坐標平面上，有兩點 \( A(4,-1) \) 與 \( B(-2,2) \)。已知點 \( C(x,y) \) 滿足聯立不等式 \( x+2y \geq 2 \)、\( x-y \geq -4 \)、\( y \leq 8 \) 以及 \( 3x+y \leq 23 \)，則當 \( C \) 點坐標為 \( (\underline{\qquad},\underline{\qquad}) \) 時，\(\triangle ABC\) 有最大的面積。
\(\triangle ABC\) 面積最大時，C 到 AB 的距離最大。
AB 直線：斜率 (2-(-1))/(-2-4) = 3/(-6) = -1/2，方程：y+1 = (-1/2)(x-4) ⇒ y = -x/2 +1。
距離公式：\( \frac{|(-1/2)x - y + 1|}{\sqrt{(-1/2)^2+1}} \)，但符號處理麻煩，改用頂點檢驗法。
可行解區域頂點：解交點：
1. \( x+2y=2 \) 與 \( x-y=-4 \) ⇒ 相減 3y=6 ⇒ y=2, x=-2 ⇒ (-2,2) 即 B 點。
2. \( x+2y=2 \) 與 \( 3x+y=23 \) ⇒ 解：由第一式 x=2-2y，代入第二式 6-6y+y=23 ⇒ -5y=17 ⇒ y=-17/5，x=2+34/5=44/5，頂點 (44/5, -17/5)。
3. \( x-y=-4 \) 與 \( 3x+y=23 \) ⇒ 相加 4x=19 ⇒ x=19/4, y=19/4+4=35/4，頂點 (19/4, 35/4)。
4. \( x+2y=2 \) 與 \( y=8 \) ⇒ x=2-16=-14，頂點 (-14,8)。
5. \( x-y=-4 \) 與 \( y=8 \) ⇒ x=4，頂點 (4,8)。
6. \( 3x+y=23 \) 與 \( y=8 \) ⇒ 3x=15 ⇒ x=5，頂點 (5,8)。
檢查哪些在區域內：需滿足所有不等式。
計算各頂點與 A,B 形成的三角形面積（AB 為底，高為 C 到 AB 距離）。
AB 長度固定，面積與距離成正比。
AB 直線方程：x+2y-2=0? 檢查 A:4+2(-1)-2=0，B:-2+4-2=0，正確。
距離 \( d = \frac{|x+2y-2|}{\sqrt{5}} \)。
計算各頂點 |x+2y-2|：
(-2,2): |-2+4-2|=0
(44/5,-17/5): |44/5 -34/5 -2| = |10/5 -2| = 0
(19/4,35/4): |19/4+70/4-2| = |89/4-2| = |81/4|=20.25
(-14,8): |-14+16-2|=0
(4,8): |4+16-2|=18
(5,8): |5+16-2|=19
最大為 (19/4,35/4) 的 20.25。
但需檢查 (19/4,35/4) 是否在區域內：
x+2y=19/4+70/4=89/4=22.25≥2 ok
x-y=19/4-35/4=-16/4=-4≥-4 ok
y=35/4=8.75≤8? 不滿足！所以此點不在區域內（因 y≤8）。
所以最大距離頂點為 (5,8)：距離 19/√5。
檢查 (4,8)：距離 18/√5。
其他頂點距離 0。
所以最大面積在 C=(5,8)。
答案為 (5,8)。 報錯
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