甲、乙兩校有一樣多的學生參加數學能力測驗,兩校學生測驗成績的分布都很接近常態分布,其中甲校學生的平均分數為 60 分,標準差為 10 分；乙校學生的平均分數為 65 分,標準差為 5 分。若用粗線表示甲校學生成績分布曲線；細線表示乙校學生成績分布曲線,則下列哪一個分布圖較為正確？
[單選]
機率分布
114分科測驗數學甲試卷-14
問題14：假設花費金額不設限直到得到公仔為止，試分別求出兩種抽獎方式得到一個公仔所需付金額的期望值，並比較大小。
[非選擇題（題組）]
答案
1. 方式一：設金額 \(Y_1\)，\(Y_1=225\)（至少一次抽中）機率 \(1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\)，\(Y_1=300\) 機率 \(\frac{9}{25}\)，\(E(Y_1)=225\times\frac{16}{25}+300\times\frac{9}{25}=252\)；
2. 方式二：金額 \(Y_2=100X\)，\(E(Y_2)=100\times\frac{5}{2}=250\)；
3. 故 \(E(Y_1)>E(Y_2)\)。答案：方式一期望252元，方式二期望250元，方式一期望大於方式二
107指考數學甲試題–B
假設某棒球隊在任一局發生失誤的機率都等於\(P\)（其中\(0\lt p\lt1\)），且各局之間發生失誤與否互相獨立。令隨機變數\(X\)代表一場比賽\(9\)局中出現失誤的局數，且令\(p_{k}\)代表\(9\)局中恰有\(k\)局出現失誤的機率\(P(X = k)\)。已知\(p_{4}+p_{5}=\frac{45}{8}p_{6}\)，則該球隊在一場\(9\)局的比賽中出現失誤局數的期望值為\(\frac{(\quad)}{(\quad)}\)。(化成最簡分數)
[多選題]
答案
已知 \( X \sim B(9, p) \)（9次伯努利試驗，失誤機率為 \( p \)），定義：
\[
p_4 = C_9^4 p^4(1-p)^5,\ p_5 = C_9^5 p^5(1-p)^4,\ p_6 = C_9^6 p^6(1-p)^3
\]
由 \( p_4 + p_5 = \frac{45}{8}p_6 \)，代入組合數（\( C_9^4=C_9^5=126,\ C_9^6=84 \)）：
\[
126p^4(1-p)^5 + 126p^5(1-p)^4 = \frac{45}{8} \times 84p^6(1-p)^3
\]
兩側除以 \( 126p^4(1-p)^3 \) 簡化：
\[
(1-p)^2 + p(1-p) = \frac{45 \times 84}{8 \times 126} p^2
\]
展開左側、計算右側：
\[
1 - p = \frac{15}{4}p^2 \implies 15p^2 + 4p - 4 = 0
\]
因式分解得 \( (3p+2)(5p-2)=0 \)，故 \( p = \frac{2}{5} \)（\( p=-\frac{2}{3} \) 不合）。
9局比賽失誤局數的期望值：
\[
E(X) = 9p = 9 \times \frac{2}{5} = \frac{18}{5}
\]