在實數線上，動點\(A\)從原點開始往正向移動，動點\(B\)從\(8\)的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒\(A\)、\(B\)移動的距離分別為\(1\)、\(4\)，且\(A\)、\(B\)每次移動的距離分別為其前一次移動距離的\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍。令\(c_{n}\)為第\(n\)秒時\(A\)、\(B\)的中點位置。請選出正確選項。
(1)\(c_{1}=\frac{5}{2}\)
(2)\(c_{2}\gt c_{1}\)
(3)數列\(\{ c_{n + 1}-c_{n}\}\)是一個等比數列
(4)\(\lim\limits_{n \to \infty}c_{n}=2\)
(5)\(c_{1000}\gt2\)
第\(n\)秒時，動點\(A\)移動的距離是首項\(a_{1}=1\)，公比\(q_{1}=\frac{1}{2}\)的等比數列的前\(n\)項和\(S_{A}=\sum_{k = 1}^{n}1\times(\frac{1}{2})^{k - 1}=2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}\)；動點\(B\)移動的距離是首項\(b_{1}=4\)，公比\(q_{2}=\frac{1}{3}\)的等比數列的前\(n\)項和\(S_{B}=\sum_{k = 1}^{n}4\times(\frac{1}{3})^{k - 1}=6 - 6\times(\frac{1}{3})^{n}\) 。
則第\(n\)秒時\(A\)的位置是\(2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}\)，\(B\)的位置是\(8 - (6 - 6\times(\frac{1}{3})^{n}) = 2 + 6\times(\frac{1}{3})^{n}\)。
\(c_{n}=\frac{(2 - (\frac{1}{2})^{n - 1})+(2 + 6\times(\frac{1}{3})^{n})}{2}=2-\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2})^{n - 1}+3\times(\frac{1}{3})^{n}=2-(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{3})^{n - 1}\)。
(1) \(c_{1}=2-\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}\)，(1)正確。
(2) \(c_{2}=2-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=2+\frac{1}{12}\)，\(c_{2}\gt c_{1}\)，(2)正確。
(3) \(c_{n + 1}-c_{n}=[2-(\frac{1}{2})^{n + 1}+(\frac{1}{3})^{n}]-[2-(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{3})^{n - 1}]=(\frac{1}{2})^{n}- \frac{2}{3}\times(\frac{1}{3})^{n - 1}\)，\(\frac{c_{n + 2}-c_{n + 1}}{c_{n + 1}-c_{n}}\)不是常數，所以數列\(\{ c_{n + 1}-c_{n}\}\)不是等比數列，(3)錯誤。
(4) \(\lim\limits_{n \to \infty}c_{n}=\lim\limits_{n \to \infty}[2-(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{3})^{n - 1}]=2\)，(4)正確。
(5) 因為\(\lim\limits_{n \to \infty}c_{n}=2\)，且\(c_{n}=2-(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{3})^{n - 1}\)，\(n = 1000\)時，\((\frac{1}{2})^{1000}\gt0\)，\((\frac{1}{3})^{999}\gt0\)，所以\(c_{1000}=2-(\frac{1}{2})^{1000}+(\frac{1}{3})^{999}\gt2\)，(5)正確。
答案為(1)(2)(4)(5)。 報錯
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