設 \(a < b < c\)。已知實係數多項式函數 \(y = f(x)\) 的圖形為一開口向上的拋物線,且與 \(x\) 軸交於 \((a, 0)\)、\((b, 0)\) 兩點；實係數多項式函數 \(y = g(x)\) 的圖形亦為一開口向上的拋物線,且跟 \(x\) 軸相交於 \((b, 0)\)、\((c, 0)\) 兩點。請選出 \(y = f(x) + g(x)\) 的圖形可能的選項。
(1) 水平直線
(2) 和 \(x\) 軸僅交於一點的直線
(3) 和 \(x\) 軸無交點的拋物線
(4) 和 \(x\) 軸僅交於一點的拋物線
(5) 和 \(x\) 軸交於兩點的拋物線
答案
設 \( f(x) = m(x-a)(x-b) \)，\( g(x) = n(x-b)(x-c) \)，其中 \( m > 0 \)，\( n > 0 \)。
則：
\[
f(x) + g(x) = (x-b)\left[ (m+n)x - (ma + nc) \right]
\]
因 \( m + n > 0 \)，故 \( f(x) + g(x) \) 必為二次函數，圖形必為拋物線。
(1) 若 \( \dfrac{ma + nc}{m + n} = b \)，則圖形與 \( x \) 軸恰交於一點 \( (b, 0) \)。
(2) 若 \( \dfrac{ma + nc}{m + n} \neq b \)，則圖形與 \( x \) 軸交於兩點。
故選 (4)(5)