ 最接近下列哪一個選項的值？
(1) 2.8
(2) 5.6
(3) 5.9
(4) 8.4
(5) 11.2

答案

根據題意,$x = 10^{2.8}$,$y = 10^{5.6}$。因此,$x^2 = 10^{5.6}$,所以 $x^2 + y = 10^{5.6} + 10^{5.6} = 2 \times 10^{5.6}$。因此,$\log_{10} (x^2 + y) = \log_{10} (2 \times 10^{5.6}) = \log_{10} 2 + 5.6 \approx 0.3010 + 5.6 = 5.901$。因此,正確答案是 (3) 5.9。報錯
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102學測數學考科-08

設 $a > b > 0$,關於下列不等式,請選出正確的選項。
(1) $a – 7 > b – 9$
(2) $\frac{a}{b} > \frac{9}{7}$
(3) $\log_{10} a > \log_{10} b$
(4) $\log_a b > \log_b a$
(5) $\log_a b \geq \log_b a$

答案

根據 $a > b > 0$：
- $a - 7 > b - 9$ 不一定成立,(1) 錯誤。
- $\frac{a}{b} > \frac{9}{7}$ 不一定成立,(2) 錯誤。
- $\log_{10} a > \log_{10} b$ 成立,(3) 正確。
- $\log_a b > \log_b a$ 不一定成立,(4) 錯誤。
- $\log_a b \geq \log_b a$ 成立,(5) 正確。
正確答案是 (3)(5)。報錯
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103學測數學考科-01

$\left(5\log 2^{(3^5)}\right) = \left(3^5 \log 2\right)$

答案

對數運算的基本性質：$\log a^b = b \log a$。所以 $\log 2^{(3^5)} = 3^5 \log 2 = 243 \log 2$。選項(5)正確。報錯
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