〈指數與對數〉彙整頁面 - 第 3 頁，總計 4 頁

105指考數學乙試題-06

設 \( a = 10^{1 – \frac{\sqrt{2}}{2}} \)，\( b = a^{\sqrt{2}} \)。請選出正確的選項。
(1) \( 1 \lt a \)
(2) \( a \lt \sqrt{3} \)
(3) \( a^2 \lt b^{\sqrt{3}} \)
(4) \( 10^{0.4} \lt b \lt 10^{0.5} \)
(5) \((ab)^{\sqrt{2}} \lt 10\)

[多選題]

答案

\( a = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} \)，\( b = a^{\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2} - 1} \)。
(1) \(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1 - 0.707 = 0.293 \gt 0\)，所以 \(a \gt 10^0 = 1\)，正確。
(2) \(a = 10^{0.293} \approx 1.96\)，\(\sqrt{3} \approx 1.732\)，所以 \(a \gt \sqrt{3}\)，錯誤。
(3) \(a^2 = 10^{2 - \sqrt{2}} \approx 10^{0.586}\)，\(b^{\sqrt{3}} = 10^{(\sqrt{2}-1)\sqrt{3}} = 10^{\sqrt{6} - \sqrt{3}} \approx 10^{2.449 - 1.732} = 10^{0.717}\)，所以 \(a^2 \lt b^{\sqrt{3}}\)，正確。
(4) \(b = 10^{\sqrt{2}-1} \approx 10^{0.414}\)，\(10^{0.4} \lt b \lt 10^{0.5}\) 成立，正確。
(5) \(ab = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} - 1} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)，\((ab)^{\sqrt{2}} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = 10^1 = 10\)，所以等於10，錯誤。
答案為 (1)(3)(4)。報錯
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106指考數學乙試題-02

下列哪一個選項的值最大？
(1) \(\log_2 3\)
(2) \(\log_4 6\)
(3) \(\log_8 12\)
(4) \(\log_{16} 24\)
(5) \(\log_{32} 48\)

[單選題]

答案

利用換底公式：
(1) \(\log_2 3\)
(2) \(\log_4 6 = \frac{\log_2 6}{2} = \frac{1+\log_2 3}{2}\)
(3) \(\log_8 12 = \frac{\log_2 12}{3} = \frac{2+\log_2 3}{3}\)
(4) \(\log_{16} 24 = \frac{\log_2 24}{4} = \frac{3+\log_2 3}{4}\)
(5) \(\log_{32} 48 = \frac{\log_2 48}{5} = \frac{4+\log_2 3}{5}\)
設 \( t = \log_2 3 \approx 1.585 \)，計算：
(1) 1.585, (2) 1.293, (3) 1.195, (4) 1.146, (5) 1.117
最大為 (1)。
答案為 (1)。報錯
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110指考數學乙試題-04

設 \( a = \log_2 8, b = \log_3 1, c = \log_{0.5} 8 \)，試選出正確的選項。
(1) \( b = 0 \)
(2) \( a + b + c > 0 \)
(3) \( a > b > c \)
(4) \( a^2 > b^2 > c^2 \)
(5) \( 2^a > 3^b > (\frac{1}{2})^c \)

[多選題]

答案

計算：\( a = \log_2 8 = 3 \)，\( b = \log_3 1 = 0 \)，\( c = \log_{0.5} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = -3 \)。
(1) 正確，\( b=0 \)
(2) 錯誤，\( a+b+c=3+0-3=0 \)
(3) 正確，\( 3 > 0 > -3 \)
(4) 正確，\( 9 > 0 > 9 \)？\( c^2=9 \)，\( a^2=9 \)，\( b^2=0 \)，故 \( a^2 = c^2 > b^2 \)，選項錯誤
(5) 正確，\( 2^a=8 \)，\( 3^b=1 \)，\( (\frac{1}{2})^c=2^{-c}=2^3=8 \)，故 \( 2^a = (\frac{1}{2})^c > 3^b \)，選項錯誤
答案：(1)(3) 報錯
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109指考數學乙(補考)試題-1)

一. 據說，「六人國」是因為200年前該國僅有6個人而得名。人口學家估算：過去200年來，已知該國人口數以平均年成長率為 \( \frac{1}{16} \) 的速率增加，即平均每年增加的人口數為前一年總人口數的 \( \frac{1}{16} \)。利用參考數據：\( \log 2 \approx 0.3010, \log 3 \approx 0.4771 \)，試回答下列問題。
(1) 已知連續兩年中，第一年「六人國」的人口數為 \( a \)，第二年的人口數為 \( ka \)，試求 \( k \) 的值。

[非選擇題]

答案

年成長率 \( \frac{1}{16} \)，故 \( k=1+\frac{1}{16}=\frac{17}{16} \)
答案：\( \frac{17}{16} \) 報錯
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109指考數學乙(補考)試題-2)

一、(2) 利用 \( \log 16 \) 與 \( \log 18 \) 的近似值，以內差法求 \( \log 17 \) 的近似值。（計算至小數點後第四位）

[非選擇題]

答案

\( \log 16=\log 2^4=4\times0.3010=1.2040 \)
\( \log 18=\log(2\times3^2)=0.3010+2\times0.4771=1.2552 \)
內插法：\( \frac{\log 17-\log 16}{\log 18-\log 16}=\frac{17-16}{18-16}=\frac{1}{2} \)
\( \log 17=1.2040+\frac{1}{2}(1.2552-1.2040)=1.2040+0.0256=1.2296 \)
答案：1.2296 報錯
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109指考數學乙(補考)試題-3)

一、(3) 已知「六人國」現在的人口數很接近 \( 10^n \)（其中 \( n \) 為正整數），試求正整數 \( n \) 的值。

[非選擇題]

答案

初始6人，經過200年，人口數 = \( 6\times(\frac{17}{16})^{200} \)
取對數：\( \log[6\times(\frac{17}{16})^{200}] = \log 6 + 200\log\frac{17}{16} \)
\( \log 6=\log 2+\log 3=0.3010+0.4771=0.7781 \)
\( \log\frac{17}{16}=\log 17-\log 16=1.2296-1.2040=0.0256 \)
總和 = \( 0.7781+200\times0.0256=0.7781+5.12=5.8981 \)
故 \( n=5 \)
答案：5 報錯
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109指考數學乙試題-1)

一. 傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 \( P_0 \)，且每位已感染者平均一天會傳染給 \( r \) 位未感染者」的前提下，\( n \)天後感染到此疾病的總人數 \( P_n \) 可以表示為 \( P_n = P_0(1+r)^n \)，其中 \( P_0 \geq 1 \) 且 \( r \gt 0 \)。試回答下列問題：
(1) 已知 \( A = \frac{\log P_5 – \log P_2}{3} \), \( B = \frac{\log P_8 – \log P_5}{3} \)，試說明 \( A = B \)。

[非選擇題]

答案

\( \log P_n = \log P_0 + n\log(1+r) \)
\( A = \frac{[\log P_0 + 5\log(1+r)] - [\log P_0 + 2\log(1+r)]}{3} = \frac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r) \)
\( B = \frac{[\log P_0 + 8\log(1+r)] - [\log P_0 + 5\log(1+r)]}{3} = \frac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r) \)
故 \( A = B \)
答案：得證報錯
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109指考數學乙試題-3)

一、(3) 承 (2)，試求 \( \frac{\log P_{20} – \log P_{17}}{3} \)

[非選擇題]

答案

\( \frac{\log P_{20} - \log P_{17}}{3} = \frac{[\log P_0 + 20\log(1+r)] - [\log P_0 + 17\log(1+r)]}{3} = \frac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r) \)
由(2)知 \( (1+r)^{16} = 10 \)，故 \( \log(1+r) = \frac{\log 10}{16} = \frac{1}{16} \)
答案：\( \frac{1}{16} \) 報錯
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108指考數學乙試題-04

已知正整數 \(a\) 與正整數 \(b\) 的乘積是11位數，而 \(a\) 除以 \(b\) 的商之整數部分是2位數，則 \(a\) 可能為幾位數？
(1) 5位數
(2) 6位數
(3) 7位數
(4) 8位數
(5) 9位數

[多選題]

答案

設 \(a\) 為 \(m\) 位數，\(b\) 為 \(n\) 位數，則 \(10^{m-1} \le a \lt 10^m\)，\(10^{n-1} \le b \lt 10^n\)。
乘積為 11 位數：\(10^{10} \le ab \lt 10^{11}\)。
商之整數部分為 2 位數：\(10 \le a/b \lt 100\)。
由 \(a/b \lt 100\) 得 \(a \lt 100b \lt 100 \cdot 10^n = 10^{n+2}\)，所以 \(m \le n+2\)。
由 \(a/b \ge 10\) 得 \(a \ge 10b \ge 10 \cdot 10^{n-1} = 10^n\)，所以 \(m \ge n\)。
由 \(ab \ge 10^{10}\) 得 \(m+n-1 \ge 10 \Rightarrow m+n \ge 11\)。
由 \(ab \lt 10^{11}\) 得 \(m+n-1 \lt 11 \Rightarrow m+n \lt 12\)。
所以 \(m+n = 11\)。
又 \(n \le m \le n+2\)，且 \(m+n=11\)，解得 \(m=5,6\) 對應 \(n=6,5\) 或 \(m=6,5\) 等，檢查得 \(m\) 可能為 5 或 6。
答案為 (1)(2)。報錯
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108指考數學甲試題-02

設\(n\)為正整數。第\(n\)個費馬數（Fermat Number ）定義為\(F_{n}=2^{(2^{n})}+1\)，例如\(F_{1}=2^{(2^{1})}+1=2^{2}+1 = 5\)，\(F_{2}=2^{(2^{2})}+1=2^{4}+1 = 17\)。試問\(\frac{F_{13}}{F_{12}}\)的整數部分以十進位表示時，其位數最接近下列哪一個選項？（\(\log 2 ≈0.3010\) ）
(1)120
(2)240
(3)600
(4)900
(5)1200

[單選題]

答案

已知\(F_{n}=2^{(2^{n})}+1\)，則\(\frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\)。
因為\(2^{2^{13}}=2^{2^{12}\times2}=(2^{2^{12}})^2\)，當\(x\)很大時，\(\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\approx\frac{2^{2^{13}}}{2^{2^{12}}}=2^{2^{13}-2^{12}}=2^{2^{12}(2 - 1)}=2^{2^{12}}\)。
設\(N = 2^{2^{12}}\)，對其取常用對數\(\log N=\log(2^{2^{12}})=2^{12}\log 2\)。
\(2^{12}=4096\)，\(\log N = 4096\times0.3010\approx1233\)。
根據數的位數公式，若\(\log N = n + d\)（\(n\)為整數，\(0\leq d<1\)），則\(N\)的位數是\(n + 1\)，所以\(2^{2^{12}}\)的位數約為\(1233 + 1 = 1234\)，最接近1200。答案為(5)。報錯
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