右圖中，坐標平面上 \(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\) 三條直線圍成一個 \(\triangle ABC\)，若此 \(\triangle ABC\) 的外接圓圓心為 \(O_1\)，內切圓圓心為 \(O_2\)，試選出正確的選項。
\((1) 直線\ L_3\) 的斜率為 \(-\frac{4}{3}\)
\((2) 满足\ \triangle ABC\) 內部（包含邊界）的聯立不等式為 \(\begin{cases}x + 5 \geq 0 \\ y – 3 \geq 0 \\ 4x + 3y – 13 \geq 0\end{cases}\)
\((3) \triangle ABC\) 的外接圓方程式為 \((x + 2)^2 + (y – 7)^2 = 25\)
\((4) \triangle ABC\) 的外接圓面積為內切圓面積的 \(\frac{5}{2}\) 倍
\((5) 過\ O_1\)、\(O_2\) 的直線方程式為 \(y = 2x + 10\)
設坐標平面上 \(A(-1,1)\)、\(B(0,a)\) 兩點，若直線 \(AB\) 關於 \(y = a\) 對稱的直線 \(L\) 與圓 \(C:(x – 3)^2 + y^2 = 1\) 有交點，試求 \(a\) 的範圍為 \(a \in \)[__________, __________]
設 \(A(1,1), B(3,5), C(5,3), D(0,-7), E(2,-3)\) 及 \(F(8,-6)\) 為坐標平面上的六個點。若直線 \(L\) 分別與三角形 \(ABC\) 及三角形 \(DEF\) 各恰有一個交點,則 \(L\) 的斜率之最小可能值為 \(\boxed{-\frac{1}{2}}\)。
坐標平面上,在函數圖形 \(y = 2^x\) 上,標示 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) 四個點,其 \(x\) 坐標分別為 \(-1\)、\(0\)、\(1\)、\(2\)。請選出正確的選項。
(1) 點 \(B\) 落在直線 \(AC\) 下方
(2) 在直線 \(AB\)、直線 \(BC\)、直線 \(CD\) 中,以直線 \(CD\) 的斜率最大
(3) \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) 四個點,以點 \(B\) 最靠近 \(x\) 軸
(4) 直線 \(y = 2x\) 與 \(y = 2^x\) 的圖形有兩個交點
(5) 點 \(A\) 與點 \(C\) 對稱於 \(y\) 軸
D. 平面 \( x – y + z = 0 \) 與平面 \( x = 2 \)、\( x – y = -2 \)、\( x + y = 2 \) 分別相交所得的三直線可圍成一個三角形。此三角形之周長化為最簡根式，可表為 \( a\sqrt{b} + c\sqrt{d} \)，其中 \( a, b, c, d \) 為正整數且 \( b \lt d \)，則 \( a = \boxed{17} \)，\( b = \boxed{18} \)，\( c = \boxed{19} \)，\( d = \boxed{20} \)。
### 略解
要解決此問題，需先求三平面兩兩相交的直線方程，再求三角形的三個頂點，最後計算各邊長並求和得到周長。
#### 步驟1：求三條交線的方程
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x = 2 \) 的交線**：
將 \( x = 2 \) 代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( 2 - y + z = 0 \implies z = y - 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} x = 2 \\ z = y - 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = 2, y = t, z = t - 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x - y = -2 \) 的交線**：
由 \( x - y = -2 \implies y = x + 2 \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (x + 2) + z = 0 \implies z = 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = x + 2 \\ z = 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = t + 2, z = 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x + y = 2 \) 的交線**：
由 \( x + y = 2 \implies y = 2 - x \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (2 - x) + z = 0 \implies z = 2 - 2x \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = 2 - x \\ z = 2 - 2x \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = 2 - t, z = 2 - 2t \)，\( t \) 為參數）。
#### 步驟2：求三角形的三個頂點
- **頂點 \( A \)**：交線 \( x = 2 \) 與 \( y = x + 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = x + 2 \)，得 \( y = 4 \)，再代入 \( z = 2 \)，故 \( A(2, 4, 2) \)。
- **頂點 \( B \)**：交線 \( y = x + 2 \) 與 \( y = 2 - x \) 的交點。
聯立 \( y = x + 2 \) 和 \( y = 2 - x \)，得 \( x + 2 = 2 - x \implies x = 0 \)，則 \( y = 2 \)，\( z = 2 \)，故 \( B(0, 2, 2) \)。
- **頂點 \( C \)**：交線 \( y = 2 - x \) 與 \( x = 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = 2 - x \)，得 \( y = 0 \)，再代入 \( z = y - 2 \)，得 \( z = -2 \)，故 \( C(2, 0, -2) \)。
#### 步驟3：計算各邊的長度
- **邊長 \( AB \)**：
由距離公式 \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)，得
\[
AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
- **邊長 \( BC \)**：
\[
BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
\]
- **邊長 \( CA \)**：
\[
CA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (0 - 4)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]
#### 步驟4：計算周長
周長 \( = AB + BC + CA = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \)。
對比形式 \( a\sqrt{b} + c\sqrt{d} \)（其中 \( b < d \)），可得 \( a = 6 \)，\( b = 2 \)，\( c = 2 \)，\( d = 6 \)。
综上，\( a = \boxed{6} \)，\( b = \boxed{2} \)，\( c = \boxed{2} \)，\( d = \boxed{6} \)。 報錯
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坐標平面上，直線 \( L_1 \) 與 \( L_2 \) 的方程式分別為 \( x + 2y = 0 \) 與 \( 3x – 5y = 0 \)。為了確定平面上某一定點 \( P \) 的坐標，從 \( L_1 \) 上的一點 \( Q_1 \) 偵測得向量 \( \overrightarrow{Q_1P} = (-7, 9) \)，再從 \( L_2 \) 上的點 \( Q_2 \) 偵測得向量 \( \overrightarrow{Q_2P} = (-6, -8) \)，則 \( P \) 點的坐標為（____ , ____）。
### 略解
要解決此問題，可透過**設點座標、利用直線方程與向量關係**建立方程組求解，步驟如下：
1. **設點座標**
設 \( P(x, y) \)，\( Q_1(a, b) \)（在 \( L_1 \) 上），\( Q_2(c, d) \)（在 \( L_2 \) 上）。
- 因 \( Q_1 \) 在 \( L_1: x + 2y = 0 \) 上，故 \( a + 2b = 0 \)；
- 因 \( Q_2 \) 在 \( L_2: 3x - 5y = 0 \) 上，故 \( 3c - 5d = 0 \)。
2. **由向量關係列方程**
- 由 \( \overrightarrow{Q_1P} = (-7, 9) \)，得 \( \begin{cases} x - a = -7 \\ y - b = 9 \end{cases} \implies \begin{cases} a = x + 7 \\ b = y - 9 \end{cases} \)；
- 由 \( \overrightarrow{Q_2P} = (-6, -8) \)，得 \( \begin{cases} x - c = -6 \\ y - d = -8 \end{cases} \implies \begin{cases} c = x + 6 \\ d = y + 8 \end{cases} \)。
3. **代入直線方程解聯立**
- 將 \( a = x + 7 \)、\( b = y - 9 \) 代入 \( a + 2b = 0 \)，得：
\[
(x + 7) + 2(y - 9) = 0 \implies x + 2y = 11 \tag{1}
\]
- 將 \( c = x + 6 \)、\( d = y + 8 \) 代入 \( 3c - 5d = 0 \)，得：
\[
3(x + 6) - 5(y + 8) = 0 \implies 3x - 5y = 22 \tag{2}
\]
- 聯立 \( (1)(2) \)，由 \( (1) \) 得 \( x = 11 - 2y \)，代入 \( (2) \)：
\[
3(11 - 2y) - 5y = 22 \implies 33 - 6y - 5y = 22 \implies 11y = 11 \implies y = 1
\]
再代入 \( x = 11 - 2y \)，得 \( x = 11 - 2 \times 1 = 9 \)。
在坐標平面上，\( \Gamma \) 是邊長為 4 的正方形，其中心位在點 (1, 1)，且各邊與坐標軸平行。已知函數 \( y = a \times 2^x \) 的圖形與 \( \Gamma \) 相交，其中 \( a \) 為實數，則 \( a \) 的最大可能範圍為 \(\underline{\qquad\qquad} \leq a \leq \underline{\qquad\qquad}\)。
坐標平面上 \( O \) 為原點，\( P \) 點坐標為 (1,0)，直線 \( L \) 的方程式為 \( x-2y=-4 \)。請選出正確的選項。
(1) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( A \)，滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{OA} \) 平行
(2) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( B \)，滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{OB} \) 垂直
(3) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( C \)，滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OC} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{PC} \) 垂直
(4) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( D \)，滿足 \( PD=2 \)
(5) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( E \)，滿足 \( \Delta EOP \) 為等腰三角形
\(L: x-2y=-4 \Rightarrow y=\frac{x+4}{2}\)。
(1) \( \overset{\rightharpoonup}{OP} = (1,0)\)，平行意味著 \( \overset{\rightharpoonup}{OA} = k(1,0)\)，即 y=0，代入 L 得 x=-4，A=(-4,0) 在 L 上，正確。
(2) 垂直則內積 0，設 B=(x,(x+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OP} = x = 0\)，得 B=(0,2) 在 L 上，正確。
(3) \( \overset{\rightharpoonup}{OC} \cdot \overset{\rightharpoonup}{PC} = 0\)，設 C=(t,(t+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OC} = (t,(t+4)/2)\)，\( \overset{\rightharpoonup}{PC} = (t-1,(t+4)/2)\)，內積 \(t(t-1) + \frac{(t+4)^2}{4} = 0\)，化簡得 \(4t^2-4t + t^2+8t+16 = 5t^2+4t+16=0\)，判別式 16-320<0，無實數解，錯誤。
(4) 設 D=(t,(t+4)/2)，\(PD^2 = (t-1)^2 + ((t+4)/2)^2 = 4\)，化簡得 \(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+20=0\)? 檢查：乘4：\(4(t-1)^2 + (t+4)^2 = 4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 4\times 4=16\)? 我算錯。正確：\( (t-1)^2 + \frac{(t+4)^2}{4} = 4\)，乘以4：\(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 16\)，得 \(5t^2= -4\) 無解，錯誤。
(5) 等腰三角形 EOP：可能 EO=EP 或 EO=OP 或 EP=OP。OP=1。設 E=(t,(t+4)/2)，計算 EO 與 EP，可找到解，例如 E=(-4,0) 則 EO=4, EP=5 不等腰；但可找到其他點，例如對稱軸上的點，正確（因為滿足條件的點存在）。
答案為 (1)(2)(5)。 報錯
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《幾何原本》云：「給定相異兩點可決定一條直線」。相異三點共線僅決定1條直線。坐標平面上，圓 \(\Gamma_1: x^2+y^2=4\) 與兩坐標軸交於4點、圓 \(\Gamma_2: x^2+y^2=2\) 與直線 \(x-y=0\) 交於2點、與直線 \(x+y=0\) 交於2點。試問這8點共可決定幾條不同的直線？
(1) 12
(2) 16
(3) 20
(4) 24
(5) 28
