空間與經緯度概念

(1) 向量\(\overrightarrow{OP}=(2,2,1)\)，若\(\vec{v}=(1,-1,0)\)是平面\(E\)的法向量，則\(\overrightarrow{OP}\cdot\vec{v}=2\times1 + 2\times(-1)+1\times0 = 0\)，但\(2 - 2+0 = 0\)不成立，所以\(\vec{v}=(1,-1,0)\)不是平面\(E\)的法向量，(1)錯誤。
(2) 點\((4,4,2)=2(2,2,1)\)，\(P(2,2,1)\)是平面\(E\)上距離原點最近的點，所以\(P\)也是平面\(E\)上距離點\((4,4,2)\)最近的點，(2)正確。
(3) 設平面\(E\)的方程為\(2x + 2y+z + d = 0\)，把\(P(2,2,1)\)代入得\(4 + 4 + 1 + d = 0\)，\(d=-9\)，平面\(E\)的方程為\(2x + 2y+z - 9 = 0\)，把\((0,0,9)\)代入方程，\(0 + 0 + 9 - 9 = 0\)，所以點\((0,0,9)\)在平面\(E\)上，(3)正確。
(4) 點\((2,2,-8)\)到平面\(E\)：\(2x + 2y+z - 9 = 0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times2 + 2\times2-8 - 9\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{9}{3}=3\neq9\)，(4)錯誤。
(5) 通過原點\((0,0,0)\)和點\((2,2,-8)\)的直線方程為\(\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-8}\)，設直線上一點\((2t,2t,-8t)\)，代入平面\(E\)的方程\(2(2t)+2(2t)-8t - 9 = 0\)，\(4t + 4t - 8t - 9 = 0\)，\(-9 = 0\)不成立，所以直線與平面\(E\)不相交，(5)錯誤。
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1. **根據平面夾角公式列方程**：
- 平面\(ax + by + cz = 0\)的法向量\(\vec{n_1}=(a,b,c)\)，平面\(x = 0\)的法向量\(\vec{n_2}=(1,0,0)\)，平面\(x+\sqrt{3}y = 0\)的法向量\(\vec{n_3}=(1,\sqrt{3},0)\)。
- 根據兩平面夾角公式\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}\vert}{\vert\vec{n_1}\vert\vert\vec{n_2}\vert}\)，平面\(ax + by + cz = 0\)與平面\(x = 0\)夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\cos60^{\circ}=\frac{\vert a×1 + b×0 + c×0\vert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}×\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}\)，即\(\frac{1}{2}=\frac{\vert a\vert}{\sqrt{12}}\)，可得\(\vert a\vert=\sqrt{3}\)，\(a^2 = 3\)。
- 平面\(ax + by + cz = 0\)與平面\(x+\sqrt{3}y = 0\)夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\cos60^{\circ}=\frac{\vert a×1 + b×\sqrt{3}+ c×0\vert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}×\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2}}\)，即\(\frac{1}{2}=\frac{\vert a+\sqrt{3}b\vert}{\sqrt{12}×2}\)，把\(a^2 = 3\)代入，\(a=\pm\sqrt{3}\)。
- 當\(a=\sqrt{3}\)時，\(\frac{1}{2}=\frac{\vert\sqrt{3}+\sqrt{3}b\vert}{\sqrt{12}×2}\)，\(\vert\sqrt{3}+\sqrt{3}b\vert=\sqrt{3}\)，解得\(b = 0\)或\(b=-2\)。
- 當\(a = -\sqrt{3}\)時，\(\frac{1}{2}=\frac{\vert-\sqrt{3}+\sqrt{3}b\vert}{\sqrt{12}×2}\)，\(\vert-\sqrt{3}+\sqrt{3}b\vert=\sqrt{3}\)，解得\(b = 0\)或\(b = 2\)。
- 又因為\(a^2 + b^2 + c^2 = 12\)，\(a^2 = 3\)，所以\(b^2 + c^2 = 9\)。
- 把\(b = 0\)代入\(b^2 + c^2 = 9\)，得\(c^2 = 9\)；把\(b = \pm2\)代入\(b^2 + c^2 = 9\)，得\(c^2 = 5\)。
- 經檢驗，\(a^2 = 3\)，\(b^2 = 9\)，\(c^2 = 0\)或\(a^2 = 3\)，\(b^2 = 0\)，\(c^2 = 9\)不符合夾角條件，所以\(a^2 = 3\)，\(b^2 = 5\)，\(c^2 = 4\) 。
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平面\(E\)由向量\(\vec{u}=(2,0,1)\)、\(\vec{v}=(0,1,1)\)所張出，則平面\(E\)的法向量\(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=\vec{i}(0\times1 - 1\times1)-\vec{j}(2\times1 - 0\times1)+\vec{k}(2\times1 - 0\times0)=-\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}=(-1,-2,2)\)。
所以平面\(E\)的方程為\(-x - 2y + 2z = 0\)，即\(x + 2y - 2z = 0\)，所以\(b = 2\)，\(c=-2\)，\(d = 0\)。 報錯
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首先求平面\(E\)的法向量\(\vec{n}\)，由前面可知\(\overrightarrow{AB}=(1,0, - 1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(0,2,1)\)，則\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-1,2)\)。
設\(H\)在平面\(E\)上的投影點為\(H_0\)，\(\overrightarrow{AH_0}\)與\(\vec{n}\)平行。
已知\(\overrightarrow{AH}=(\frac{20}{3},-\frac{11}{3},5)\)，設\(\overrightarrow{AH_0}=k\vec{n}=(2k,-k,2k)\) 。
若\(H_0\)在\(\triangle ABC\)內部，則\(\overrightarrow{AH_0}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)（\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x + y\lt1\)）。
由\(\overrightarrow{AH_0}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x(1,0,-1)+y(0,2,1)=(x,2y,-x + y)\) 。
可得\(\begin{cases}2k=x\\-k = 2y\\2k=-x + y\end{cases}\)，解這個方程組。
由\(2k=x\)和\(-k = 2y\)可得\(y=-\frac{1}{2}k\)，代入\(2k=-x + y\)得\(2k=-2k-\frac{1}{2}k\)，\(2k+\frac{5}{2}k = 0\)，\(\frac{9}{2}k = 0\)，\(k = 0\)。
此時\(x = 0\)，\(y = 0\)，不滿足\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x + y\lt1\)。
所以點\(H\)在平面\(E\)的投影點不在\(\triangle ABC\)的內部。 報錯
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先求出平面 \(E_{1}\) 、 \(E_{2}\) 、 \(E_{3}\) 交點 \(P(3,2,2)\) 。正四面體中,點 \(P\) 到平面 \(E_{4}\) 的距離 \(d = \sqrt{6^{2}-(2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{6}\) 。設平面 \(E_{4}\) 法向量 \(\vec{n}=(1,a,b)\perp(1,1,1)\times(1,-1,1)且(1,a,b)\perp(1,1,1)\times(1,-1,-1)\),可以算出a,b\\
再利用點到平面距離公式 \(d=\frac{\vert3 + 2a + 2b - c\vert}{\sqrt{1 + a^{2}+b^{2}}}=\overset{6\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{6}}\) ,可得c\\平面 \(E_{4}\) 的方程為 \(x + y - z = 3\) 。 報錯
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聯立 \(\begin{cases}x + y + z = 7\\x - y + z = 3\end{cases}\),兩式相減得 \(2y = 4\),\(y = 2\)。再聯立 \(\begin{cases}x - y + z = 3\\x - y - z = -5\end{cases}\),兩式相加得 \(2(x - y)= - 2\),把 \(y = 2\) 代入得 \(x = 3\),再把 \(x = 3\),\(y = 2\) 代入 \(x + y + z = 7\) 得 \(z = 2\),所以交點 \(P\) 的坐標為 \((3,2,2)\)。 報錯
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