設多項式\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\) ，\(g(x)=x^{2}+ax + 1\) ，其中\(k\)，\(a\)為實數。已知\(g(x)\)整除\(f(x)\) ，且方程式\(g(x)=0\)有虛根。試選出為方程式\(f(x)=0\)的根之選項。
(1)\(-3\)
(2)\(0\)
(3)\(1\)
(4)\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\)
(5)\(\frac{3+\sqrt{-5}}{2}\)
答案
因為\(g(x)\)整除\(f(x)\)，設\(f(x)=(x + m)(x^{2}+ax + 1)=x^{3}+(a + m)x^{2}+(am + 1)x + m\) 。
對比\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\)的係數可得：\(a + m = 2\)，\(am + 1=-2\) ，解聯立方程得\(m = 3\)，\(a=-1\) 。
所以\(f(x)=(x + 3)(x^{2}-x + 1)\) ，對於一元二次方程\(x^{2}-x + 1 = 0\)，由求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)（此處\(a = 1\)，\(b=-1\)，\(c = 1\)）可得根為\(x=\frac{1\pm\sqrt{1 - 4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\) ，所以\(f(x)=0\)的根為\(-3\)，\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\) ，答案為(1)(4)。