〈方程求解〉彙整頁面 - 第 5 頁，總計 5 頁

03-113分科測驗數學甲試題09

設$a, b, c, d$為實數。已知兩聯立方程組$\begin{cases}ax + by = 2 \\ cx + dy = 1\end{cases}$、$\begin{cases}ax + by = -1 \\ cx + dy = -1\end{cases}$的增廣矩陣經過相同的列運算後，分別得到$\begin{bmatrix}1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix}$。求聯立方程組$\begin{cases}ax + by = 0 \\ cx + dy = 1\end{cases}$的解，即$x = \_\_\_$，$y = \_\_\_$。

答案

通過分析前兩個方程組的解，反推原係數：對第一個方程組，變換後解為$x = 5$，$y = 2$，代入$\begin{cases}ax + by = 2 \\ cx + dy = 1\end{cases}$；對第二個方程組，變換後解為$x = 1$，$y = -1$，代入$\begin{cases}ax + by = -1 \\ cx + dy = -1\end{cases}$。解得$a = 0$，$b = 1$，$c = -\frac{1}{7}$，$d = \frac{6}{7}$。代入所求方程組$\begin{cases}ax + by = 0 \\ cx + dy = 1\end{cases}$，即$\begin{cases}y = 0 \\ -\frac{1}{7}x + \frac{6}{7}y = 1\end{cases}$，解得$x = -7$，$y = 0$。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題05

設 $ f (x) $ 為三次實係數多項式。已知 $ f (−2 − 3i) = 0$（其中 $ i=\sqrt{-1} $）,且 $ f (x) $ 除以 $ x^{2}+x – 2$ 的餘式為 18 。試選出正確的選項。
(1) $ f (2 + 3i) = 0$
(2) $ f (−2) = 18$
(3) $ f (x) $ 的三次項係數為負
(4) $ f (x) = 0$ 恰有一正實根
(5) $ y = f (x) $ 圖形的對稱中心在第一象限

答案

(1) 實系數多項式的虛根成對出現,所以 $f (-2 + 3i) = 0$,(1) 錯
(2) $x^{2}+x - 2=(x + 2)(x - 1)$,令 $f(x)=(x^{2}+x - 2)q(x)+18$,則 $f(-2)=18$,(2) 對；
(3) $令f(x)=[x-(-2-3i)][x-(-2+3i)](ax+b)=(x^2+4x+13)(px+q)\\
\because f(-2)=18=f(1)~~x=-2,1代入上式\\
解得p=-\frac{1}{3},q=\frac{4}{3}$,(3) 對；
(4) $by(3),可令px+q=0,解得第三根x=4$,(4) 對；
(5) 代對稱中心公式 $(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$,即可判定,(5) 錯。
答案是(2)(3)(4)。報錯
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111分科數學甲試題-04

設多項式$f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k$ ，$g(x)=x^{2}+ax + 1$ ，其中$k$，$a$為實數。已知$g(x)$整除$f(x)$ ，且方程式$g(x)=0$有虛根。試選出為方程式$f(x)=0$的根之選項。(1)$-3$(2)$0$(3)$1$(4)$\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$(5)$\frac{3+\sqrt{-5}}{2}$

答案

因為$g(x)$整除$f(x)$，設$f(x)=(x + m)(x^{2}+ax + 1)=x^{3}+(a + m)x^{2}+(am + 1)x + m$ 。
對比$f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k$的係數可得：$a + m = 2$，$am + 1=-2$ ，解聯立方程得$m = 3$，$a=-1$ 。
所以$f(x)=(x + 3)(x^{2}-x + 1)$ ，對於一元二次方程$x^{2}-x + 1 = 0$，由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（此處$a = 1$，$b=-1$，$c = 1$）可得根為$x=\frac{1\pm\sqrt{1 - 4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$ ，所以$f(x)=0$的根為$-3$，$\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ ，答案為(1)(4)。報錯
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04 – 114學測數學b試題06

設$a$,$b$,$c$為實數,且多項式$f(x) = a(x – 1)(x – 3) + b(x – 1)(x – 4) + c(x – 3)(x – 4)$經化簡後,得$f(x) = x^2$。有關$a$,$b$,$c$的大小關係,試選出正確的選項。(1) $a > b > c$；(2) $a > c > b$；(3) $b > c > a$；(4) $c > a > b$；(5) $c > b > a$

答案

要解決這個問題，我們可以通過**代入特殊值法**或**比較系數法**來求解 $a, b, c$ 的值，再比較它們的大小。

### 步驟1：代入特殊值求 $a, b, c$
已知 $f(x) = a(x-1)(x-3) + b(x-1)(x-4) + c(x-3)(x-4) = x^2$，我們可以選擇使某些項為0的 $x$ 值，簡化計算：

- **求 $a$**：令 $x = 4$，則 $b$ 和 $c$ 的項均為0：
\[
f(4) = a(4-1)(4-3) + 0 + 0 = 3a = 4^2 = 16 \implies a = \frac{16}{3}
\]

- **求 $b$**：令 $x = 3$，則 $a$ 和 $c$ 的項均為0：
\[
f(3) = 0 + b(3-1)(3-4) + 0 = -2b = 3^2 = 9 \implies b = -\frac{9}{2}
\]

- **求 $c$**：令 $x = 1$，則 $a$ 和 $b$ 的項均為0：
\[
f(1) = 0 + 0 + c(1-3)(1-4) = 6c = 1^2 = 1 \implies c = \frac{1}{6}
\]

### 步驟2：比較 $a, b, c$ 的大小
- $a = \frac{16}{3} \approx 5.33$
- $c = \frac{1}{6} \approx 0.17$
- $b = -\frac{9}{2} = -4.5$

因此，大小關系為 $a > c > b$。

### 最終答案
選項 $\boxed{(2)}$ 報錯
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113學測數學B試題-09

已知多項式$f(x)$除以$x^{2}+5x + 1$後,所得出的商式為$x^{3}+7x^{2}+x + 3$,試選出下列可能為$f(x)$的選項。(1) $2(x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)$；(2) $(x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)-x$；(3) $(x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)+x^{2}$；(4) $(x^{3}+7x^{2}+x + 4)(x^{2}+5x + 1)-x$；(5) $(x^{3}+7x^{2}+x + 4)(x^{2}+5x + 1)-x^{2}$

答案

我們已知：

\[
f(x) = (x^2 + 5x + 1)(x^3 + 7x^2 + x + 3) + r(x),
\]
其中 $ r(x) $ 是餘式，且 $\deg r(x) < 2$。所以 $ r(x) = ax + b $，其中 $ a, b $ 是常數。 --- **檢查選項：** (1) $ 2(x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) $ 這相當於 $ f(x) = 2Q(x)D(x) $，商式是 $ 2Q(x) $，不是 $ Q(x) $，不符合題目給的商式。 ❌ --- (2) $ (x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) - x $ 這相當於 $ f(x) = Q(x)D(x) - x $，商式 $ Q(x) $，餘式 $ -x $，符合條件。 ✅ --- (3) $ (x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) + x^2 $ 餘式 $ x^2 $，但 $\deg x^2 = 2$，不滿足餘式次數 < 2，所以商式會改變。 ❌ --- (4) $ (x^3 + 7x^2 + x + 4)(x^2 + 5x + 1) - x $ 設 $ Q_1(x) = x^3 + 7x^2 + x + 4 $，比題目給的商式 $ Q(x) $ 多 1（常數項差 1）。 \[ f(x) = Q_1(x)D(x) - x = [Q(x) + 1]D(x) - x = Q(x)D(x) + D(x) - x. \] 這相當於商式 $ Q(x) $，餘式 $ D(x) - x = (x^2 + 5x + 1) - x = x^2 + 4x + 1 $，次數 2，不行。 ❌ --- (5) $ (x^3 + 7x^2 + x + 4)(x^2 + 5x + 1) - x^2 $ \[ f(x) = [Q(x) + 1]D(x) - x^2 = Q(x)D(x) + D(x) - x^2 = Q(x)D(x) + (x^2 + 5x + 1 - x^2) = Q(x)D(x) + (5x + 1). \] 餘式 $ 5x + 1 $，次數 1，商式 $ Q(x) $，符合條件。 ✅ --- 所以正確選項是 **(2)** 和 **(5)**。 --- **答案：** $\boxed{2,5}$ 報錯
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112學測數學B試題-06

某甲計算多項式 $f(x) = x^{3}+ax^{2}+bx + c$ 除以 $g(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx + d$ 的餘式,其中 $a, b, c, d$ 為實數,且 $a\neq0$。他誤看成 $g(x)$ 除以 $f(x)$,計算後得出餘式為 $-3x – 17$。假設 $f(x)$ 除以 $g(x)$正確的餘式等於 $px^{2}+qx + r$,則 $p$ 的值會等於下列哪個選項？(1) $-3$ (2) $-1$ (3) $0$ (4) $2$ (5) $3$

答案

設 $g(x)=m(x)f(x)+(-3x - 17)$,因為 $f(x)$ 是三次多項式,$g(x)$ 也是三次多項式,所以 $m(x)$ 為常數,設 $m(x)=k$,則 $ax^{3}+bx^{2}+cx + d=k(x^{3}+ax^{2}+bx + c)-3x - 17$,比較三次項系數得 $k = a$,即 $ax^{3}+bx^{2}+cx + d=a(x^{3}+ax^{2}+bx + c)-3x - 17$,展開得 $ax^{3}+bx^{2}+cx + d=ax^{3}+a^{2}x^{2}+abx + ac - 3x - 17$,比較二次項系數 $b = a^{2}$,一次項系數 $c = ab - 3$。那麽 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 時,由於 $f(x)$ 與 $g(x)$ 最高次項次數相同,商為 $\frac{1}{a}$,余式為 $f(x)-\frac{1}{a}g(x)$,經計算可得 $p = 0$。答案：(3) 報錯
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112學測數學B試題-13

有兩個正實數 $ a $、$ b $，已知 $ ab^2 = 10^5 $，$ a^2b = 10^3 $，則 $ \log b = \frac{\boxed{13-1}}{\boxed{13-2}} $（化為最簡分數）。

答案

1. 對兩式取常用對數（以10為底）：
- 由 $ ab^2 = 10^5 $，得 $ \log a + 2\log b = 5 $ （記為式1）
- 由 $ a^2b = 10^3 $，得 $ 2\log a + \log b = 3 $ （記為式2）

2. 解聯立方程：
- 式1×2：$ 2\log a + 4\log b = 10 $
- 減去式2：$ (2\log a + 4\log b) - (2\log a + \log b) = 10 - 3 $
- 化簡得：$ 3\log b = 7 \implies \log b = \frac{7}{3} $

故 $ 13-1 = 7 $，$ 13-2 = 3 $，答案為 $ \frac{7}{3} $。報錯
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