數線上有原點O及三點 \( A(-2) \)、\( B(10) \)、\( C(x) \)，其中x為實數。
已知線段 \( BC \)、\( AC \)、\( OB \) 長度大小關係為 \( BC < AC < OB \)，
則x的最大範圍為 \( \underline{\qquad} < x < \underline{\qquad} \)
數線概念
114分科測驗數學乙考科試卷-04
空間中有一個邊長為1的正立方體，點O為其中一個頂點，其餘7個頂點為A、B、C、D、E、F、G。已知\(\overline{OA}=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FG}=1\)且\(\overline{OG}>1\)，試選出距離點O最遠的頂點？
(1) C
(2) D
(3) E
(4) F
(5) G
答案
好的，我們先一步步推理。
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## 1. 題意理解
題目說：
- 空間中有一個邊長為 1 的正立方體。
- 點 \( O \) 是其中一個頂點。
- 其餘 7 個頂點是 \( A, B, C, D, E, F, G \)。
- 已知 \( OA = AB = BC = CD = DE = EF = FG = 1 \) 且 \( OG > 1 \)。
- 問距離 \( O \) 最遠的頂點是哪一個。
這裡關鍵是：
\( OA, AB, BC, CD, DE, EF, FG \) 都是 1，表示這是一條沿立方體邊或空間折線的「路徑」，每一步長度為 1，且每一步都是立方體的某條邊。
但立方體邊長是 1，所以這路徑是沿立方體的邊走，每一步到相鄰頂點。
---
## 2. 建立立方體座標
設 \( O = (0,0,0) \)。
立方體頂點集合為：
\[
(0,0,0),\ (1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1),\ (1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1),\ (1,1,1)
\]
令 \( O = (0,0,0) \)。
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## 3. 推測路徑
已知 \( OA = 1 \) → \( A \) 是與 \( O \) 相鄰的頂點，有三個可能：
\( (1,0,0) \)、\( (0,1,0) \)、\( (0,0,1) \)。
但題目還說 \( OG > 1 \)，而 \( G \) 是最後一個頂點，如果 \( O \) 和 \( G \) 是立方體對角線，則 \( OG = \sqrt{3} \approx 1.732 > 1 \)，所以 \( G \) 應該是 \( (1,1,1) \) 才對。
但 \( G \) 是路徑的最後一個頂點：
\( O \to A \to B \to C \to D \to E \to F \to G \)，每一步是立方體的邊（長度 1）。
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## 4. 檢查路徑唯一性
立方體是對稱的，但 \( OG > 1 \) 表示 \( G \) 與 \( O \) 不是同一點，也不是相鄰點（相鄰距離 1），也不是面對角線（距離 \(\sqrt{2}\) 也大於 1，但題目說 \( OG > 1 \) 其實包括 \(\sqrt{2}\) 和 \(\sqrt{3}\)，但這裡可能是排除 \( OG=1 \) 的情況，所以 \( G \) 不是 \( O \) 的鄰點）。
但 \( G \) 是路徑最後一步 \( FG = 1 \) 到達的，所以 \( G \) 是 \( F \) 的鄰點。
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如果 \( G = (1,1,1) \)，那麼 \( F \) 必須是與 \( (1,1,1) \) 距離 1 的頂點，即 \( (1,1,0) \)、\( (1,0,1) \)、\( (0,1,1) \) 之一。
路徑 \( O \to A \to \dots \to F \to G \) 必須遍歷 8 個頂點各一次（因為是沿立方體邊的哈密頓路徑，且長度 7 條邊，正好訪問全部 8 個頂點一次）。
所以這是一個**哈密頓路徑**，起點 \( O \)，終點 \( G \)，且 \( OG > 1 \)。
## 5. 各頂點到 \( O \) 的距離
- \( O = (0,0,0) \)
- \( A = (1,0,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( B = (1,1,0) \), 距離 \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
- \( C = (0,1,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( D = (0,1,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( E = (0,0,1) \), 距離 \( 1 \)
- \( F = (1,0,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( G = (1,1,1) \), 距離 \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
顯然 \( G \) 最遠。
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## 7. 答案
但題目選項是 (1) C (2) D (3) E (4) F (5) G。
最遠是 \( G \)，所以選 (5)。
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**最終答案：**
\[
\boxed{5}
\] 報錯
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108指考數學甲試題–B
在坐標平面上，\(A(a, r)\)、\(B(b, s)\)為函數圖形\(y=\log _{2}x\)上之兩點，其中\(a\lt b\)。已知\(A\)、\(B\)連線的斜率等於2，且線段\(\overline{AB}\)的長度為\(\sqrt{5}\)，則\((a, b)=\)( _____， _____) （化成最簡分數）。
[選填題]
答案
已知\(A(a,\log _{2}a)\)，\(B(b,\log _{2}b)\)，根據斜率公式\(k=\frac{\log _{2}b-\log _{2}a}{b - a}=2\)，即\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)。
由距離公式\(\sqrt{(b - a)^{2}+(\log _{2}b-\log _{2}a)^{2}}=\sqrt{5}\)，把\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)代入得\(\sqrt{(b - a)^{2}+4(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)。
即\(\sqrt{5(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)，\((b - a)^{2}=1\)，又\(a\lt b\)，所以\(b - a = 1\)，即\(b=a + 1\)。
將\(b=a + 1\)代入\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)，得\(\log _{2}\frac{a + 1}{a}=2\)，即\(\frac{a + 1}{a}=4\)，解得\(a=\frac{1}{3}\)，\(b=\frac{4}{3}\)。
所以\((a, b)=(\frac{1}{3},\frac{4}{3})\) 。 報錯
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03-113分科測驗數學甲試題10
坐 標 平 面 上,設 \( \Gamma \) 為 以 原 點 為 圓 心 的 圓,\( P \) 為 \( \Gamma \) 與 \( x \) 軸的 其中一 個 交 點。 已 知 通過 \( P \) 點且斜率為 \(\frac{1}{2}\) 的 直線交 \( \Gamma \) 於另 一 點 \( Q\),且 \( PQ = 1\),則 \( \Gamma \) 的半徑 為__________ 。
[選填]04 – 114學測數學b試題01
設數線上有一點\(P\)滿足\(P\)到\(1\)的距離加上\(P\)到\(4\)的距離等於\(4\)。試問這樣的\(P\)有幾個？(1) \(0\)個；(2) \(1\)個；(3) \(2\)個；(4) \(3\)個；(5) 無限多個
[單選]
答案
設點\(P\)表示的數為\(x\),則\(\vert x - 1\vert + \vert x - 4\vert = 4\)。當\(x \leq 1\)時,\(1 - x + 4 - x = 4\),解得\(x = \frac{1}{2}\)；當\(1 < x < 4\)時,\(x - 1 + 4 - x = 3 \neq 4\),無解；當\(x \geq 4\)時,\(x - 1 + x - 4 = 4\),解得\(x = \frac{9}{2}\)。所以這樣的\(P\)有\(2\)個。答案：(3) 報錯
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112學測數學B試題-09
已知 \( a=6 \)、\( b=\frac{20}{3} \)、\( c=2\sqrt{10} \) 和 \( d \)，且 \( d \) 為有理數，將這四個數標註在數線上，即 \( A(a) \)、\( B(b) \)、\( C(c) \) 和 \( D(d) \)。試選出正確的選項。
(1) \( a+b+c+d \) 必為一個有理數
(2) \( abcd \) 必為一個無理數
(3) 點 \( D \) 有可能與點 \( C \) 的距離等於 \( 2\sqrt{10}+6 \)
(4) 點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點位在點 \( C \) 的右邊
(5) 數線上和點 \( B \) 距離小於 8 的所有點中，正整數有 14 個，負整數有 1 個
答案
1. 分析選項(1)：
\( a \)、\( b \)、\( d \) 為有理數，\( c=2\sqrt{10} \) 為無理數，有理數 + 無理數 = 無理數，故 \( a+b+c+d \) 必為無理數，選項(1)錯誤。
2. 分析選項(2)：
若 \( d=0 \)（有理數），則 \( abcd = 6 \times \frac{20}{3} \times 2\sqrt{10} \times 0 = 0 \)（有理數），選項(2)錯誤。
3. 分析選項(3)：
點 \( D \) 與點 \( C \) 的距離為 \( |d - 2\sqrt{10}| \)，若 \( d = 2\sqrt{10} + (2\sqrt{10}+6) = 4\sqrt{10}+6 \)（但 \( d \) 需為有理數，而 \( 4\sqrt{10}+6 \) 是無理數）；若 \( d = 2\sqrt{10} - (2\sqrt{10}+6) = -6 \)（有理數），此時距離為 \( |-6 - 2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}+6 \)，符合條件，選項(3)正確。
4. 分析選項(4)：
點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點為 \( \frac{6 + \frac{20}{3}}{2} = \frac{\frac{38}{3}}{2} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \)，\( c=2\sqrt{10} \approx 6.32 \)，故中點 \( \frac{19}{3} > 2\sqrt{10} \)，位在點 \( C \) 右邊，選項(4)正確。
5. 分析選項(5)：
點 \( B = \frac{20}{3} \approx 6.67 \)，距離小於 8 的區間為 \( (\frac{20}{3} - 8, \frac{20}{3} + 8) = (-\frac{4}{3}, \frac{44}{3}) \)。正整數有 \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 \)（共14個），負整數有 \( -1 \)（共1個），選項(5)正確。
综上，正確選項為(3)(4)(5)。 報錯
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112學測數學B試題-11
坐標平面上有一圓，其圓心為 \( A(a,b) \)，且此圓與兩坐標軸皆相切，另有一點 \( P(c,c) \) 其中 \( a > c > 0 \)，且已知 \( \overline{PA} = a + c \)，試選出正確的選項。
(1) \( a = b \)
(2) 點 \( P \) 位於直線 \( x + y = 0 \) 上
(3) 點 \( P \) 在此圓內
(4) \( \frac{a + c}{b – c} = \sqrt{2} \)
(5) \( \frac{a}{c} = 2 + 3\sqrt{2} \)
答案
1. 分析選項(1)：
圓與兩坐標軸相切，圓心到x軸和y軸的距離相等且等於半徑，故 \( |a| = |b| = r \)。因 \( a > 0 \)，且圓與軸相切的位置可推得 \( b = a \)（若 \( b = -a \) 則圓在第四象限，與 \( a > c > 0 \) 及 \( P(c,c) \) 位置不符），故 \( a = b \)，選項(1)正確。
2. 分析選項(2)：
點 \( P(c,c) \) 滿足 \( x = y \)，即位於直線 \( x - y = 0 \) 上，而非 \( x + y = 0 \)，選項(2)錯誤。
3. 分析選項(3)：
圓的方程為 \( (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2 \)。點 \( P(c,c) \) 到圓心 \( A(a,a) \) 的距離 \( \overline{PA} = \sqrt{(a - c)^2 + (a - c)^2} = \sqrt{2}(a - c) \)，已知 \( \overline{PA} = a + c \)，故 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，解得 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)。
點 \( P \) 到圓心的距離平方為 \( 2(a - c)^2 \)，圓半徑平方為 \( a^2 \)。
計算 \( 2(a - c)^2 - a^2 = 2a^2 - 4ac + 2c^2 - a^2 = a^2 - 4ac + 2c^2 \)，代入 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)：
\( (3 + 2\sqrt{2})^2c^2 - 4(3 + 2\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (17 + 12\sqrt{2})c^2 - (12 + 8\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (7 + 4\sqrt{2})c^2 > 0 \)，故點 \( P \) 在圓外，選項(3)錯誤。
4. 分析選項(4)：
由 \( a = b \)，且 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，則 \( b - c = a - c \)，\( \frac{a + c}{b - c} = \frac{a + c}{a - c} = \frac{\sqrt{2}(a - c)}{a - c} = \sqrt{2} \)，選項(4)正確。
5. 分析選項(5)：
由 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，移項得 \( a(\sqrt{2} - 1) = c(\sqrt{2} + 1) \)，\( \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2} \)，而非 \( 2 + 3\sqrt{2} \)，選項(5)錯誤。
综上，正確選項為(1)(4)。 報錯
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112學測數學B試題-19
18-20 題為題組
空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿,其底座在一直線上且間距相等。某甲以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系,使得電線桿皆與\(y\)軸平行,三根底座的點分別為\(A_1(0,0)\)、\(A_2\)、\(A_3\),都在直線\(L:x + 3y = 0\)上；三根頂端的點分別為\(B_1(0,3)\)、\(B_2\)、\(B_3\),都在直線\(M:2x – 3y + 9 = 0\)上,如圖所示。已知\(A_3B_3 = 2A_1B_1\),且由單點透視法可知直線\(A_1B_3\)與直線\(A_3B_1\)的交點在直線\(A_2B_2\)上。設\(L\)和\(M\)相交於\(P\)點（此點又稱為「消失點」）。試求\(P\)與\(B_3\)這兩點的坐標。（非選擇題,\(6\)分）
[非選擇]
答案
1. 求\(P\)點坐標：
聯立直線\(L:x + 3y = 0\)與\(M:2x - 3y + 9 = 0\)的方程,將\(x = - 3y\)代入\(2x - 3y + 9 = 0\),得\(-6y - 3y + 9 = 0\),解得\(y = 1\),則\(x = - 3\),所以\(P(-3,1)\)。
2. 求\(B_3\)點坐標：
設\(A_3(x_0,y_0)\),因為\(A_3\)在\(L\)上,所以\(x_0 + 3y_0 = 0\),即\(x_0 = - 3y_0\)。\(A_1B_1 = 3\),\(A_3B_3 = 6\)。設\(B_3(x_1,y_1)\),\(B_3\)在\(M\)上,\(2x_1 - 3y_1 + 9 = 0\)。由兩點間距離公式\(\sqrt{(x_1 - x_0)^2+(y_1 - y_0)^2}=6\),將\(x_0 = - 3y_0\)代入並結合\(2x_1 - 3y_1 + 9 = 0\),解方程組得\(x_1 = 3\),\(y_1 = 5\),所以\(B_3(3,5)\)。綜上,\(P(-3,1)\),\(B_3(3,5)\)。 報錯
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