某個手機程式，每次點擊螢幕上的數$a$後，螢幕上的數會變成 \( a^2 \)。當一開始時螢幕上的數b為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近 \( 81^3 \)，試問實數$b$最接近下列哪一個選項？
(1)$1.7$ (2)$3$ (3)$5.2$ (4)$9$ (5)$81$。
答案
數的大小比較
105學測數學考科–06
設 \((a_i)\) 為一等比數列。已知前十項的和為 \(\sum\limits_{i=1}^{10} a_i = 80\)，前五個奇數項的和為 \(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = 120\)，請選出首項 \( a_1 \) 的正確範圍。
(1) \( a_1 \lt 80 \) (2) \( 80 \leq a_1 \lt 90 \) (3) \( 90 \leq a_1 \lt 100 \) (4) \( 100 \leq a_1 \lt 110 \) (5) \( 110 \leq a_1 \)。
答案
設公比為 \( r \)。由 \( S_{10} = \frac{a_1(1-r^{10})}{1-r} = 80 \)，奇數項和 \( S_{奇} = \frac{a_1(1-r^{10})}{1-r^2} = 120 \)。相除得 \( 1+r = \frac{2}{3} \Rightarrow r = -\frac{1}{3} \)。代入得 \( a_1 (1 - (-\frac{1}{3})^{10}) = 80(1 - (-\frac{1}{3})) \Rightarrow a_1 \approx \frac{320}{3} \approx 106.67 \)。故選(4)。答案：(4) 報錯
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107學測數學考科-04
108學測數學考科-05
設正實數\(b\)滿足 \(\log(100)(\log b) + \log 100 + \log b = 7\)，試選出正確的選項。
(1) \(1 \leq b \leq \sqrt{10}\)
(2) \(\sqrt{10} \leq b \leq 10\)
(3) \(10 \leq b \leq 10\sqrt{10}\)
(4) \(10\sqrt{10} \leq b \leq 100\)
(5) \(100 \leq b \leq 100\sqrt{10}\)。
答案
108學測數學考科-12
設 \(f_1(x)\)、\(f_2(x)\) 為實係數三次多項式，\(g(x)\) 為實係數二次多項式。已知 \(f_1(x)\)、\(f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式分別為 \(r_1(x)\)、\(r_2(x)\)，試選出正確的選項。
(1) \(-f_1(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(-r_1(x)\)
(2) \(f_1(x)+f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(r_1(x)+r_2(x)\)
(3) \(f_1(x)f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(r_1(x)r_2(x)\)
(4) \(f_1(x)\) 除以 \(-3g(x)\) 的餘式為 \(\frac{-1}{3}r_1(x)\)
(5) \(f_1(x)r_2(x)-f_2(x)r_1(x)\) 可被 \(g(x)\) 整除。
答案
設\(f_i(x) = g(x)q_i(x) + r_i(x)\)，次數\(\deg(r_i) \lt 2\)。
(1) \(-f_1 = g(-q_1) + (-r_1)\)，餘式為\(-r_1\)。
(2) \(f_1+f_2 = g(q_1+q_2) + (r_1+r_2)\)，餘式為\(r_1+r_2\)。
(3) \(r_1 r_2\)可能為二次，不一定是餘式。
(4) 除式變為\(-3g\)，餘式仍為\(r_1\)。
(5) \(f_1 r_2 - f_2 r_1 = g(q_1 r_2 - q_2 r_1)\)，可被\(g\)整除。
故選(1)(2)(5)。答案：(1)(2)(5) 報錯
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109學測數學考科-05
試問數線上有多少個整數點與點 \(\sqrt{101}\) 的距離小於 5，但與點 \(\sqrt{38}\) 的距離大於 3？
(1) 1 個 (2) 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5) 10 個。
答案
110學測數學考科_C
105指考數學乙試題-02
考慮有理數 \(\frac{n}{m}\)，其中 \( m \)、\( n \) 為正整數且 \( 1 \leq mn \leq 8 \)。則這樣的數值（例如 \(\frac{1}{2} \)與 \(\frac{2}{4} \)同值，只算一個）共有幾個？
(1) 14個 (2) 15個 (3) 16個 (4) 17個 (5) 18個
答案
列出所有 \(m, n\) 正整數且 \(mn \leq 8\)，化為最簡分數後去重複：
\(m=1\)：\(n=1,\dots,8\) → 1,2,3,4,5,6,7,8
\(m=2\)：\(n=1,\dots,4\) → 1/2, 1, 3/2, 2 (去重複後得 1/2, 3/2)
\(m=3\)：\(n=1,2\) → 1/3, 2/3
\(m=4\)：\(n=1,2\) → 1/4, 1/2(重複), 2/4=1/2(重複) → 得 1/4
\(m=5\)：\(n=1\) → 1/5
\(m=6\)：\(n=1\) → 1/6
\(m=7\)：\(n=1\) → 1/7
\(m=8\)：\(n=1\) → 1/8
總共：8 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 17 個。
答案為 (4)。 報錯
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106指考數學乙試題-02
下列哪一個選項的值最大？
(1) \(\log_2 3\)
(2) \(\log_4 6\)
(3) \(\log_8 12\)
(4) \(\log_{16} 24\)
(5) \(\log_{32} 48\)
答案
利用換底公式：
(1) \(\log_2 3\)
(2) \(\log_4 6 = \frac{\log_2 6}{2} = \frac{1+\log_2 3}{2}\)
(3) \(\log_8 12 = \frac{\log_2 12}{3} = \frac{2+\log_2 3}{3}\)
(4) \(\log_{16} 24 = \frac{\log_2 24}{4} = \frac{3+\log_2 3}{4}\)
(5) \(\log_{32} 48 = \frac{\log_2 48}{5} = \frac{4+\log_2 3}{5}\)
設 \( t = \log_2 3 \approx 1.585 \)，計算：
(1) 1.585, (2) 1.293, (3) 1.195, (4) 1.146, (5) 1.117
最大為 (1)。
答案為 (1)。 報錯
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110指考數學乙試題-04
設 \( a = \log_2 8, b = \log_3 1, c = \log_{0.5} 8 \)，試選出正確的選項。
(1) \( b = 0 \)
(2) \( a + b + c > 0 \)
(3) \( a > b > c \)
(4) \( a^2 > b^2 > c^2 \)
(5) \( 2^a > 3^b > (\frac{1}{2})^c \)
答案
計算：\( a = \log_2 8 = 3 \)，\( b = \log_3 1 = 0 \)，\( c = \log_{0.5} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = -3 \)。
(1) 正確，\( b=0 \)
(2) 錯誤，\( a+b+c=3+0-3=0 \)
(3) 正確，\( 3 > 0 > -3 \)
(4) 正確，\( 9 > 0 > 9 \)？\( c^2=9 \)，\( a^2=9 \)，\( b^2=0 \)，故 \( a^2 = c^2 > b^2 \)，選項錯誤
(5) 正確，\( 2^a=8 \)，\( 3^b=1 \)，\( (\frac{1}{2})^c=2^{-c}=2^3=8 \)，故 \( 2^a = (\frac{1}{2})^c > 3^b \)，選項錯誤
答案：(1)(3) 報錯
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