空間坐標中有一球面（半徑大於 0）與平面 \(3x + 4y = 0\) 相切於原點,請問此球面與三個坐標軸一共有多少個交點？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 5
答案
空間幾何
101學測數學考科-20
坐標空間中,在六個平面 \(x = \frac{14}{13}\), \(x =\frac{1}{13}\), \(y = -1\), \(y = -1\), \(z = -1\) 及 \(z = -4\) 所圍成的長方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同,則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為 \(\boxed{\frac{~~~~~~}{~~~~~~}}\)。
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答案
102學測數學考科-20
如下圖,在坐標空間中,\(A, B, C, D, E, F, G, H\) 為
正立方體的八個頂點,已知其中四個點的坐標 \(A(0, 0, 0)\)、\(B(6, 0, 0)\)、\(D(0, 6, 0)\) 及 \(E(0, 0, 6)\),\(P\) 在線段 \(CG\) 上且 \(CP : PG = 1 : 5\),\(R\) 在線段 \(EH\) 上且 \(ER : RH = 1 : 1\),\(Q\) 在線段 \(AD\) 上。若空間中通過 \(P, Q, R\) 這三點的平面,與直線 \(AG\) 不相交,則 \(Q\) 點的 \(y\) 坐標為___________。
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答案
由題意畫得知 \( A(0, 0, 0) \)、\( G(6, 6, 6) \)、\( P(6, 6, 1) \)、\( R(0, 3, 6) \)
設 \( Q(0, k, 0) \)
\[
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-6,\; k-6,\; -1)
\]
\[
\overrightarrow{PR} = R - P = (-6,\; -3,\; 5)
\]
平面 \( PQR \) 的法向量
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}
\]
\[
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-6 & k-6 & -1 \\
-6 & -3 & 5
\end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i} \begin{vmatrix} k-6 & -1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix}
-\mathbf{j} \begin{vmatrix} -6 & -1 \\ -6 & 5 \end{vmatrix}
+\mathbf{k} \begin{vmatrix} -6 & k-6 \\ -6 & -3 \end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i}\big(5(k-6) - 3\big)
-\mathbf{j}\big((-6)\cdot5 - (-1)(-6)\big)
+\mathbf{k}\big((-6)(-3) - (k-6)(-6)\big)
\]
\[
= (5k - 30 - 3,\; -(-30 - 6),\; 18 + 6k - 36)
\]
\[
= (5k - 33,\; 36,\; 6k - 18)
\]
直線 \( AG \) 的方向向量 \(\overrightarrow{v}\) 平行於 \(\overrightarrow{AG} = (6, 6, 6)\)，可取 \(\overrightarrow{v} = (1, 1, 1)\)
若平面 \( PQR \) 與直線 \( AG \) 不相交，則
\[
\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{v} \quad\Rightarrow\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = 0
\]
\[
(5k - 33) \cdot 1 + 36 \cdot 1 + (6k - 18) \cdot 1 = 0
\]
\[
5k - 33 + 36 + 6k - 18 = 0
\]
\[
11k - 15 = 0
\]
\[
\therefore k = \frac{15}{11}
\]
103學測數學考科-02
令 \(A(5,0,12)\)、\(B(-5,0,12)\) 為坐標空間中之兩點,且令 \(P\) 為 \(xy\) 平面上滿足 \(PA = PB = 13\) 的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 \(P\)？
(1) \((5,0,0)\)
(2) \((5,5,0)\)
(3) \((0,12,0)\)
(4) \((0,0,0)\)
(5) \((0,0,24)\)
答案
111分科數學甲試題-03
坐標空間中\(O\)為原點，點\(P\)在第一卦限且\(\overline{OP}=1\)。已知直線\(OP\)與\(x\)軸有一夾角為\(45^{\circ}\)且\(P\)點到\(y\)軸的距離為\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)。試選出點\(P\)的\(z\)坐標。
(1)\(\frac{1}{2}\)
(2)\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)
(3)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
(4)\(\frac{\sqrt{6}}{6}\)
(5)\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)
答案
設\(P(x,y,z)\) ，由\(\overline{OP}=1\)可得\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\) 。
直線\(OP\)與\(x\)軸夾角為\(45^{\circ}\) ，根據向量夾角公式\(\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{i}}{\vert\overrightarrow{OP}\vert\vert\overrightarrow{i}\vert}\)（\(\overrightarrow{i}\)為\(x\)軸正方向單位向量），則\(\cos45^{\circ}=\frac{x}{\overline{OP}}\)，即\(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) 。
又\(P\)點到\(y\)軸距離為\(\frac{\sqrt{6}}{3}\) ，即\(\sqrt{x^{2}+z^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\) ，把\(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)代入可得\(z=\frac{\sqrt{6}}{6}\) ，答案為(4)。