空間與經緯度概念

(1) 向量\(\overrightarrow{OP}=(2,2,1)\)，若\(\vec{v}=(1,-1,0)\)是平面\(E\)的法向量，則\(\overrightarrow{OP}\cdot\vec{v}=2\times1 + 2\times(-1)+1\times0 = 0\)，但\(2 - 2+0 = 0\)不成立，所以\(\vec{v}=(1,-1,0)\)不是平面\(E\)的法向量，(1)錯誤。
(2) 點\((4,4,2)=2(2,2,1)\)，\(P(2,2,1)\)是平面\(E\)上距離原點最近的點，所以\(P\)也是平面\(E\)上距離點\((4,4,2)\)最近的點，(2)正確。
(3) 設平面\(E\)的方程為\(2x + 2y+z + d = 0\)，把\(P(2,2,1)\)代入得\(4 + 4 + 1 + d = 0\)，\(d=-9\)，平面\(E\)的方程為\(2x + 2y+z - 9 = 0\)，把\((0,0,9)\)代入方程，\(0 + 0 + 9 - 9 = 0\)，所以點\((0,0,9)\)在平面\(E\)上，(3)正確。
(4) 點\((2,2,-8)\)到平面\(E\)：\(2x + 2y+z - 9 = 0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times2 + 2\times2-8 - 9\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{9}{3}=3\neq9\)，(4)錯誤。
(5) 通過原點\((0,0,0)\)和點\((2,2,-8)\)的直線方程為\(\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-8}\)，設直線上一點\((2t,2t,-8t)\)，代入平面\(E\)的方程\(2(2t)+2(2t)-8t - 9 = 0\)，\(4t + 4t - 8t - 9 = 0\)，\(-9 = 0\)不成立，所以直線與平面\(E\)不相交，(5)錯誤。
答案為(2)(3)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

設平面 \( E_1: ax+by+cz=0 \)（法向量 \( \vec{n}_1=(a,b,c) \)，且 \( a^2+b^2+c^2=12 \)），平面 \( E_2:x=0 \)（法向量 \( \vec{n}_2=(1,0,0) \)），平面 \( E_3:x+\sqrt{3}y=0 \)（法向量 \( \vec{n}_3=(1,\sqrt{3},0) \)）。

#### 由 \( E_1, E_2 \) 的夾角（\( 60^\circ \)）：
\[
\cos60^\circ = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} \implies \frac{1}{2} = \frac{|a|}{\sqrt{12} \times 1}
\]
得 \( |a| = \sqrt{3} \implies a^2=3 \)。

#### 由 \( E_1, E_3 \) 的夾角（\( 60^\circ \)）：
\[
\cos60^\circ = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_3|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_3|} \implies \frac{1}{2} = \frac{|a+\sqrt{3}b|}{\sqrt{12} \times 2}
\]
得 \( |a+\sqrt{3}b|=2\sqrt{3} \)，代入 \( a=\pm\sqrt{3} \)，解得 \( b^2=1 \) 或 \( b^2=9 \)。

#### 結合 \( a^2+b^2+c^2=12 \)：
- 當 \( a^2=3, b^2=1 \) 時，\( c^2=12-3-1=8 \)；
- 當 \( a^2=3, b^2=9 \) 時，\( c^2=12-3-9=0 \)。

故 \( (a^2, b^2, c^2) = \boxed{(3,1,8)} \) 或 \( \boxed{(3,9,0)} \)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

平面\(E\)由向量\(\vec{u}=(2,0,1)\)、\(\vec{v}=(0,1,1)\)所張出，則平面\(E\)的法向量\(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=\vec{i}(0\times1 - 1\times1)-\vec{j}(2\times1 - 0\times1)+\vec{k}(2\times1 - 0\times0)=-\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}=(-1,-2,2)\)。
所以平面\(E\)的方程為\(-x - 2y + 2z = 0\)，即\(x + 2y - 2z = 0\)，所以\(b = 2\)，\(c=-2\)，\(d = 0\)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

$\text{by~13}\because L_1,L_2,L_3均夾60^\circ\\
取n向量=(1,1,0)+(1,0,-1)+(0,1,-1)=(2,2,-2)//(1,1,-1)\\
E_4:x+y-z=c
正四面體高=\frac{\sqrt{6}\cdot6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{12}=\frac{|1+2-4-c|}{\sqrt{1+1+1}}\\
c=11,-13\\
x+y-z=-13\vee x+y-z=11$

• 試題內容
• 試題內容
• 答題卷
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題評分原則

聯立 \(\begin{cases}x + y + z = 7\\x - y + z = 3\end{cases}\),兩式相減得 \(2y = 4\),\(y = 2\)。再聯立 \(\begin{cases}x - y + z = 3\\x - y - z = -5\end{cases}\),兩式相加得 \(2(x - y)= - 2\),把 \(y = 2\) 代入得 \(x = 1\),再把 \(x = 1\),\(y = 2\) 代入 \(x + y + z = 7\) 得 \(z = 4\),所以交點 \(P\) 的坐標為 \((1,2,4)\)。

• 試題內容
• 試題內容
• 答題卷
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題評分原則