排列組合

\begin{align*}
&兩數和為奇數⇨一奇一偶；和為偶數⇨同奇/同偶。\\
\\
&計算各金額機率：\\
&① \ P(100元)=\frac{\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_6^2}=\frac{3×3}{15}=\frac{3}{5}；\\
&② \ P(50元)=\frac{\mathrm{C}_3^2}{\mathrm{C}_6^2}×\frac{\mathrm{C}_1^1\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_4^2}+\frac{\mathrm{C}_3^3}{\mathrm{C}_6^2}×\frac{\mathrm{C}_1^1\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_4^2}=\frac{3}{15}×\frac{3}{6}+\frac{3}{15}×\frac{3}{6}=\frac{1}{5}；\\
&③ \ P(0元)=1-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}。\\
\\
&期望値E=100×\frac{3}{5}+50×\frac{1}{5}+0×\frac{1}{5}=70（元），故選(2)。
\end{align*}

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分成以下二類，共8種分法： ①甲、a與d同袋： ②甲、a與e同袋：故選(1)(5)。

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分三種情況計算組合數：
① 當\((A, B, C) = (\text{甲乙}+1, 3, 2)\)時，組合數為：
\[
\mathrm{C}_6^1 \times \mathrm{C}_5^3 \times \mathrm{C}_2^2 = 6 \times 10 \times 1 = 60 \ (\text{種})
\]

② 當\((A, B, C) = (3, \text{甲乙}+1, 2)\)時，與①對稱，組合數同為：
\[
60 \ (\text{種})
\]

③ 當\((A, B, C) = (3, 3, \text{甲乙})\)時，組合數為：
\[
\mathrm{C}_3^3 \times \mathrm{C}_3^3 = 1 \times 1 \times 20？ 修正：此處對應\(\mathrm{C}_6^3 \times \mathrm{C}_3^3 = 20 \times 1 = 20 \ (\text{種})\)

合計所有情況：\(60 + 60 + 20 = 140\)（種）

故選(1)。

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針對3×3方格內放置○（避免任一行/列連成3個）的條件分析：

(1)×：若中心放○，且邊上有3個○，則某一行/列必出現3個○連線（不符合規則）。

(2)○：中心放○時，邊和角恰好各放2個○，可避免任一行/列連成3個○。

(3)×：中心放×，若邊上放2個×、角上放1個×，此配置是成立的，故該描述錯誤。

(4)○：中心放○的合法配置如下（共8種）：
\[
\begin{array}{cccc}
\boxed{\begin{matrix} \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \square & \bigcirc \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \square & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \square & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \square & \square & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \end{matrix}} \\
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \square & \bigcirc \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \square & \bigcirc & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \square & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \square & \bigcirc & \square \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \bigcirc & \square & \bigcirc \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \square & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \square & \bigcirc \end{matrix}} \\
\end{array}
\]

(5)×：中心放×的配置雖有8種，但不符合「避免連線」的核心條件（描述邏輯錯誤）。

故選(2)(4)。

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三位數共有 \(9 \times 10 \times 10 = 900\) 個。
滿足 \(a+b+c=9\) 的非負整數解，\(a\ge 1\)，令 \(a' = a-1\)，則 \(a'+b+c=8\)，\(a',b,c \ge 0\)，非負整數解個數為 \(\binom{8+3-1}{3-1} = \binom{10}{2} = 45\)。
機率 \(= \frac{45}{900} = \frac{1}{20}\)。
答案為 \(\frac{1}{20}\)。

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我們要計算
\[
\sum_{k=1}^5 \log_7 \left( \frac{2k-1}{2k+1} \right)
\]

將各項寫出：
\[
\log_7 \left( \frac{1}{3} \right) + \log_7 \left( \frac{3}{5} \right) + \log_7 \left( \frac{5}{7} \right) + \log_7 \left( \frac{7}{9} \right) + \log_7 \left( \frac{9}{11} \right)
\]

利用對數性質合併：
\[
= \log_7 \left( \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{5}{7} \times \frac{7}{9} \times \frac{9}{11} \right)
\]

分子分母相消後得到：
\[
= \log_7 \left( \frac{1}{11} \right) = -\log_7 11
\]

換底公式：
\[
\log_7 11 = \frac{\log 11}{\log 7}
\]

所以結果為：
\[
-\frac{\log 11}{\log 7}
\]

對應選項 (4)。

\[
\boxed{4}
\]

---

**解題：**

1. **先算沒有禁止規則的總數**
- 衣料選擇：5 種
- 模式選擇：4 種
- 附加功能 A、B、C 各可開或不開 → \(2^3 = 8\) 種
總數： \(5 \times 4 \times 8 = 160\) 種行程。

2. **減去「第一種衣料 + 附加功能 A 開啟」的非法情形**
- 衣料固定為第一種（1 種）
- 模式有 4 種
- 附加功能 A 必須開（固定），B 與 C 可開可不開 → \(2^2 = 4\) 種
非法數： \(1 \times 4 \times 4 = 16\) 種。

3. **合法行程數**
\(160 - 16 = 144\) 種。

---

**答案：**
\[
\boxed{144}
\]

$\begin{cases}恰有兩個8:C^4_2\times8\times7=336\\大於6400且最多只有一個8：\overset{64xx,65xx,67xx,68xx,69xx}{7\times6\times5}+\overset{7xxx,8xxx,9xxx}{8\times7\times6\times3}\end{cases}=1218$。答案為 $336+1218=1554$。

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由題意知，國文卷一定要在星期一發放，且英文卷不能在星期二發放，討論如下：

① 一、二、三、四
國 英
$\dfrac{3!}{\text{其他 3 科排二、三、四}} = 6$。

② 一、二、三、四
國 英
$\dfrac{3!}{\text{排一、二、四}} + \dfrac{3!}{\text{排二、三、四}} + \dfrac{3 \times 2!}{\text{星期二排兩科或星期四排兩科}} = 18$。

③ 一、二、三、四
國 英
$\dfrac{3!}{\text{排一、二、三}} + \dfrac{3!}{\text{排二、三、四}} + \dfrac{3 \times 2!}{\text{星期二排兩科或星期三排兩科}} = 18$。

所以共有$6 + 18 + 18 = 42$（種）。

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