已知實係數多項式 \( f(x) \) 除以 \( x^2 – 14x + 13 \) 的餘式為 \( ax + b \)，且 \( f(x) \) 除以 \( x – 1 \) 的餘式為4，則 \( a + b \) 的值為何？
(1) -1
(2) 0
(3) 1
(4) 4
(5) 13
答案
方程求解
107指考數學乙試題-非選擇一(3)
(3) 若方程式 \( f(x) = 0 \) 有相異實根，試證兩根之積小於 4。
[非選擇題]
答案
設 \( f(x) = a(x+2)^2 + b \)，且 \( f(x) = 0 \) 有兩相異實根 \( \alpha, \beta \)。
由 \( a(x+2)^2 + b = 0 \Rightarrow a(x^2 + 4x + 4) + b = 0 \Rightarrow ax^2 + 4a x + (4a+b) = 0 \)。
根與係數：\( \alpha\beta = \frac{4a+b}{a} = 4 + \frac{b}{a} \)。
由 (2) 知 \( \frac{b}{a} \lt 0 \)，所以 \( \alpha\beta \lt 4 \)。
得證。
105指考數學乙試題-04
設\(f(x)\)為一未知的實係數多項式，但知道\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)^2\)的餘式為\(5x^2+6x+7\)。根據上述所給條件，請選出正確的選項。
(1) 可求出\(f(0)\)之值
(2) 可求出\(f(1)\)之值
(3) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)^2\)的餘式
(4) 可求出\(f(x)\)除以\((x-6)^2\)的餘式
(5) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)\)的餘式
106指考數學乙試題-01
設 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) 為實係數多項式函數。若 \( f(1) = f(2) = 0 \) 且 \( f(3) = 4 \)，則 \( a + 2b + c \) 的值是下列哪一個選項？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 5
答案
109指考數學乙(補考)試題-_A
若 \( f(x) \) 為二次的實係數多項式函數，且滿足 \( f(0)+f(1)=5 \)，\( f(1)+f(2)=17 \)，\( f(2)+f(0)=14 \)，則 \( f(x)=\underline{\quad }x^2+\underline{\quad }x+9 \)
[選填題]
答案
\begin{align*}
&設 \ f(x) = ax^2 + bx + c，則： \\
&f(0) = c，\quad f(1) = a + b + c，\quad f(2) = 4a + 2b + c \\
\\
&將題目的條件代入，得聯立方程組： \\
&\begin{cases}
a + b + 2c = 5 \\
5a + 3b + 2c = 17 \\
4a + b + 2c = 14
\end{cases} \\
\\
&解此方程組，得 \ a = 3，\ b = 0，\ c = 1，故 \ f(x) = 3x^2 + 1。
\end{align*}
109指考數學乙(補考)-非選擇二(1)
二. 等比數列 \( \langle a_n \rangle \) 的前三項可表為 \(\begin{cases} a_1 = x^2 + x + 3 \\ a_2 = 2x + 2 \\ a_3 = x + 2 \end{cases}\)，其中 \( x \) 為實數。試回答下列問題。
(1) 試求 \( x \) 的所有可能值。
答案
$\begin{align*}
&(1) \ 因為\{a_n\}是等比數列，故\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}，代入得： \\
&\frac{2x+2}{x^2+x+3}=\frac{x+2}{2x+2} \implies (x+2)(x^2+x+3)=(2x+2)^2 \\
&\implies x^3 + 3x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 8x + 4 \implies x^3 - x^2 - 3x + 2 = 0 \\
\\
&用牛頓有理根檢驗法，可能有理根為\pm1,\pm2，代入得x=2是根，因式分解為： \\
&(x-2)(x^2+x-1)=0 \implies 解為 \ x=2,\ \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}$
108指考數學乙試題-稿B
已知實係數多項式 \( f(x) \) 除以 \( x^2 + 2 \) 的餘式為 \( x + 1 \)。若 \( xf(x) \) 除以 \( x^2 + 2 \) 的餘式為 \( ax + b \)，則數對 \((a, b) = ( \underline{\qquad} , \underline{\qquad} )\)。
[選填題]
答案
105指考數學甲試題-01
請問下列選項中哪一個數值 \(a\) 會使得 \(x\) 的方程式 \(\log a-\log x=\log (a – x)\) 有兩相異實數解?
(1)\(a = 1\)
(2)\(a = 2\)
(3)\(a = 3\)
(4)\(a = 4\)
(5)\(a = 5\)
答案
由\(\log a-\log x=\log (a - x)\)，根據對數運算法則可得\(\log\frac{a}{x}=\log (a - x)\)，則\(\frac{a}{x}=a - x\)（\(x\gt0\)，\(a - x\gt0\)），整理得\(x^{2}-ax + a = 0\)。
此方程有兩相異實數解，則判別式\(\Delta = a^{2}-4a\gt0\)，解得\(a\lt0\)或\(a\gt4\)。
又因為\(x\gt0\)，\(a - x\gt0\)，即\(x\lt a\)，且\(x\)是\(x^{2}-ax + a = 0\)的根，由韋達定理\(x_1 + x_2 = a\)，\(x_1x_2 = a\)，所以\(a\gt0\)。
綜上，\(a\gt4\)，只有\(a = 5\)滿足條件。
答案為(5)。
105指考數學甲試題-非選擇一(1)
如圖，已知圓\(O\)與直線\(BC\)、直線\(AC\) 、直線\(AB\)均相切，且分別相切於\(D\)、\(E\)、\(F\)。又\(BC = 4\)，\(AC = 5\)，\(AB = 6\) 。假設\(\overline{BF}=x\)，試利用\(x\)分別表示\(\overline{BD}\)，\(\overline{CD}\)以及\(\overline{AE}\)，並求出\(x\)之值。(4分)
[非選擇題]
答案
106指考數學甲試題-03
試問在\(0\leq x\leq2\pi\)的範圍中，\(y = 3\sin x\)的函數圖形與\(y = 2\sin2x\)的函數圖形有幾個交點？
(1)2個交點
(2)3個交點
(3)4個交點
(4)5個交點
(5)6個交點
答案
由\(3\sin x = 2\sin2x\)，根據二倍角公式\(\sin2x = 2\sin x\cos x\)，可得\(3\sin x = 2\times2\sin x\cos x\)。
移項得\(3\sin x - 4\sin x\cos x = 0\)，提取公因式\(\sin x\)得\(\sin x(3 - 4\cos x)=0\) 。
則\(\sin x = 0\)或\(3 - 4\cos x = 0\)。
當\(\sin x = 0\)時，\(x = 0,\pi,2\pi\)；
當\(3 - 4\cos x = 0\)時，\(\cos x=\frac{3}{4}\)，在\(0\leq x\leq2\pi\)範圍內，\(x = 2k\pi\pm\arccos\frac{3}{4}\)，\(k\in Z\)，此時有兩個解（\(k = 0\)時的兩個值）。
所以共有\(5\)個交點。
答案為(4)。