由4個正整數組成一組數據 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)，其平均數與中位數皆為2，則此組數據的標準差最大可能值為__________
答案
平均數與標準差的性質
107學測數學考科-08
某年學科能力測驗小華的成績為：國文11級分、英文12級分、數學9級分、自然9級分、社會12級分。他考慮申請一些校系，表1為大考中心公布的學測各科成績標準；表2是他最有興趣的五個校系規定的申請檢定標準，依規定申請者需通過該校系所有檢定標準才會被列入篩選。例如甲校系規定國文成績須達均標、英文須達前標、且社會須達均標；丙校系則規定英文成績須達均標、且數學或自然至少有一科達前標。表2空白者表示該校系對該科成績未規定檢定標準。
根據以上資訊，試問小華可以考慮申請哪些校系（會被列入篩選）？
(1)甲校系 (2)乙校系 (3)丙校系 (4)丁校系 (5)戊校系。
113學測數學A考科_09
某實驗室蒐集了大量的 \( A, B \)兩相似物種，記錄其身長為 \( x \)（單位：公分）與體重 \( y \)（單位：公克），得 \( A, B \)兩物種的平均身長分別為 \( x_A = 5.2, x_B = 6 \)，標準差分別為0.3, 0.1。令 \( A, B \)兩物種的平均體重分別為 \( y_A, y_B \)。若 \( A, B \)兩物種其體重 \( y \)對身長 \( x \)的迴歸直線分別為 \( L_A: y = 2x – 0.6, L_B: y = 1.5x + 0.4 \)，相關係數分別為0.6, 0.3。今發現一隻身長5.6公分，體重8.6公克的個體P，試選出正確的選項。
(1) \( y_A \lt y_B \)
(2) \( A \)物種的體重標準差小於 \( B \)物種的體重標準差
(3) 就A物種而言，個體P的體重與平均體重 \( y_A \)之差的絕對值大於一個標準差
(4) 點(5.6, 8.6)到直線L_A的距離小於其到直線L_B的距離
(5) 點(5.6, 8.6)與點 \((x_A, y_A)\)的距離小於其與點 \((x_B, y_B)\)的距離
答案
105指考數學乙試題-08
某社區有一千位居民，其個人月所得少於 10,000 元者占 30%，介於 10,000 元及 20,000 元間者占 10%，介於 20,000 元及 40,000 元間者占 30%，介於 40,000 元及 80,000 元間者占 30%。請選出正確的選項。
(1) 該社區個人月所得的中位數介於 20,000 元及 40,000 元間
(2) 使用簡單隨機抽樣自該社區中抽出一位居民，其個人月所得在上述的四個區間中，以介於 10,000 元及 20,000 元間的機率最低
(3) 該社區的個人月所得平均，不可能高過 40,000 元
(4) 該社區的個人月所得平均，不可能低過該社區的個人月所得中位數
(5) 若該社區新搬入一位居民，其月所得為 200,000 元，則該社區的個人月所得平均將增加，但增加量不會多過 200 元
答案
累積人數：<10k:30%，10k~20k:40%，20k~40k:70%，40k~80k:100%。
(1) 中位數在第500人處，落在20k~40k區間，正確。
(2) 10k~20k區間機率10%，其他區間30%或30%，確實最低，正確。
(3) 平均數可能高於40k，因為40k~80k區間可拉高平均，錯誤。
(4) 右偏分布時平均數>中位數，但此資料右偏嗎？40k~80k占30%，可能平均>中位數，所以平均不可能低於中位數？不一定，若左邊數值很低可能平均<中位數？但本題左邊30%<10k，10%在10k~20k，30%在20k~40k，30%在40k~80k，估計平均數約 (5k×30% + 15k×10% + 30k×30% + 60k×30%) = 1.5k + 1.5k + 9k + 18k = 30k，中位數在20k~40k，可能平均>中位數或接近，但「不可能低過」不一定成立，錯誤。
(5) 原平均約30k，總所得30M，新加入200k，總所得30.2M，人數1001，平均約30170，增加約170元 \< 200元，正確。
答案為 (1)(2)(5)。 報錯
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106指考數學乙試題-07
小明參加某次國文、英文、數學、自然、社會五個科目的測驗，每一科的分數均為0~100分。已知小明國英數三科的分數分別為75,80,85分。試問下列哪些選項會讓小明五科成績的平均不低於80分且五科標準差不大於5分？
（註：標準差 \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \mu)^2}\)，其中\(\mu\)為平均數。）
(1) 自然75分，社會80分
(2) 自然與社會兩科皆80分
(3) 自然與社會的平均85分
(4) 自然與社會兩科之和不低於160分且兩科差距不超過10分
(5) 自然與社會兩科的分數都介於80與82分之間
答案
國英數：75,80,85，平均80。
五科平均 \(\mu \ge 80\) ⇒ 自然+社會 \(\ge 160\)。
五科標準差 \(\sigma \le 5\) ⇒ 方差 \(\le 25\)。
(1) 自然75,社會80，總分155，平均79，不滿足平均≥80，錯誤。
(2) 自然80,社會80，總分160，平均80，數據：75,80,85,80,80，平均80，標準差計算：平方和差：25+0+25+0+0=50，方差10，標準差√10≈3.16≤5，正確。
(3) 平均85 ⇒ 總分170，數據：75,80,85,x,y 且 x+y=170，可能標準差很大，例如0,170，則方差很大，不一定滿足，錯誤。
(4) 總分≥160，且 |x-y|≤10，平均≥80，但標準差可能>5，例如75,80,85,70,90，平均80，平方差：25+0+25+100+100=250，方差50，標準差√50≈7.07>5，錯誤。
(5) 分數在80~82之間，總分在160~164之間，平均≥80，且所有數據接近80，標準差很小，一定≤5，正確。
答案為 (2)(5)。 報錯
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04 – 114學測數學b試題10
某羽球選手與甲、乙、丙、丁四位選手各比賽一場。賽後蒐集這四場比賽的數據,統計該選手的對手在比賽中殺球的總次數,以及每次殺球用時的平均及標準差,結果如下表所示。例如對手甲在該場殺球次數為\(25\)次、每次殺球用時平均\(1.2\)秒,每次殺球用時標準差\(0.5\)秒。
| 對手 | 該場殺球次數 | 每次殺球用時平均（秒） | 每次殺球用時標準差（秒） |
| — | — | — | — |
| 甲 | \(25\) | \(1.2\) | \(0.5\) |
| 乙 | \(14\) | \(1.5\) | \(0.3\) |
| 丙 | \(20\) | \(1.7\) | \(0.2\) |
| 丁 | \(30\) | \(1.2\) | \(0.4\) |
根據上述,對於甲、乙、丙、丁四位選手的表現,試選出正確的選項。(1) 丙在該場中每次殺球用時平均是四位中最多的；(2) 丁在該場中花在殺球的總用時是四位中最多的；(3) 甲在該場中每次殺球的用時都與丁相同；(4) 甲在該場中每次殺球用時的全距,大於丁在該場中每次殺球用時的全距；(5) 乙在該場中各次殺球的用時不可能都在\(1.4\)到\(1.6\)秒之間
答案
1. 對於(1),丙每次殺球用時平均\(1.7\)秒,是四位中最多,(1)正確。
2. 對於(2),甲殺球總用時\(25×1.2 = 30\)秒,丁殺球總用時\(30×1.2 = 36\)秒,丁最多,(2)正確。
3. 對於(3),甲和丁平均用時相同,但標準差不同,說明用時不完全相同,(3)錯誤。
4. 對於(4),標準差不等,無法確定全距大小,(4)錯誤。
5. 對於(5),標準差\(0.3\),根據\(3\sigma\)原則,大部分數據在\(1.5 - 3×0.3 = 0.6\)到\(1.5 + 3×0.3 = 2.4\)之間,所以各次殺球用時不可能都在\(1.4\)到\(1.6\)秒之間,(5)正確。答案：(1)(2)(5) 報錯
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113學測數學B試題-01
某遊戲共有210位玩家,每位玩家均持有寶石,其中持有1顆的有1位,持有2顆的有2位,依此類推,持有20顆寶石的有20位。 試問這些玩家每人持有寶石數量的第90百分位數為下列哪一個選項？(1) 16；(2) 17；(3) 18；(4) 19；(5) 20
答案
1. 先計算前\(n\)組的累積人數：
- 前\(n\)組累積人數\(S_n=\sum_{k = 1}^{n}k=\frac{n(n + 1)}{2}\)。
- 計算\(\frac{n(n + 1)}{2}\),當\(n = 18\)時,\(S_{18}=\frac{18\times(18 + 1)}{2}=171\)人；當\(n = 19\)時,\(S_{19}=\frac{19\times(19 + 1)}{2}=190\)人。
2. 因為\(210\times90\% = 189\)人,\(171\lt189\lt190\),所以第\(90\)百分位數落在持有\(19\)顆寶石這一組。答案：(4) 報錯
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112學測數學B試題-04
某校期中考試有 \(29\) 名考生,且成績均相異,統計後得到位於第 \(25\)、第 \(50\)、第 \(75\) 與第 \(95\) 百分位數的考生成績分別為 \(41\)、\(60\)、\(74\) 與 \(92\) 分。後來發現成績有誤需要調整分數,成績較高的前 \(15\) 名學生的分數應該要各加 \(5\) 分,其餘學生成績不變。假設調整後第 \(25\)、第 \(50\)、第 \(75\) 與第 \(95\) 百分位數的考生成績分別為 \(a\)、\(b\)、\(c\) 與 \(d\) 分,則數組 \((a, b, c, d )\) 為下列哪個選項？(1) \((41, 60, 74, 92)\) (2) \((41, 60, 74, 97)\) (3) \((41, 65, 79, 97)\) (4) \((46, 65, 79, 92)\) (5) \((46, 65, 79, 97)\)
答案
因為前 \(15\) 名成績改變,而 \(29\times25\% = 7.25\),\(29\times50\% = 14.5\),\(29\times75\% = 21.75\),\(29\times95\% = 27.55\),第 \(25\) 百分位數不受前 \(15\) 名成績調整影響,所以 \(a = 41\)；第 \(50\) 百分位數在調整範圍內,變為 \(60 + 5 = 65\)；第 \(75\) 百分位數在調整範圍內,變為 \(74 + 5 = 79\)；第 \(95\) 百分位數在調整範圍內,變為 \(92 + 5 = 97\)。數組為 \((41, 65, 79, 97)\)。答案：(3) 報錯
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111學測數學B試題-10
甲、乙兩班各有\(40\)位 同學參加某次數學考試（總分為\(100\)分）,考試後甲、乙兩班分別以\(y_1 = 0.8x_1 + 20\)和\(y_2 = 0.75x_2 + 25\)的方式來調整分數,其中\(x_1\), \(x_2\)分別代表甲、乙兩班的原始考試 分數,\(y_1\), \(y_2\)分別代 表甲、乙兩 班調整後 的 分數。已知 調整 後兩 班 的平均 分數均為\(60\)分,調整後的標準差分別為\(16\)分和\(15\)分。試選出正確的選項。(1) 甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數；(2) 甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高；(3) 甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高；(4) 若甲班\(A\)同學調整後的分數比乙班\(B\)同學調整後的分數高,則\(A\)同學的原始分數比\(B\)同學的原始分數高；(5) 若甲班調整後不及格（小於\(60\)分）的人數比乙班調整後不及格的人數多,則甲班原始分數不及格的人數必定比乙班原始分數不及格的人數多
答案
1. 對於甲班,令\(y_1 = 0.8x_1 + 20\),若\(x_1 = 0\),\(y_1 = 20\lt0\),(1)錯誤。
2. 甲班調整後平均分\(60 = 0.8\overline{x_1}+20\),解得\(\overline{x_1}=50\)；乙班調整後平均分\(60 = 0.75\overline{x_2}+25\),解得\(\overline{x_2}=46\frac{2}{3}\),甲班原始分數平均分比乙班高,(2)正確。
3. 甲班標準差\(\sigma_{y_1}=16\),由\(y_1 = 0.8x_1 + 20\),則\(\sigma_{x_1}=\frac{\sigma_{y_1}}{0.8}=20\)；乙班標準差\(\sigma_{y_2}=15\),由\(y_2 = 0.75x_2 + 25\),則\(\sigma_{x_2}=\frac{\sigma_{y_2}}{0.75}=20\),兩班原始分數標準差一樣高,(3)錯誤。
4. 若\(y_1 \gt y_2\),即\(0.8x_1 + 20 \gt 0.75x_2 + 25\),不能直接得出\(x_1 \gt x_2\),(4)錯誤。
5. 甲班\(y_1 = 0.8x_1 + 20\lt60\),解得\(x_1\lt50\)；乙班\(y_2 = 0.75x_2 + 25\lt60\),解得\(x_2\lt46\frac{2}{3}\),甲班調整後不及格人數多,原始分數不及格人數不一定多,(5)錯誤。答案：(2) 報錯
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