設 \(n\) 為正整數,符號 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n\) 代表矩陣 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) 自乘 \(n\) 次。令 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\),請選出正確的選項。
(1) \(a_2 = 1\)
(2) \(a_1, a_2, a_3\) 為等比數列
(3) \(d_1, d_2, d_3\) 為等比數列
(4) \(b_1, b_2, b_3\) 為等差數列
(5) \(c_1, c_2, c_3\) 為等差數列
\[
\begin{aligned}
&\text{已知 } A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \\
&A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \\
&A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \\
&A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 15 \\ 0 & 16 \end{bmatrix} \\
\\
&\text{歸納得：} A^n = \begin{bmatrix} 1 & 1+2+\cdots+2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2^n-1 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix} \\
&\text{設 } A^n = \begin{bmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{bmatrix} \\
&\Rightarrow a_n = 1,\ b_n = 2^n-1,\ c_n = 0,\ d_n = 2^n \\
\\
&(1)\ a_2 = 1 \quad (\bigcirc) \\
&(2)\ a_1,a_2,a_3 = 1,1,1 \Rightarrow \text{公比 }=1 \quad (\bigcirc) \\
&(3)\ d_1,d_2,d_3 = 2,4,8 \Rightarrow \text{公比 }=2 \quad (\bigcirc) \\
&(4)\ b_1,b_2,b_3 = 1,3,7 \Rightarrow \text{非等差數列} \quad (X) \\
&(5)\ c_1,c_2,c_3 = 0,0,0 \Rightarrow \text{公差 }=0 \quad (\bigcirc)
\end{aligned}
\]