時間與周期的計算
114學測數學A考科_10
令 \(\Gamma\) 為坐標平面上 \(y=\sin \pi x\) 在 \(0 \leq x \leq 3\) 內之函數圖形。一水平直線 \(L: y=k\) 與 \(\Gamma\) 相交，其中三交點 \(P(x_1, k), Q(x_2, k), R(x_3, k)\) 滿足 \(x_1 \lt x_2 \lt 1 \lt x_3\)。試選出正確的選項。
(1) \(k \gt 0\)
(2) \(L\) 與 \(\Gamma\) 恰有 3 個交點
(3) \(x_1 + x_2 \lt 1\)
(4) 若 \(2PQ = QR\)，則 \(k = \frac{1}{2}\)
(5) \(L\) 與 \(\Gamma\) 所有交點的 \(x\) 坐標之和大於 5
答案
109學測自然試題-39
36-40為題組
…
39. 依據圖8所示，下列關於腦電波的敘述何者正確？
(A)腦電波的頻率為波長與波速的乘積
(B)深睡眠，腦電波的頻率最高
(C)深睡眠，腦電波的週期大於2秒
(D)腦倦人眠時，腦電波的頻率大於5 Hz
(E)清醒活動時，腦電波的頻率最高，大於1000 Hz
答案
04 – 114學測數學b試題17
某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的\(LED\)燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：
紅色：「亮\(3\)秒, 再暗\(1\)秒, 再亮\(2\)秒」；
綠色：「亮\(6\)秒, 再暗\(2\)秒」；
藍色：「亮\(k\)秒,再暗 \((15 – k)\) 秒」,其中\(k\)為正整數。
若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環,面板上都一直有燈亮著,並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略,則\(k\)的最小值為 \(\underline{○17 – 1}\ \underline{○17 – 2}\)。
答案
- 紅燈週期 6 秒：亮 3 秒 → 暗 1 秒 → 亮 2 秒 ⇒ **僅在第 3～4 秒暗**
- 綠燈週期 8 秒：亮 6 秒 → 暗 2 秒 ⇒ **在第 6～8 秒暗**
- 藍燈週期 15 秒：亮 \(k\) 秒 → 暗 \(15 - k\) 秒 ⇒ **在第 \(k\)～15 秒暗**
要求：**任何時刻至少一燈亮** → **三燈不能同時暗**
---
### 關鍵：找出紅與綠「同時暗」的時刻，再讓藍燈在那些時刻「亮」。
紅暗：\( t \equiv 3 \pmod{6} \)（即 \( t = 3,9,15,21,27,33,\dots \)）
綠暗：\( t \equiv 6,7 \pmod{8} \)（即 \( t = 6,7,14,15,22,23,30,31,\dots \)）
找共同時刻（在 0～120 秒內，LCM(6,8,15)=120）：
- \( t = 15 \)：紅暗（15≡3 mod 6），綠暗（15≡7 mod 8）✅
- \( t = 39 \)：39≡3 mod 6，39≡7 mod 8 ✅
- \( t = 63 \)：63≡3 mod 6，63≡7 mod 8 ✅
- \( t = 87 \)：87≡3 mod 6，87≡7 mod 8 ✅
- \( t = 111 \)：111≡3 mod 6，111≡7 mod 8 ✅
這些是紅綠同暗的時刻：
**15, 39, 63, 87, 111**
藍燈在時刻 \( t \) 亮 ⇔ \( t \bmod 15 < k \)
所以，要讓上述每個 \( t \) 滿足：
\[
t \bmod 15 < k
\]
計算：
- \( 15 \bmod 15 = 0 \)
- \( 39 \bmod 15 = 9 \)
- \( 63 \bmod 15 = 3 \)
- \( 87 \bmod 15 = 12 \)
- \( 111 \bmod 15 = 6 \)
→ 藍燈需在餘數 **0, 3, 6, 9, 12** 時亮
即：這些餘數都必須 **< k**
最大餘數為 **12**，故需：
\[
k > 12 \quad \Rightarrow \quad k \geq 13
\]
最小正整數 \( k = 13 \)
### ✅ 正確答案：\( \dfrac{13}{1} \)
紅綠同暗時刻模 15 的餘數為：0, 3, 6, 9, 12
藍燈需在這些時刻亮 ⇒ \( k > 12 \) ⇒ 最小 \( k = 13 \)
**答：** \( \boxed{\dfrac{13}{1}} \) 報錯
ChatGPT DeepSeekhttps://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0p051541901400830673/04-114%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
113學測數學B試題-10
有兩個光點在一條長度為120公分的直線形軌道上移動,碰到端點就反向繼續移動。一開始兩點分別在軌道的兩端相向而動,光點\(A\)、光點\(B\)的移動速率分別為每秒5公分及每秒10公分。 試選出正確的選項。(1) 兩個光點第一次相遇的位置,與其中一個端點的距離為40公分；(2) 光點\(A\)的位置呈週期現象,週期為24秒；(3) 當光點\(A\)回到\(A\)的出發點時,光點\(B\)也在\(B\)的出發點；(4) 兩個光點第二次相遇在其中一個端點上；(5) 兩個光點在軌道上共有3個不同的相遇位置
答案
我們先整理已知條件：
- 軌道長 \( L = 120 \) 公分
- A 從左端（位置 0）出發向右，速率 \( v_A = 5 \) cm/s
- B 從右端（位置 120）出發向左，速率 \( v_B = 10 \) cm/s
- 碰到端點就反向（彈性碰撞，速度反向）
---
## 1. 第一次相遇
初始相距 \( 120 \)，相對速度 \( 5 + 10 = 15 \) cm/s
第一次相遇時間 \( t_1 = \frac{120}{15} = 8 \) 秒
A 移動 \( 5 \times 8 = 40 \) cm，從位置 0 到 40
B 移動 \( 10 \times 8 = 80 \) cm，從位置 120 到 40
所以第一次相遇在位置 40。
**(1)** 說「與其中一個端點的距離為 40 公分」
從左端 0 到 40 是 40 cm，從右端 120 到 40 是 80 cm，所以「與其中一個端點」的距離是 40 cm 沒錯。 ✅
---
## 2. A 的週期
A 從 0 到 120 需 \( \frac{120}{5} = 24 \) 秒，再從 120 回到 0 需 24 秒，所以回到原位置且速度方向相同（向右）的週期是 \( 48 \) 秒。
但題目 (2) 說「位置呈週期現象，週期為 24 秒」：
位置函數（不考慮方向）在反彈後會對稱，但從 0 到 120 再回到 0 的「位置圖」是三角波，半週期 24 秒回到原點但速度反向，全週期 48 秒才完全重複（位置與速度方向都相同）。
如果只考慮位置（不考慮速度方向），週期是 24 秒嗎？
檢查：
A 在 t=0 位置 0，t=24 位置 120，t=48 位置 0，所以位置函數 \( x_A(t) \) 滿足 \( x_A(t+24) = L - x_A(t) \)，不是 \( x_A(t+24) = x_A(t) \)，所以位置本身週期不是 24，而是 48。
因此 (2) ❌
---
## 3. A 回到出發點時 B 是否也在出發點
A 回到出發點（位置 0）的時間：
從 0 到 120 需 24 秒（在右端），再回到 0 需 48 秒（在左端），所以回到出發點的時間是 48 秒的整數倍： \( t = 48k \) 秒。
B 的運動：從 120 向左到 0 需 \( \frac{120}{10} = 12 \) 秒，再從 0 向右到 120 需 12 秒，所以 B 回到出發點（位置 120）的時間是 \( t = 24m \) 秒（因為每 24 秒回到右端一次）。
A 回到出發點的時間：48, 96, ...
B 回到出發點的時間：24, 48, 72, 96, ...
在 48 秒時，A 在 0（出發點），B 在 120（出發點）嗎？
檢查 B：
0–12 秒：B 從 120 到 0
12–24 秒：B 從 0 到 120（t=24 在 120）
24–36 秒：B 從 120 到 0
36–48 秒：B 從 0 到 120（t=48 在 120） ✅
所以 t=48 時兩者都在出發點。
**(3)** 說「當光點 A 回到 A 的出發點時，光點 B 也在 B 的出發點」
我們只驗證了 t=48 秒成立，但題目意思是「每次 A 回到出發點時，B 也在出發點」？
A 回到出發點時間：48k
B 回到出發點時間：24m
48k 必是 24 的倍數，所以 B 在端點，但不一定在「B 的出發點（120）」？
B 的出發點是 120，B 在端點有兩個：0 和 120。
B 在 t=24m 時在 120，在 t=12+24m 時在 0。
48k 是偶數個 24，所以 m 是偶數？ 48k/24 = 2k 是偶數，所以 B 在 120。
所以確實每當 A 在 0 時，B 在 120。
因此 (3) ✅
---
## 4. 第二次相遇在端點？
第一次相遇在 t=8，位置 40。
之後兩者交換速度嗎？不，是實際的物體，不是交換速度的質點，所以各自繼續運動（但反向）。
第一次相遇後：
A 在 40 向右 5，B 在 40 向左 10。
B 先到左端 0：從 40 到 0 需 4 秒（B 向左 10 cm/s），此時 t=12。
A 從 40 向右走 4 秒到 60。
B 在 0 反彈向右 10，A 在 60 向右 5。
從 t=12 起：
A 在 60 向右 5，B 在 0 向右 10，B 追 A？ 相對速度 5，距離 60，需 12 秒，在 t=24 時追上。
位置：B 從 0 向右 10×12=120，到 120（右端），A 從 60 向右 5×12=60，到 120。
所以第二次相遇在 t=24，位置 120（右端）。
**(4)** 說「第二次相遇在其中一個端點上」✅
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## 5. 共有 3 個不同的相遇位置
第一次：位置 40
第二次：位置 120
第三次相遇：
第二次相遇在 t=24 位置 120 時，A 本來向右到右端 120，B 向左？ 不對，檢查 t=24 時：
A 在 120 正要反彈向左 5，B 在 120 正要反彈向左？ 不對，B 在 t=24 時從右端 120 反彈向左 10，所以兩者都在 120 反彈向左，但速度不同（A 向左 5，B 向左 10）。
所以第三次相遇：
t=24 後，B 速度 10 向左，A 速度 5 向左，B 在前面？ 不對，位置相同，B 更快向左，所以 B 會在前面，那怎麼相遇？
其實它們在端點相遇後，B 較快向左，A 較慢向左，所以 B 在前面，不可能再相遇，除非 B 到左端反彈向右再追上 A。
我們改用相對運動分析：
在坐標系中，把反彈展開成直線運動（鏡像法）：
A 的展開位置函數：\( X_A(t) = 5t \)（模 240 的三角波轉成直線 5t 再折回）
B 的展開位置函數：\( X_B(t) = 120 - 10t \)（模 240 的三角波）
相遇時 \( 5t \equiv 120 - 10t \pmod{240} \)
即 \( 15t \equiv 120 \pmod{240} \)
\( 15t = 120 + 240k \)
\( t = 8 + 16k \)
k=0: t=8（位置 40）
k=1: t=24（位置 120）
k=2: t=40（位置 40）
k=3: t=56（位置 120）
… 交替在 40 和 120 相遇。
所以只有 2 個不同相遇位置：40 和 120。
**(5)** 說「共有 3 個不同的相遇位置」❌
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**正確選項：** (1)(3)(4)
---
111學測數學B試題-02
某燈會布置變色閃燈,每次啟動後的閃燈顏色會依照以下的順序做週期性變換：藍-白 -紅-白-藍-白-紅-白-藍-白-紅-白 …,每四次一循環,其中藍光每次持續\(5\)秒,白光每次持續\(2\)秒,而紅光每次持續\(6\)秒。假設換燈號的時間極短可被忽略,試選出啟動後第\(99\)至\(101\)秒之間的燈號。(1) 皆為藍燈；(2) 皆為白燈；(3) 皆為紅燈；(4) 先亮藍燈再亮白燈；(5) 先亮白燈再亮紅燈
答案
一個循環的時間為\(5 + 2 + 6 + 2 = 15\)秒。\(99\div15 = 6\cdots\cdots9\),即經過\(6\)個完整循環後,再從藍燈開始算第\(9\)秒。前\(5\)秒藍燈,\(5 + 2 = 7\)秒時為白燈,\(7 + 6 = 13\)秒時為紅燈,所以第\(9\)秒是白燈,第\(100\)秒是白燈,第\(101\)秒也是白燈。答案：(2) 報錯
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