實驗室近期發现一種繁殖迅速的细菌,每日的數量都以57%的增加幅度成長。已知研究人員於8月1日放入约1000的细菌到培養皿内培養,持续觀察细菌的數量直到8月31日(30日後),設最後培養皿内的细菌總數量為 \(x\) 雙,請問 \(x\) 的範圍為何?
\((1) 10^{5}\lt x\lt 10^{6}\)
\((2) 10^{6}\lt x\lt 10^{7}\)
\((3) 10^{7}\lt x\lt 10^{8}\)
\((4) 10^{8}\lt x\lt 10^{9}\)
\((5) 10^{9}\lt x\lt 10^{10}\)
某個手機程式，每次點擊螢幕上的數$a$後，螢幕上的數會變成 \( a^2 \)。當一開始時螢幕上的數b為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近 \( 81^3 \)，試問實數$b$最接近下列哪一個選項？
(1)$1.7$ (2)$3$ (3)$5.2$ (4)$9$ (5)$81$。
設 \( a, b, x \) 皆為正整數且滿足 \( a \leq x \leq b \) 及 \( b-a=3 \)。若用內插法從 \(\log a, \log b \) 求得 \(\log x \) 的近似值為 \(\log x \approx \frac{1}{3} \log a + \frac{2}{3} \log b = \frac{1}{3} (1 + 2 \log 3 – \log 2) + \frac{2}{3} (4 \log 2 + \log 3)\)，則 \( x \) 的值為 \(\underline{\qquad}\)。
計算右式：
\(\frac{1}{3}(1 + 2\log 3 - \log 2) + \frac{2}{3}(4\log 2 + \log 3) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\log 3 - \frac{1}{3}\log 2 + \frac{8}{3}\log 2 + \frac{2}{3}\log 3\)
\(= \frac{1}{3} + \frac{4}{3}\log 3 + \frac{7}{3}\log 2 = \frac{1}{3} + \log(3^{4/3} \cdot 2^{7/3})\)。
近似計算：\(\frac{1}{3}(1 + 2\log 3 - \log 2) \approx \frac{1}{3}(1 + 0.9542 - 0.3010) = \frac{1}{3}(1.6532) \approx 0.5511\)，對應數值約為 \(10^{0.5511} \approx 3.56\)，此為\(\log a\)？需重新審視。
原解析直接計算：
\(\frac{1}{3}(1 + 2\log 3 - \log 2) = \frac{1}{3}(\log 10 + \log 9 - \log 2) = \frac{1}{3}\log\left(\frac{10 \times 9}{2}\right) = \frac{1}{3}\log 45\)。
\(\frac{2}{3}(4\log 2 + \log 3) = \frac{2}{3}(\log 16 + \log 3) = \frac{2}{3}\log 48\)。
故\(\log x \approx \frac{1}{3}\log 45 + \frac{2}{3}\log 48\)。由內插法，x位於45與48之間，且距離比為1:2，故\(x = \frac{1 \times 45 + 2 \times 48}{1+2} = \frac{141}{3} = 47\)。答案：47 報錯
ChatGPT DeepSeek
一份試卷共有10題單選題，每題有5個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？
(1) \(10^{-5}\) (2) \(10^{-6}\) (3) \(10^{-7}\) (4) \(10^{-8}\) (5) \(10^{-9}\)。
設正實數\(b\)滿足 \(\log(100)(\log b) + \log 100 + \log b = 7\)，試選出正確的選項。
(1) \(1 \leq b \leq \sqrt{10}\)
(2) \(\sqrt{10} \leq b \leq 10\)
(3) \(10 \leq b \leq 10\sqrt{10}\)
(4) \(10\sqrt{10} \leq b \leq 100\)
(5) \(100 \leq b \leq 100\sqrt{10}\)。
連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 \(a, b\)。試問發生 \(\log(a^2) + \log b \gt 1\) 的機率為多少？
(1) \(\frac{1}{3}\) (2) \(\frac{1}{2}\) (3) \(\frac{2}{3}\) (4) \(\frac{3}{4}\) (5) \(\frac{5}{6}\)。
設a,b,c為實數且滿足\(\log a = 1.1\)、\(\log b = 2.2\)、\(\log c = 3.3\)。試選出正確的選項。
(1) \( a + c = 2b \)
(2) \( 1 \lt a \lt 10 \)
(3) \( 1000 \lt c \lt 2000 \)
(4) \( b = 2a \)
(5) \( a, b, c \) 成等比數列。
有一項理論認為所有比鐵重的元素都是超新星爆炸時形成的。已知 \( ^{235}U \) 和 \( ^{238}U \) 的半衰期分別為 0.704×10\(^9\) 年和 4.47×10\(^9\) 年，若地球上的鈾來自 5.94×10\(^9\) 年前的恆星爆炸，且爆炸時產生相同數量的 \( ^{235}U \) 和 \( ^{238}U \)，則目前地球上兩者的數量比 \( ^{235}U \) 約為下列何者？
(A) \( 2^{-9} \)
(B) \( 2^{-7} \)
(C) \( 2^{-5} \)
(D) \( 2^{-3} \)
(E) \( 2^{-1} \)
