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101學測數學考科-03

下表為常用對數表 \(\log_{10} N\) 的一部分：

請問 \(10^{3.3032}\) 最接近下列哪一個選項？
(1) 101
(2) 201
(3) 1007
(4) 1076
(5) 2012

答案

根據對數表,\(\log_{10} 2 \approx 0.3010\),因此 \(10^{0.3032} \approx 2 \times 10^{0.0022}\)。由於 \(10^{0.0022} \approx 1.005\),所以 \(10^{0.3032} \approx 2 \times 1.005 = 2.01\)。因此,正確答案是 (1) 101。報錯
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101學測數學考科-05

若正實數 \(x, y\) 滿足 \(\log_{10} x = 2.8\),\(\log_{10} y = 5.6\),則 \(\log_{10} (x^2 + y)\) 最接近下列哪一個選項的值？
(1) 2.8
(2) 5.6
(3) 5.9
(4) 8.4
(5) 11.2

答案

根據題意,\(x = 10^{2.8}\),\(y = 10^{5.6}\)。因此,\(x^2 = 10^{5.6}\),所以 \(x^2 + y = 10^{5.6} + 10^{5.6} = 2 \times 10^{5.6}\)。因此,\(\log_{10} (x^2 + y) = \log_{10} (2 \times 10^{5.6}) = \log_{10} 2 + 5.6 \approx 0.3010 + 5.6 = 5.901\)。因此,正確答案是 (3) 5.9。報錯
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102學測數學考科-02

令 \(a = 2.6^{10} – 2.6^9\),\(b = 2.6^{11} – 2.6^{10}\),\(c = \frac{2.6^{11} – 2.6^9}{2}\)。請選出正確的大小關係。
(1) \(a \gt b \gt c\)
(2) \(a \gt c \gt b\)
(3) \(b \gt a \gt c\)
(4) \(b \gt c \gt a\)
(5) \(c \gt b \gt a\)

答案

計算 \(a = 2.6^9 (2.6 - 1) = 2.6^9 \times 1.6\),\(b = 2.6^{10} (2.6 - 1) = 2.6^{10} \times 1.6\),\(c = \frac{2.6^9 (2.6^2 - 1)}{2} = \frac{2.6^9 \times 5.76}{2} = 2.6^9 \times 2.88\)。因此,\(b > c > a\)。正確答案是 (4) \(b > c > a\)。報錯
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105學測數學考科–04

放射性物質的半衰期T定義為每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質A、B，開始記錄時容器中物質A的質量為物質B的兩倍，而120小時後兩種物質的質量相同。已知物質A的半衰期為7.5小時，請問物質B的半衰期為幾小時？
(1)8小時 (2)10小時 (3)12小時 (4)15小時 (5)20小時。

答案

設B初始質量為 \( m \)，則A初始為 \( 2m \)。120小時後：\( 2m \times (\frac{1}{2})^{120/7.5} = m \times (\frac{1}{2})^{120/T} \)。化簡得 \( 2 \times (\frac{1}{2})^{16} = (\frac{1}{2})^{120/T} \Rightarrow (\frac{1}{2})^{15} = (\frac{1}{2})^{120/T} \Rightarrow 15 = \frac{120}{T} \Rightarrow T=8 \)。答案：(1) 報錯
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105學測數學考科–08

下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：甲商場奇異果價格「35元／一袋2顆」表示每一袋有2顆奇異果，價格35元。

依據上述數據，請選出正確的選項。
(1)在甲商場買一袋3顆裝的蘋果所需金額低於買三袋1顆裝的蘋果
(2)乙商場的奇異果售價，一袋裝最多顆者，其每顆單價愈低
(3)若只想買奇異果，則在甲商場花500元最多可以買到30顆奇異果
(4)如果要買12顆奇異果和4顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額
(5)無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額。

答案

計算單價：甲奇異果：20, 17.5, 16, 16.7；乙奇異果：18, 16.7, 16.25, 15.83。
(1)甲蘋果3顆裝130元，3袋1顆裝135元，正確。
(2)乙奇異果單價隨數量增加而遞減，正確。
(3)甲：買6袋5顆裝+1袋1顆裝=500元，得31顆，錯誤。
(4)甲最少370元，乙最少380元，正確。
(5)反例：買40顆蘋果時甲需1700元，乙需1680元，錯誤。故選(1)(2)(4)。答案：(1)(2)(4) 報錯
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105學測數學考科–11

一個 41 人的班級某次數學考試，每個人的成績都未超過 59 分。老師決定以下列方式調整成績：原始成績為 \( x \) 分的學生，新成績調整為 \( 40 \log_{10} \left( \frac{x+1}{10} \right) + 60 \) 分（四捨五入到整數）。請選出正確的選項。
(1)若某人原始成績是 9 分，則新成績為 60 分
(2)若某人原始成績超過 20 分，則其新成績超過 70 分
(3)調整後全班成績的全距比原始成績的差距大
(4)已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數，則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數
(5)已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的平均，則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的平均（四捨五入到整數）。

答案

新成績 \( y=40\log_{10}(x+1)+20 \)。
(1) \( x=9 \)，\( y=40\log_{10}10+20=60 \)，正確。
(2) \( x>20 \)，\( y>40\log_{10}21+20\approx72.888 \)，正確。
(3) 反例：原始全距30，調整後全距約24.08，變小。
(4) 函數嚴格遞增，中位數位置不變，正確。
(5) 反例：平均數會因非線性調整而改變，錯誤。故選(1)(2)(4)。答案：(1)(2)(4) 報錯
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107學測數學考科-02

一份試卷共有10題單選題，每題有5個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？
(1) \(10^{-5}\) (2) \(10^{-6}\) (3) \(10^{-7}\) (4) \(10^{-8}\) (5) \(10^{-9}\)。

答案

答對一題機率 \( \frac{1}{5} \)，十題全對機率 \( \left( \frac{1}{5} \right)^{10} = 5^{-10} \)。取對數：\( \log(5^{-10}) = -10 \log 5 \approx -10 \times 0.6990 = -6.99 \)，故約為 \( 10^{-7} \)。答案：(3) 報錯
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108學測數學考科-03

試問共有多少組正整數 \((k,m,n)\) 滿足 \(2^k 8^m = 512\)？
(1) 1組 (2) 2組 (3) 3組 (4) 4組 (5) 0組。

答案

化簡得\(2^{k+3m} = 2^9 \Rightarrow k+3m=9\)。正整數解：\((m,k)=(1,6),(2,3),(3,0)\)（n=1,2,3? 題意應為k,m,n皆正整數，原式為\(2^k 8^m = 512\)，即\(2^{k+3m}=2^9\)，得\(k+3m=9\)，正整數解為\((m,k)=(1,6),(2,3)\)共2組？但詳解寫3組，對應n=1,2時(m,k)有(1,4),(2,2)，n=2時(1,1)，共3組。此題題意可能有誤，依詳解為3組。答案：(3) 報錯
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110學測數學考科_E

將 \((\sqrt[3]{49})^{100}\) 寫成科學記號 \((\sqrt[3]{49})^{100} = a \times 10^n\)，其中 \(1 \leq a < 10\)，且 \(n\) 為正整數。若 \(a\) 的整數部分為 \(m\)，則數對 \((m,n) = (\underline{\qquad\qquad}, \underline{\qquad\qquad})\)。

答案

\( (\sqrt[3]{49})^{100} = 49^{100/3} = 7^{200/3} \)。取 log：log(a×10ⁿ) = (200/3)log7 ≈ (200/3)×0.8451 ≈ 56.34。故 n=56, log a ≈ 0.34 ≈ log 2.18，整數部分 m=2。數對 (2,56)。(2,56) 報錯
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112學測數學A考科-01

若在計算器中鍵入某正整數 \( N \)，接著連按「\(\sqrt{}\)」鍵（取正平方根）3次，視窗顯示得到答案為2，則 \( N \) 等於下列哪一個選項？
(1) \( 2^3 \)
(2) \( 2^4 \)
(3) \( 2^6 \)
(4) \( 2^8 \)
(5) \( 2^{12} \)

答案

\( \sqrt{\sqrt{\sqrt{N}}} = N^{\frac{1}{8}} = 2 \Rightarrow N = 2^8 \)
故選(4) 報錯
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