在實數線上，動點\(A\)從原點開始往正向移動，動點\(B\)從\(8\)的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒\(A\)、\(B\)移動的距離分別為\(1\)、\(4\)，且\(A\)、\(B\)每次移動的距離分別為其前一次移動距離的\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍。令\(c_{n}\)為第\(n\)秒時\(A\)、\(B\)的中點位置。請選出正確選項。
(1)\(c_{1}=\frac{5}{2}\)
(2)\(c_{2}\gt c_{1}\)
(3)數列\(\{ c_{n + 1}-c_{n}\}\)是一個等比數列
(4)\(\lim\limits_{n \to \infty}c_{n}=2\)
(5)\(c_{1000}\gt2\)
設第 \( n \) 秒時 \( A、B \) 的位置為 \( A_n、B_n \)，定義 \( c_n = \frac{A_n + B_n}{2} \)，分析如下：
#### 初始值與前幾項
- 第1秒：\( A_1=1 \)，\( B_1=4 \)，故 \( c_1 = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} \)；
- 第2秒：\( A_2=\frac{3}{2} \)，\( B_2=\frac{8}{3} \)，故 \( c_2 = \frac{25}{12} \)；
- 第3秒：\( A_3=\frac{7}{4} \)，\( B_3=\frac{20}{9} \)，故 \( c_3 = \frac{143}{72} \)。
#### 選項分析
1. \( ○ \)：\( c_1 = \frac{5}{2} \)，正確；
2. \( × \)：計算差值 \( c_2 - c_1 = -\frac{5}{12} \)、\( c_3 - c_2 = -\frac{7}{72} \)，不滿足遞減，故 \( c_2 < c_1 \) 不成立；
3. \( × \)：差值序列 \( \{c_{n+1}-c_n\} \) 無等比關係，故不是等比數列；
4. \( ○ \)：
- \( A_n \) 是首項1、公比\( \frac{1}{2} \)的等比數列和：\( A_n = 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \)；
- \( B_n \) 是首項4、公比\( \frac{1}{3} \)的等比數列和：\( B_n = 2\left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \)；
- 故 \( c_n = \frac{1}{2}(A_n + B_n) \)，且 \( \lim_{n \to \infty} c_n = \frac{1}{2}(2+2)=2 \)，正確；
5. \( × \)：由4知 \( \lim_{n \to \infty} c_n = 2 \)，故 \( c_{1000} < 2 \) 不成立。
故選 \( \boxed{1、4} \)。
