二、(2) 已知數列 \( \langle a_n \rangle \) 的每一項都是有理數，試求 \( x \) 的值及所對應的公比。
[非選擇題]
答案
數的大小比較
109指考數學乙(補考)試題-非選擇二(3)
二、(3) 已知數列 \( \langle a_n \rangle \) 並不是每一項都是有理數，試求 \( x \) 的值及所對應的公比。
[非選擇題]
答案
$\begin{align*}
&(3) \ 因a_3不是有理數，故x非有理數，得x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}； \\
\\
&① 當x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}時，公比q=\frac{x+2}{2x+2}=\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{1+\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}； \\
&② 當x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}時，公比q=\frac{x+2}{2x+2}=\frac{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}{1-\sqrt{5}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}； \\
\end{align*}$
108指考數學乙試題-01
設 \( a \)、\( b \) 為循環小數， \( a = 0.\overline{12} \)、\( b = 0.\overline{01} \)，則 \( a – b \) 的值是下列哪一個選項？
(1) 0.11
(2) 0.1111
(3) \(\frac{1}{9}\)
(4) \(\frac{10}{99}\)
(5) \(\frac{100}{999}\)
答案
108指考數學乙試題-04
已知正整數 \(a\) 與正整數 \(b\) 的乘積是11位數，而 \(a\) 除以 \(b\) 的商之整數部分是2位數，則 \(a\) 可能為幾位數？
(1) 5位數
(2) 6位數
(3) 7位數
(4) 8位數
(5) 9位數
答案
已知對數關係：
\[
10 \leq \log(ab) < 11 \implies 10 \leq \log a + \log b < 11 \quad \dots \dots ①
\]
\[
1 \leq \log\frac{a}{b} < 2 \implies 1 \leq \log a - \log b < 2 \quad \dots \dots ②
\]
將①+②，得：
\[
11 \leq 2\log a < 13 \implies 5.5 \leq \log a < 6.5
\]
由對數意義可知：
- 若\(\log a \in [5.5, 6)\)，則\(a \in [10^{5.5}, 10^6)\)，即\(a\)是**6位數**；
- 若\(\log a \in [6, 6.5)\)，則\(a \in [10^6, 10^{6.5})\)，即\(a\)是**7位數**。
故\(a\)可能是6位數或7位數，選(2)(3)。
112學測數學B試題-09
已知 \( a=6 \)、\( b=\frac{20}{3} \)、\( c=2\sqrt{10} \) 和 \( d \)，且 \( d \) 為有理數，將這四個數標註在數線上，即 \( A(a) \)、\( B(b) \)、\( C(c) \) 和 \( D(d) \)。試選出正確的選項。
(1) \( a+b+c+d \) 必為一個有理數
(2) \( abcd \) 必為一個無理數
(3) 點 \( D \) 有可能與點 \( C \) 的距離等於 \( 2\sqrt{10}+6 \)
(4) 點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點位在點 \( C \) 的右邊
(5) 數線上和點 \( B \) 距離小於 8 的所有點中，正整數有 14 個，負整數有 1 個
答案
1. 分析選項(1)：
\( a \)、\( b \)、\( d \) 為有理數，\( c=2\sqrt{10} \) 為無理數，有理數 + 無理數 = 無理數，故 \( a+b+c+d \) 必為無理數，選項(1)錯誤。
2. 分析選項(2)：
若 \( d=0 \)（有理數），則 \( abcd = 6 \times \frac{20}{3} \times 2\sqrt{10} \times 0 = 0 \)（有理數），選項(2)錯誤。
3. 分析選項(3)：
點 \( D \) 與點 \( C \) 的距離為 \( |d - 2\sqrt{10}| \)，若 \( d = 2\sqrt{10} + (2\sqrt{10}+6) = 4\sqrt{10}+6 \)（但 \( d \) 需為有理數，而 \( 4\sqrt{10}+6 \) 是無理數）；若 \( d = 2\sqrt{10} - (2\sqrt{10}+6) = -6 \)（有理數），此時距離為 \( |-6 - 2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}+6 \)，符合條件，選項(3)正確。
4. 分析選項(4)：
點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點為 \( \frac{6 + \frac{20}{3}}{2} = \frac{\frac{38}{3}}{2} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \)，\( c=2\sqrt{10} \approx 6.32 \)，故中點 \( \frac{19}{3} > 2\sqrt{10} \)，位在點 \( C \) 右邊，選項(4)正確。
5. 分析選項(5)：
點 \( B = \frac{20}{3} \approx 6.67 \)，距離小於 8 的區間為 \( (\frac{20}{3} - 8, \frac{20}{3} + 8) = (-\frac{4}{3}, \frac{44}{3}) \)。正整數有 \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 \)（共14個），負整數有 \( -1 \)（共1個），選項(5)正確。
综上，正確選項為(3)(4)(5)。
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf