設 \(\Gamma : \frac{y^2}{a^2} -\frac{x^2}{b^2}=1\) 為坐標平面上一雙曲線，且其通過第一象限的漸近線為 \(\ell\)。考慮動點 \((t, t^2)\)，從時間 \( t = 0 \) 時出發。當 \( t > 0 \) 時，請選出正確的選項：
(1)此動點不會碰到 \(\Gamma\)，也不會碰到 \(\ell\)
(2)此動點會碰到 \(\Gamma\)，但不會碰到 \(\ell\)
(3)此動點會碰到 \(\ell\)，但不會碰到 \(\Gamma\)
(4)此動點會先碰到 \(\Gamma\)，再碰到 \(\ell\)
(5)此動點會先碰到 \(\ell\)，再碰到 \(\Gamma\)。
試問下列哪些選項中的二次曲線，其焦點（之一）是拋物線 \( y^2 = 2x \) 的焦點？
(1) \( y = \left( x – \frac{1}{2} \right)^2 – \frac{1}{4} \)
(2) \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \)
(3) \( x^2 + \frac{4y^2}{3} = 1 \)
(4) \( 8x^2 – 8y^2 = 1 \)
(5) \( 4x^2 – 4y^2 = 1 \)。
拋物線 \( y^2=2x \) 標準式 \( y^2=4\cdot\frac{1}{2}x \)，焦點 \( \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \)。
(1) 頂點 \( \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{4} \right) \)，開口向上，焦距 \( \frac{1}{4} \)，焦點 \( \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \) ✓。
(2) 橢圓 \( \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \)，\( c=1 \)，焦點 \( (\pm1,0) \) ✗。
(3) 橢圓 \( \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3/4}=1 \)，\( c=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2} \)，焦點 \( \left( \pm\frac{1}{2},0 \right) \) ✓。
(4) 雙曲線 \( \frac{x^2}{1/8}-\frac{y^2}{1/8}=1 \)，\( c=\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}=\frac{1}{2} \)，焦點 \( \left( \pm\frac{1}{2},0 \right) \) ✓。
(5) 雙曲線 \( \frac{x^2}{1/4}-\frac{y^2}{1/4}=1 \)，\( c=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)，焦點 \( \left( \pm\frac{1}{\sqrt{2}},0 \right) \) ✗。
故選(1)(3)(4)。答案：(1)(3)(4) 報錯
ChatGPT DeepSeek
坐標平面上,橢圓 \( \Gamma \) 的方程式為 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{6^2}=1$ （其中 \( a \) 為正實數）。若將 \( \Gamma \) 以原點 \( O \) 為中心,沿 \( x \) 軸方向伸縮為 2 倍、沿 \( y \) 軸方向伸縮為 3 倍 後,所得到 的新 圖形會通過點 \((18,0)\) 。試 問 下 列 哪 一 個 選 項 是 \( \Gamma \) 的焦點？(1) \((0,3 )\) (2) \((\sqrt{3},0)\) (3) \((3\sqrt{3},0)\) (4) \((6,0)\) (5) \((9,0)\)
假設\(A\)，\(B\)為一拋物線\(\Gamma\)上兩點且其連線段通過\(\Gamma\)的焦點\(F\) 。設\(A\)，\(F\)，\(B\)在\(\Gamma\)之準線上的投影分別為\(A’\) ，\(F’\) ，\(B’\) 。試選出等於\(\frac{\overline{A’F’}}{\overline{A’A}}\)的選項。(注意：此示意圖僅說明各點的相關位置，各點間距離關係並不正確)
(1)\(\tan\angle1\)，其中\(\angle1=\angle A’F’A\)(2)\(\sin\angle2\)，其中\(\angle2=\angle AF’F\)(3)\(\sin\angle3\)，其中\(\angle3=\angle A’AF\)(4)\(\cos\angle4\)，其中\(\angle4=\angle F’FB\)(5)\(\tan\angle5\)，其中\(\angle5=\angle FF’B\)
