正整數解的計數

坐標平面上，有兩點 \( A(4,-1) \) 與 \( B(-2,2) \)。已知點 \( C(x,y) \) 滿足聯立不等式 \( x+2y \geq 2 \)、\( x-y \geq -4 \)、\( y \leq 8 \) 以及 \( 3x+y \leq 23 \)，則當 \( C \) 點坐標為 \( (\underline{\qquad},\underline{\qquad}) \) 時，\(\triangle ABC\) 有最大的面積。

某甲在坐標平面上點 (3,4) 的位置，撇一均勻銅板，若出現正面，則以向量 (1,-1) 的方向與大小移動；若出現反面，則以向量 (-1,-1) 的方向與大小移動。到達新位置之後，重複同樣的步驟，直到抵達 x 軸或 y 軸時停止。試選出正確的選項。
(1) 甲可能到達點 (0,0)
(2) 若甲停在 y 軸，則甲恰好移動 4 次
(3) 甲最後停在 y 軸的機率大於停在 x 軸的機率
(4) 甲最後停在點 (2,0) 的機率為 0
(5) 甲最後停在點 (1,0) 與停在點 (5,0) 的機率相等

問題16：證明對於所有 \(a\in[-\frac{1}{2},1],\Gamma\) 的面積皆為2。