立體幾何

設 \(a,b,c,d,r,s,t\) 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 \(\overrightarrow{u} = (a,b,0) \cdot \overrightarrow{v} = (c,d,0)\) 及
\(\overrightarrow{w} = (r,s,t)\)
滿足內積 \(\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0\)。考慮三階方陣 \(A = \begin{bmatrix}
a & b & 0 \\
c & d & 0 \\
r & s & t
\end{bmatrix}\)，試選出正確的選項。
(1) 若 \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\)，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(2) 若 \(t \neq 0\)，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)​​

(3) 若存在一個向量 \(\overrightarrow{w}\) 滿足 \(\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) 且外積 \(\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{w} \neq 0\)，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(4) 若對任意三個實數 \(e,f,g\)，向量 \((e,f,g)\) 都可以表示成 \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\) 的線性組合，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(5) 若行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)，則 \(A\) 的行列式不等於0

坐標空間中有方向向量為 (1, -2, 2) 的直線 \(L\) 、平面 \(E_1: 2x + 3y + 6z = 10\) 與平面
\(E_2: 2x + 3y + 6z = -4\) 。則 \(L\) 被 \(E_1\) 、 \(E_2\) 所截線段的長度為 \(\frac{~~~~~}{~~~~~}\)。（化為最簡分數）

坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。
令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交的直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交的直 線 為 \( L_{2}\) 。
若 坐 標 空 間 中 第 四 個 平 面 \( E_{4}\) 與 \( E_{1}\) 、 \( E_{2}\) 、 \( E_{3}\) 圍 出 一 個 邊 長 為 \( 6\) 的 正 四 面 體,試求 出 \( E_{4}\) 的方程式（寫 成 \( x + ay + bz = c\) 的形式）。

有一積木，其中\(ACFD\)和\(ABED\)是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\)是一個矩形。設\(A\)點在直線\(BC\)的投影為\(M\)且在平面\(BCFE\)的投影為\(P\)。已知\(\overline{AD}=30\) ，\(\overline{CF}=40\) ，\(\overline{AP}=15\)且\(\overline{BC}=10\) 。令\(Q\)為\(\overline{FC}\)上一點，滿足\(\overrightarrow{AQ}\)與\(\overrightarrow{DF}\)平行。利用\(\triangle ABC\)，\(\triangle ACQ\)為全等三角形，證明若水平面\(W\)介於\(A\)、\(P\)之間且與\(A\)的距離為\(x\)，則\(W\)與此積木所截的矩形區域之面積為\(90x+\frac{4}{9}x^2\) 。

有一積木，其中\(ACFD\)和\(ABED\)是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\)是一個矩形。設\(A\)點在直線\(BC\)的投影為\(M\)且在平面\(BCFE\)的投影為\(P\)。已知\(\overline{AD}=30\) ，\(\overline{CF}=40\) ，\(\overline{AP}=15\)且\(\overline{BC}=10\) 。將線段\(\overline{AP}\)的\(n\)等分點沿著向量\(\overrightarrow{AP}\)的方向依序設為\(A = P_{0},P_{1},\cdots,P_{n – 1},P_{n}=P\) 。在每一個分段\(\overline{P_{k – 1}P_{k}}\) ，考慮以通過\(P_{k}\)的水平面與此積木所截的矩形為底、\(\overline{P_{k – 1}P_{k}}\)為高，所形成的長方體。請利用此切片方法寫下估計此積木體積的黎曼和(不需化簡)，且以定積分形式表示此積木的體積並求其值。