一隻青蛙位於坐標平面的原點，每步隨機朝上、下、左、右跳一單位長，總共跳了四步。青蛙跳了四步後恰回到原點的機率為__________。（化成最簡分數）
[選填題]
答案
期望值
114學測數學A考科_15
假日市集有個攤位推出「試試手氣，定價 480 元的可愛玩偶最低只要 240 元」。規則為：顧客投擲一枚均勻硬幣至多 5 次，前 3 次連續擲得 3 個正面者則只能以 240 元購得一個玩偶，擲到第 4 次才累積得 3 個正面者則只能以 320 元購得一個，擲到第 5 次才累積得 3 個正面者則只能以 400 元購得一個；5 次投完仍未累積 3 個正面者則只能以 480 元購得一個。參與此遊戲的顧客購得一個玩偶所花金額的期望值為 __________ 元。
[選填題]
答案
計算各情況機率：
240元：\(\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)；
320元：\(C^3_2\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{3}{16}\)；
400元：\(C^4_2\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{3}{16}\)；
480元：\(1-\frac{1}{8}-\frac{3}{16}-\frac{3}{16}=\frac{1}{2}\)。
期望值 \(=240\times\frac{1}{8}+320\times\frac{3}{16}+400\times\frac{3}{16}+480\times\frac{1}{2}=405\) 元。
113學測數學A考科_15
某商場舉辦現場報名的摸彩箱抽獎活動，報名截止後，主持人依報名人數置入同數量的摸彩球，其中有10顆被標示為幸運獎，其獎項為5000元禮券及8000元禮券各5顆，每顆球被抽中的機率皆相同，抽後不放回。抽獎前，主辦單位依獎項個數與報名人數，主持人公告中獎機率為0.4%。開始抽獎後，每人依序抽球，每個人只有一次抽獎機會。若前100位參加抽獎者，恰有1人抽中5000元禮券且沒有人抽中8000元禮券，則抽獎順序為第101號者可獲禮券金額的期望值為 __________ 元。
[選填題]
答案
106指考數學乙試題-03
有一個不公正的骰子，投擲一次出現1點的機率與出現3點的機率之和是0.2，出現2點的機率與出現4點的機率之和是0.4，出現5點的機率與出現6點的機率之和是0.4。試選出正確的選項。
(1) 出現1點的機率是0.1
(2) 出現4點的機率大於出現3點的機率
(3) 出現偶數點的機率是0.5
(4) 出現奇數點的機率小於0.5
(5) 投擲點數的期望值至少是3
答案
設 \( P(1)=a, P(3)=b, P(2)=c, P(4)=d, P(5)=e, P(6)=f \)。
已知：
\( a+b=0.2 \)
\( c+d=0.4 \)
\( e+f=0.4 \)
且 \( a+b+c+d+e+f=1 \)（已滿足）。
(1) 無法確定 a 是否為 0.1，錯誤。
(2) 無法比較 d 與 b 大小，錯誤。
(3) 偶數點機率 = \( c+d+f \)，但已知 \( c+d=0.4 \)，但 f 未知，不一定為 0.5，錯誤。
(4) 奇數點機率 = \( a+b+e = 0.2+e \)，因 \( e \leq 0.4 \)，所以 \( \leq 0.6 \)，但無法確定是否 < 0.5，錯誤。
(5) 期望值 = \( 1a+2c+3b+4d+5e+6f \)
= \( (a+b) + 2(c+d) + 3(b? ) \) 重組：
= \( a+3b + 2c+4d + 5e+6f \)
= \( (a+b) + 2b + 2(c+d) + 2d + 5e+6f \)
= \( 0.2 + 2b + 0.8 + 2d + 5e+6f \)
= \( 1.0 + 2b+2d+5e+6f \)
又 \( e+f=0.4 \)，最小值當 \( b=d=0, e=0, f=0.4 \) 時，期望值 = $1.0 + 0 + 0 + 0 + 2.4 = 3.4 \gt 3$，所以至少是 3，正確。
答案為 (5)。
110指考數學乙試題-03
某公司舉辦年終抽獎活動，每人從編號分別為1至6的六張牌中隨機抽取兩張。假設每張牌抽到的機會均相等，且規則如下：
（一）若這兩張牌的號碼之和是奇數，則可得獎金100元，此時抽獎結束；
（二）若號碼之和為偶數，就將這兩張牌丟掉，再從剩下的四張牌中隨機抽取兩張牌，且其號碼之和為奇數，則可得獎金50元，其他情形則沒有獎金，此時抽獎結束。
依上述規則，試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元？
(1) 50
(2) 70
(3) 72
(4) 80
(5) 100
答案
\begin{align*}
&兩數和為奇數⇨一奇一偶；和為偶數⇨同奇/同偶。\\
\\
&計算各金額機率：\\
&① \ P(100元)=\frac{\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_6^2}=\frac{3×3}{15}=\frac{3}{5}；\\
&② \ P(50元)=\frac{\mathrm{C}_3^2}{\mathrm{C}_6^2}×\frac{\mathrm{C}_1^1\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_4^2}+\frac{\mathrm{C}_3^3}{\mathrm{C}_6^2}×\frac{\mathrm{C}_1^1\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_4^2}=\frac{3}{15}×\frac{3}{6}+\frac{3}{15}×\frac{3}{6}=\frac{1}{5}；\\
&③ \ P(0元)=1-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}。\\
\\
&期望値E=100×\frac{3}{5}+50×\frac{1}{5}+0×\frac{1}{5}=70（元），故選(2)。
\end{align*}
110指考數學乙試題-_C
已知一個不均勻銅板，投擲時出現正面的機率為 \(\frac{1}{3}\)，出現反面的機率為 \(\frac{2}{3}\)。今在坐標平面上有一顆棋子，依投擲此銅板的正反面結果，前進至下一個位置，規則如下：
（一）若擲出為正面，則從目前位置依著向量 \((-1,2)\) 的方向與長度，前進至下一個位置；
（二）若擲出為反面，則從目前位置依著向量 \((1,0)\) 的方向與長度，前進至下一個位置。
例如：棋子目前位置在坐標 \((2,4)\)，若擲出反面，則棋子前進至坐標 \((3,4)\)。
假設棋子以原點 \((0,0)\) 為起始點，依上述規則，連續投擲此銅板6次，且每次投擲均互相獨立，則經過6次移動後，棋子停在坐標 \((\underline{\qquad}, \underline{\qquad})\) 的機率最大。
答案
設正面次數為k，反面次數為6-k。最終位置：\( x = -k + (6-k) = 6-2k \)，\( y = 2k \)。
機率 \( P(k) = C_6^k (\frac{1}{3})^k (\frac{2}{3})^{6-k} \)。比較相鄰機率：
\( \frac{P(k)}{P(k-1)} = \frac{C_6^k}{C_6^{k-1}} \cdot \frac{1/3}{2/3} = \frac{6-k+1}{k} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7-k}{2k} \)。
當 \( \frac{7-k}{2k} > 1 \) 時遞增，即 \( 7-k > 2k \)，\( 7 > 3k \)，\( k < 2.33 \)。故k=0,1,2遞增，k=2後遞減。最大機率在k=2。
此時坐標 \( x=6-4=2 \)，\( y=4 \)。答案：(2,4)
109指考數學乙(補考)試題-01
便利商店因週年慶而提供折扣優惠，只要消費滿99元就可從紙盒中隨機抽球來決定該筆消費的折扣數（每顆球被抽到的機率相等）。店家已在盒中放了9顆球，其中寫著6折和7折的各有1顆、9折2顆、95折5顆。令隨機變數 \( X \) 代表消費100元的顧客在折扣後需要付的金額（元），若店家想再加入一球使得 \( X \) 的期望值等於86元，則新加入的那顆球上面所寫的折扣數應為下列哪一個選項？
(1) 65折
(2) 75折
(3) 8折
(4) 85折
(5) 9折
答案
109指考數學乙試題-06
有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正骰子來決定，其規則如下：
（一）當所擲點數為1點時，棋子不移動。
（二）當所擲點數為3或5點時，棋子向左（負向）移動「該點數減1」單位。
（三）當所擲點數為偶數時，棋子向右（正向）移動「該點數的一半」單位。
第一次擲骰子時，棋子以原點當起點。第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點。試選出正確的選項。
(1) 投擲骰子一次，棋子與原點距離為2的機率為 \( \frac{1}{2} \)
(2) 投擲骰子一次，棋子的坐標之期望值為0
(3) 投擲骰子二次，棋子的坐標有可能為-5
(4) 投擲骰子二次，在所擲兩次之點數和為奇數的情形下，棋子的坐標為正的機率為 \( \frac{4}{9} \)
(5) 投擲骰子三次，棋子在原點的機率為 \( \frac{1}{36} \)
答案
針對擲骰子對應移動規則的機率分析如下：
已知骰子點數（1~6）對應移動值：
| 點數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|------|---|---|---|---|---|---|
| 移動 | 0 | +1 | -2 | +2 | -4 | +3 |
### (1)×
符合某條件的情況數為2，總情況數為6，故機率\( p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)，描述錯誤。
### (2)○
計算移動的期望值：
\[
\begin{align*}
\text{期望值} &= 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + (-4) \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} \\
&= \frac{0 + 1 - 2 + 2 - 4 + 3}{6} = 0
\end{align*}
\]
### (3)×
移動值的可能範圍是\(-4, -2, 0, 1, 2, 3\)，無法得到\(-5\)，故描述錯誤。
### (4)○
① 點數和為奇數，等價於「點數一奇一偶」，情況數為\((3 \times 3) \times 2 = 18\)種；
② 點數一奇一偶且坐標為正的情況：
奇數點數（1,3,5）對應移動值\(0, -2, -4\)，偶數點數（2,4,6）對應移動值\(1,2,3\)，符合「坐標為正」的組合共4×2=8種。
因此條件機率為：
\[
\frac{8}{18} = \frac{4}{9}
\]
### (5)×
擲骰子三次後棋子在原點的情況，對應三次移動值之和為0，但計算的機率表達式邏輯混亂（如重複計數、符號錯誤），故描述錯誤。
故選(2)(4)。
108指考數學乙試題-07
某甲上班可採全程步行或全程騎腳踏車兩種方式通勤，其中步行的通勤時間為60分鐘，騎腳踏車的通勤時間以整數計時為T分鐘。其中30≤T≤40，且T分為五個區間，其出現在各區間的機率如下表：
| 通勤時間 | 30≤T<32 | 32≤T<34 | 34≤T<36 | 36≤T<38 | 38≤T≤40 |
| 機率 | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |
假設甲每天通勤時間互相獨立。根據上述資料，試選出正確選項。
(1) 若甲某一天騎腳踏車上班，則其通勤時間少於35分鐘的機率是0.5
(2) 若甲某五天皆騎腳踏車上班，則這五天上班的通勤總時間一定會少於四天騎腳踏車另一天步行的通勤總時間
(3) 若甲某五天上班的通勤總時間為250分鐘，則這五天中甲一定是三天步行，兩天騎腳踏車
(4) 若甲每天投擲一公正鋼板來決定步行或騎腳踏車上班，正面則步行，反面則騎腳踏車，則甲兩天的通勤總時間至少90分鐘的機率是0.75
(5) 若甲有兩天皆騎腳踏車上班，則甲這兩天的通勤總時間至少為76分鐘的機率是0.01
答案
針對通勤時間的分析如下：
(1)×
通勤時間在\(34 \leq T < 35\)之間的機率\(p\)範圍是\(0 \leq p \leq 0.4\)，不一定等於0.2。
(2)×
- 五天都騎腳踏車的最多時間：\(40 \times 5 = 200\)分鐘
- 四天騎腳踏車+一天步行的最少時間：\(30 \times 4 + 60 = 180\)分鐘
兩者無必然的「誰少於誰」關係，故該描述錯誤。
(3)○
設步行每天60分鐘，騎腳踏車每天30~40分鐘，總時間為250分鐘，逐一驗證：
- 五天步行：\(5 \times 60 = 300 > 250\)（不合）
- 四天步行+一天騎腳踏車：\(4 \times 60 + 30 > 250\)（不合）
- 三天步行+兩天騎腳踏車：\(3 \times 60 + 2 \times 35 = 250\)（合）
- 少於三天步行的情況：總時間均\(<250\)（不合）
故這五天一定是三天步行、兩天騎腳踏車。
(4)○
「兩天通勤總時間至少90分鐘」等價於「至少有一天步行」（步行60分鐘+騎腳踏車30分鐘即≥90）。
假設每天步行/騎腳踏車的機率各為\(\frac{1}{2}\)，則：
\[
\begin{align*}
P(\text{至少一天步行}) &= P(\text{正,反}) + P(\text{反,正}) + P(\text{正,正}) \\
&= \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = 0.75
\end{align*}
\]
(5)×
「兩天通勤總時間至少76分鐘」的機率，大於「兩天均38分鐘以上」的機率（\(0.1 \times 0.1 = 0.01\)），但該描述邏輯不嚴謹（未明確機率對比的合理性），故錯誤。
故選(3)(4)。
108指考數學乙試題-稿C
某遊戲的規則為同時擲兩顆公正骰子一次，若兩顆點數和為6或者至少有一顆點數為6，即可獲得獎金36元，否則沒有獎金，則這個遊戲獎金的期望值為 \(\underline{\qquad\qquad}\) 元。
[選填題]
答案
樣本空間 36 種。
事件 A：點數和為 6 → (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 共 5 種。
事件 B：至少一顆點數 6 → 共 11 種（6 且非 6：5+5=10，加上 (6,6) 重複？直接算：第一個骰子 6：6 種，第二個骰子 6：6 種，扣 (6,6) 重複，得 6+6-1=11 種）。
但 A 與 B 有重複：和為 6 且至少一顆 6 → 無（因和 6 時最大 5）。
所以 \( |A \cup B| = 5+11=16 \)。
機率 \(= \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\)。
期望值 \(= 36 \times \frac{4}{9} = 16\) 元。
答案為 16。