問題13：若以方式二抽獎直到抽中為止，試依期望值定義，使用 \(\sum\) 符號表示所需抽獎次數的期望值，並求其值。
[非選擇題（題組）]1. 設抽獎次數 \(X\)，\(P(X=k)=\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)（\(k=1,2,\dots\)）；
2. 期望值 \(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)；
3. 由幾何分布期望值公式 \(E(X)=\frac{1}{p}=\frac{5}{2}\)。答案：\(\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)，值為 \(\frac{5}{2}\)
一圓盤分成標有數字0、1的兩區域，且圓盤上有一可轉動的指針。已知每次轉動指針後，前後兩次指針停在同一區域的機率為\(\frac{1}{4}\)，而停在不同區域的機率為\(\frac{3}{4}\)。遊戲規則為連續轉動指針三次，計算指針在這三次所停區域的標號數字之和。若遊戲前指針的位置停在標號數字為1的區域，則此遊戲的期望值為__________。(化成最簡分數)
[選填題]計算三次試驗（1的機率\(\frac{1}{4}\)、0的機率\(\frac{3}{4}\)）的期望值，考慮排列：
1. **三次都是1（僅1種排列）**：
\[
\left(\frac{1}{4}\right)^3 \times 3 = \frac{3}{64}
\]
2. **2個1、1個0（共\(\binom{3}{2}=3\)種排列）**：
每種排列的機率為\(\left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \frac{3}{4}\)，每種對應總和2，故貢獻：
\[
3 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \frac{3}{4} \times 2 = 3 \times \frac{3}{64} \times 2 = \frac{18}{64}
\]
3. **1個1、2個0（共\(\binom{3}{1}=3\)種排列）**：
每種排列的機率為\(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2\)，每種對應總和1，故貢獻：
\[
3 \times \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times 1 = 3 \times \frac{9}{64} \times 1 = \frac{27}{64}
\]
4. **三次都是0（僅1種排列）**：
\[
\left(\frac{3}{4}\right)^3 \times 0 = 0
\]
期望值：
\[
\frac{3 + 18 + 27 + 36}{64} = \frac{84}{64} = \frac{21}{16}
\]
某高中一年級有忠、孝、仁、愛四班的籃球隊，擬由經抽籤決定的下列賽程進行單淘汰賽（輸一場即被淘汰）。假設忠班勝過其他任何一班的機率為\(\frac{4}{5}\)，孝班勝過其他任何一班的機率為\(\frac{1}{5}\)，仁、愛兩班的實力相當，勝負機率各為\(\frac{1}{2}\)。若任一場比賽皆須分出勝負，沒有和局。如果冠軍隊可獲得6000元獎學金，亞軍隊可獲得4000元獎學金，則孝班可獲得獎學金的期望值為____元。
[選填題]假設某棒球隊在任一局發生失誤的機率都等於\(P\)（其中\(0\lt p\lt1\)），且各局之間發生失誤與否互相獨立。令隨機變數\(X\)代表一場比賽\(9\)局中出現失誤的局數，且令\(p_{k}\)代表\(9\)局中恰有\(k\)局出現失誤的機率\(P(X = k)\)。已知\(p_{4}+p_{5}=\frac{45}{8}p_{6}\)，則該球隊在一場\(9\)局的比賽中出現失誤局數的期望值為\(\frac{(\quad)}{(\quad)}\)。(化成最簡分數)
[多選題]已知 \( X \sim B(9, p) \)（9次伯努利試驗，失誤機率為 \( p \)），定義：
\[
p_4 = C_9^4 p^4(1-p)^5,\ p_5 = C_9^5 p^5(1-p)^4,\ p_6 = C_9^6 p^6(1-p)^3
\]
由 \( p_4 + p_5 = \frac{45}{8}p_6 \)，代入組合數（\( C_9^4=C_9^5=126,\ C_9^6=84 \)）：
\[
126p^4(1-p)^5 + 126p^5(1-p)^4 = \frac{45}{8} \times 84p^6(1-p)^3
\]
兩側除以 \( 126p^4(1-p)^3 \) 簡化：
\[
(1-p)^2 + p(1-p) = \frac{45 \times 84}{8 \times 126} p^2
\]
展開左側、計算右側：
\[
1 - p = \frac{15}{4}p^2 \implies 15p^2 + 4p - 4 = 0
\]
因式分解得 \( (3p+2)(5p-2)=0 \)，故 \( p = \frac{2}{5} \)（\( p=-\frac{2}{3} \) 不合）。
9局比賽失誤局數的期望值：
\[
E(X) = 9p = 9 \times \frac{2}{5} = \frac{18}{5}
\]
某公司尾牙舉辦「紅包大放送」活動。每位員工擲兩枚均勻銅板一次，若出現兩個反面可得獎金400元；若出現一正一反可得獎金800元；若出現兩個正面可得獎金800元並且獲得再擲一次的機會，其獲得獎金規則與前述相同，但不再有繼續投擲銅板的機會(也就是說每位員工最多有兩次擲銅板的機會)。試問每位參加活動的員工可獲得獎金的期望值為何？
(1)850元
(2)875元
(3)900元
(4)925元
(5)950元
擲兩枚銅板，共有\(4\)種等可能結果：正正、正反、反正、反反。
\(P\)（兩個反面）\(=\frac{1}{4}\)，此時獎金\(400\)元；\(P\)（一正一反）\(=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)，此時獎金\(800\)元；\(P\)（兩個正面）\(=\frac{1}{4}\) 。
若第一次擲出兩個正面，第二次擲銅板：
\(P\)（第二次擲出兩個反面）\(=\frac{1}{4}\)，獎金為\(800 + 400 = 1200\)元；\(P\)（第二次擲出一正一反）\(=\frac{1}{2}\)，獎金為\(800 + 800 = 1600\)元；\(P\)（第二次擲出兩個正面）\(=\frac{1}{4}\)，獎金為\(800 + 800 = 1600\)元。
獎金期望值\(E = 400\times\frac{1}{4}+800\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times(\frac{1}{4}\times1200+\frac{1}{2}\times1600+\frac{1}{4}\times1600)\)
\(=100 + 400+\frac{1}{4}(300 + 800 + 400)=100 + 400 + 375 = 875\)元。
答案為(2)。
不透明箱內有4顆紅球，8顆藍球與13顆白球。隨機同時抽取2球（每顆球被抽到的機率相等），若抽出的兩球同色，可得獎金450元；若抽出的兩球異色，可得獎金75元。則隨機同時抽取2球的獎金期望值為￮ 9 ￮ 10 ￮ 11 元。
[選填題]首先計算抽出兩球同色的概率：
抽出兩個紅球的概率\(P_1=\frac{C_{4}^{2}}{C_{4 + 8 + 13}^{2}}=\frac{\frac{4!}{2!(4 - 2)!}}{\frac{25!}{2!(25 - 2)!}}=\frac{4\times3}{25\times24}=\frac{1}{50}\)；
抽出兩個藍球的概率\(P_2=\frac{C_{8}^{2}}{C_{25}^{2}}=\frac{\frac{8!}{2!(8 - 2)!}}{\frac{25!}{2!(25 - 2)!}}=\frac{8\times7}{25\times24}=\frac{7}{75}\)；
抽出兩個白球的概率\(P_3=\frac{C_{13}^{2}}{C_{25}^{2}}=\frac{\frac{13!}{2!(13 - 2)!}}{\frac{25!}{2!(25 - 2)!}}=\frac{13\times12}{25\times24}=\frac{13}{50}\)。
所以抽出兩球同色的概率\(P_{同}=P_1 + P_2+P_3=\frac{1}{50}+\frac{7}{75}+\frac{13}{50}=\frac{3 + 14 + 39}{150}=\frac{56}{150}=\frac{28}{75}\)。
抽出兩球異色的概率\(P_{異}=1 - P_{同}=1-\frac{28}{75}=\frac{47}{75}\)。
獎金期望值\(E = 450\times\frac{28}{75}+75\times\frac{47}{75}=168 + 47 = 215\)（原題答案格式中，將215分別對應填入 ￮ 9 ￮ 10 ￮ 11 中，即2填在9處，1填在10處，5填在11處）。
有一個依順時針方向依序標示1,2,…,12數字的圓形時鐘（如圖所示）。一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一枚均勻銅板，依投擲
結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：
● 若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動5個鐘點。
● 若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動5個鐘點。
例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置、第二次移動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。
對任一正整數 \(n\)，令隨機變數 \(X_n\) 代表依上述規則經過 \(n\) 次移動後棋子所在的點鐘位置，\(P(X_n = k)\) 代表 \(X_n = k\) 的機率（其中 \(k = 1,2,…,12\)），且令 \(E(X_n)\) 代表 \(X_n\) 的期望值。試選出正確的選項。
(1) \(E(X_1) = 6\)
(2) \(P(X_2 = 12) = \frac{1}{4}\)
(3) \(P(X_8 = 5) \geq \frac{1}{2^8}\)
(4) \(P(X_8 = 4) = P(X_8 = 8)\)
(5) \(E(X_8) \leq 7\)
（1）：
第一次移動，正面到5，反面到7，概率各\(\frac{1}{2}\)。\(E(X_1) = \frac{5 + 7}{2} = 6\)，正確。
（2）：\(X_2 = 12\)的路徑：第一次正（到5），第二次反：\(5 - 5 = 0 \equiv 12 \ (\text{mod}\ 12)\)。第一次反（到7），第二次正：\(7 + 5 = 12\)。
共2種路徑，\(P(X_2 = 12) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{1}{4}\)，錯誤。
(3)
$X_8不可能等於5,P(x_8=5)=0$
(4)
因為對稱 正確
(5)
分成$(+,-)=\overset{到4}{(8,0)},\overset{到6}{(7,1)},\overset{到8}{(6,2)},\overset{到10}{(5,3)},\overset{到12}{(4,4)},\overset{到2}{(3,5)},\overset{到4}{(2,6)},\overset{到6}{(1,7)},\overset{到8}{(0,8)}$來討論\\
錯誤
一遊戲廠商將舉辦抽獎活動,廠商公告每次抽獎需使用掉一個代幣,且每次抽獎的中獎機率皆為\(\frac{1}{10}\)。某甲決定先存若干個代幣,並在活動開始後進行抽獎,直到用完所有代幣才停止。試選出正確的選項。
(1)某甲中獎一次所需要抽獎次數的期望值為10
(2)某甲抽獎兩次就中獎一次以上的機率為0.2
(3)某甲抽獎10次都沒中獎的機率小於抽獎1次就中獎的機率
(4)某甲至少要存22個代幣,才能保證中獎的機率大於0.9
(5)某甲只要存足夠多的代幣,就可以保證中獎的機率為1
(1) 中獎一次所需抽獎次數服從幾何分布,期望值為 \( \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10\),(1) 對；
(2) 抽獎兩次中獎一次以上的概率為 \(1 - C_{2}^{0}(\frac{1}{10})^{0}(1 - \frac{1}{10})^{2}=1 - 0.81 = 0.19\neq0.2\),(2) 錯；(3) 抽獎 10 次都沒中獎概率為 \((1 - \frac{1}{10})^{10}\approx0.349\),抽獎 1 次中獎概率為 \(\frac{1}{10}=0.1\),(3) 錯；(4) 設存 \(n\) 個代幣,中獎概率 \(P = 1-(1 - \frac{1}{10})^{n}>0.9\),即 \((1 - \frac{1}{10})^{n}<0.1\),解得 \(n\geq22\),(4) 對；(5) 當 \(n\to+\infty\) 時,中獎概率趨近於 1,有限個代幣時辦不到(5) 不對。
答案是(1)(4)。
大吉百貨春節期間準備許多紅包讓顧客抽籤得紅包，並宣稱活動會一直持續到送 出所有的紅包。抽籤的籤筒內有5支籤、其中只有1支籤有標示「大吉」，且每支籤被抽中的機會均等。每位顧客從籤筒中抽取一支籤記錄後，將籤放回籤筒再抽下一回，最多抽取3回。當抽取過程中出現連續兩回抽中「大吉」，則該顧客停止抽籤並得到紅包。我們可將每位顧客抽籤是否得到紅包視為一次伯努力試驗。設整個活動第一個得到紅包的顧客是第\(X\)位抽籤的顧客，並以\(E(X)\)表示隨機變數\(X\)的期望值，則\(E(X)=(9 – 1)(9 – 2)\) 。(四捨五入到整數位)
[選填]先求一次抽籤得到紅包的概率\(p\)。抽中「大吉」概率為\(\frac{1}{5}\)。連續兩回抽中「大吉」有兩種情況：前兩回抽中，概率為\((\frac{1}{5})^2\)；第一回未中，後兩回抽中，概率為\(\frac{4}{5}\times(\frac{1}{5})^2\)，所以\(p = (\frac{1}{5})^2+\frac{4}{5}\times(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}+\frac{4}{125}=\frac{9}{125}\)。由伯努利試驗的期望公式\(E(X)=\frac{1}{p}\)，可得\(E(X)=\frac{125}{9}\approx14\)。
