方程求解

已知 \( a, b \) 為實數，且方程組
\( ax + 5y + 12z = 4 \)
\( x + ay + \frac{8}{3}z = 7 \)
\( 3x + 8y + az = 1 \)
恰有一組解，又此方程組經過一系列的高斯消去法運算後，原來的增廣矩陣可化為
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & b & 7 \\ 0 & b & 5 & -5 \\ 0 & 0 & b & 0 \end{bmatrix} \)。
則 \( a = \) __________ , \( b = \) __________。（化為最簡分數）

某間新開幕飲料專賣店推出果汁、奶茶、咖啡三種飲料，前 3 天各種飲料的銷售數量 (單位：杯) 與收入總金額 (單位：元) 如下表，例如第一天果汁、奶茶、咖啡的銷售量分別為 60 杯、80 杯與 50 杯，收入總金額為 12900 元。已知同一種飲料每天的售價皆相同，則咖啡每杯的售價為 __________ 元。

設 a，b 為實數 (其中 a＞0)，若多項式 \( ax^2 + (2a+b)x – 12 \) 除以 \( x^2 + (2-a)x – 2a \) 所得餘式為 6，則數對 (a , b)＝ ( __________ , __________ )

已知實係數三次多項式 \(f(x)\) 除以 \(x+6\) 得商式 \(q(x)\) 和餘式 3。若 \(q(x)\) 在 \(x=-6\) 有最大值 8，則 \(y=f(x)\) 圖形的對稱中心坐標為 \((\)__________\(,\)__________\()\)。

坐標空間中，已知點 \(A\) 的坐標為 \((a, b, c)\)，其中 \(a\)，\(b\)，\(c\) 皆為小於 0 的實數，且知點 \(A\) 與三平面 \(E_1: 4y+3z=2\)、\(E_2: 3y+4z=-5\)、\(E_3: x+2y+2z=-2\) 的距離都是 6，則 \(a+b+c=\) __________。

考慮二元一次方程組 \(\begin{cases} ax + by = 6 \\ x + by = 1 \end{cases}\)，其係數 \(a, b\) 之值分別由投擲一顆公正骰子與一枚均勻硬幣來決定。令 \(a\) 值為骰子出現之點數；若硬幣出現正面時 \(b\) 值為 1，若硬幣出現反面時 \(b\) 值為 2。試選出正確的選項。
(1) 擲出 \(a = b\) 的機率為 \(\frac{1}{3}\)
(2) 此方程組無解的機率為 \(\frac{1}{12}\)
(3) 此方程組有唯一解的機率為 \(\frac{5}{6}\)
(4) 硬幣出現反面且此方程組有解的機率為 \(\frac{1}{2}\)
(5) 在硬幣出現反面且此方程組有解的條件下，\(x\) 值為正的機率為 \(\frac{2}{5}\)

某銷售站銷售甲、乙、丙三型手機，甲手機每支利潤 100 元，乙手機每支利潤 400 元，丙手機每支利潤 240 元。上年度甲、乙、丙手機各賣出 A，B，C 支，平均每支利潤為 260 元；且知銷售甲、乙兩型手機共 A＋B 支的平均每支利潤為 280 元。則該站上年度售出的三型手機數量比為 A：B：C＝ __________：__________：__________。(化為最簡整數比)

已知 \( f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \) 皆為實係數三次多項式，且除以 \( x^2 – 2x + 3 \) 的餘式分別為 \( x + 1 \)、\( x – 3 \)、\( -2 \)。若 \( yf(x) + ag(x) + bh(x) \) 可以被 \( x^2 – 2x + 3 \) 整除，其中 \( a, b \) 為實數，則 \(a = \) __________, \(b = \) __________。